弦切角的性質(zhì)-課件

弦切角的性質(zhì)1．弦切角的定義___________________________________________的角叫做弦切角，如圖所示，在圖中__________就是一個(gè)弦切角．頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切∠CAB2．對(duì)弦切角的理解弦切角需具備的三個(gè)條件①__________在圓上(頂點(diǎn)為切線的切點(diǎn))；②一邊和圓__________(一邊所在的直線為圓的切線)；③一邊和圓__________(一邊為圓的過(guò)切點(diǎn)的弦)．對(duì)于上述三個(gè)條件缺一不可，一個(gè)圓的弦切角不止一個(gè)，可有無(wú)數(shù)多個(gè)，只要滿足上述三個(gè)條件就是弦切角．頂點(diǎn)相切相交3．弦切角定理(1)文字語(yǔ)言敘述弦切角等于它__________所對(duì)的圓周角．(2)圖形語(yǔ)言敘述如圖，AB與⊙O切于A點(diǎn)，則∠BAC＝_______．所夾的弧∠D4．與弦切角定理有關(guān)的結(jié)論(1)弦切角的度數(shù)等于它______________________．(2)弦切角的度數(shù)等于它_____________________________________．(3)如果兩個(gè)弦切角所夾的__________，那么這兩個(gè)________________．所夾的弧的度數(shù)的一半所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半弧相等弦切角也相等∠CEM＝∠ADM

如圖甲，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，直線ED交BC的延長(zhǎng)線于F.若AD∶AE＝2∶1，求tan∠F.利用弦切角解決與角有關(guān)的問(wèn)題[思路點(diǎn)撥]

[規(guī)律方法]

(1)利用弦切角解決與角有關(guān)的問(wèn)題的步驟①根據(jù)圖形及弦切角的定義找出與題目有關(guān)的弦切角；②利用弦切角定理找出與其相等的角；③綜合運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)，進(jìn)行角的求解．(2)注意事項(xiàng)①要注意觀察圖形，不要憑想當(dāng)然．圖形是最好的指導(dǎo)，要學(xué)會(huì)讓圖形“說(shuō)話”，尋找解題的突破口，要特別重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．②要注意圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、相似三角形、射影定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．

如圖甲，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于E，BD＝10，DE、BE是方程x2－2(m＋2)x＋2m2－m＋3＝0的兩個(gè)根(DE<BE)．求AC的長(zhǎng)．

利用弦切角解決與長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題[思路點(diǎn)撥]

利用韋達(dá)定理和勾股定理，求出DE、BE的長(zhǎng)，然后兩次借助弦切角定理，判斷出三角形相似，利用對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度比值分別求出AD、AC的長(zhǎng)度．[解題過(guò)程]

如圖乙所示，連接AD．∵DE、BE是方程x2－2(m＋2)x＋2m2－m＋3＝0的兩個(gè)根，∴DE＋BE＝2(m＋2)，DE·BE＝2m2－m＋3.又∵DE2＋BE2＝102，∴[2(m＋2)]2－2(2m2－m＋3)＝100，解得m＝5，[規(guī)律方法]

(1)弦切角是與圓相交的角．其主要功能是協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角，如圓心角、圓周角等，是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關(guān)的各種直線位置關(guān)系的橋梁．(2)弦切角定理經(jīng)常作為工具，進(jìn)行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進(jìn)一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理．(3)弦切角定理有時(shí)還與圓周角定理等知識(shí)綜合運(yùn)用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，通常都作為輔助工具出現(xiàn)．

2.如圖，△ABD的邊AB為直徑，作⊙O交AD于C，過(guò)點(diǎn)C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E.證明：AB＝BD．運(yùn)用弦切角定理證明比例式或乘積式[規(guī)律方法]

證明乘積式成立，往往與相似三角形有關(guān)，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時(shí)需要添加輔助線創(chuàng)造條件．

3.如圖，AD是△ABC的角平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC與⊙O相交于點(diǎn)E、F，連接DF.(1)求證：EF∥BC；(2)求證：DF2＝AF·BE.證明：(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF，∴EF∥BC．

如下圖所示，CF是⊙O的直徑，CB是⊙O的弦，CB的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)F的⊙O的切線交于點(diǎn)P.

弦切角的綜合應(yīng)用[解題過(guò)程]

(1)∵PF是切線，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半徑為5.[規(guī)律方法]

利用弦切角定理進(jìn)行計(jì)算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對(duì)的圓周角，有時(shí)與圓的直徑所對(duì)的圓周角結(jié)合運(yùn)用，同時(shí)要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角．

4.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AE切⊙O于點(diǎn)A，BC∥AE，(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)設(shè)AB＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn)，若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，問(wèn)這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？并求AP的長(zhǎng)．1．圓心角、圓周角、弦切角三者之間的區(qū)別2.如何從運(yùn)動(dòng)變化思想理解弦切角？弦切角可以理解為是移動(dòng)圓周角的一條邊而產(chǎn)生的，過(guò)程為：保持一邊不動(dòng)，移動(dòng)