排隊(duì)系統(tǒng)與存貯系統(tǒng)的綜合模型探討

排隊(duì)系統(tǒng)與存貯系統(tǒng)的綜合模型探討排隊(duì)論和存貯論是運(yùn)籌學(xué)二個(gè)相對(duì)獨(dú)立的重要理論，是運(yùn)籌學(xué)的二個(gè)重要組成部分。它們在理論上有很多相似的地方，在生產(chǎn)生活中往往是共同存在的。都應(yīng)用非常的廣泛。

在理論方面，排隊(duì)論和存貯論都是要達(dá)到成本最小或收益最大的目的，在基本理論和目的的前提下二者都分為許多的類型，排隊(duì)系統(tǒng)按輸入過程分為定長分布和隨機(jī)分布，存貯系統(tǒng)按需求可分為確定型存貯和隨機(jī)型存貯等。在理論的推導(dǎo)和證明中有很多相似的地方，都運(yùn)用微分法或邊際分析方法求極值，并且都用到了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，如隨機(jī)變量和隨機(jī)過程的知識(shí)。二者還同樣需要求出系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)下的參數(shù)，例如排隊(duì)系統(tǒng)中的最優(yōu)服務(wù)率，最優(yōu)服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，存貯系統(tǒng)中的存貯策略及其參數(shù)等?？偠灾抨?duì)系統(tǒng)和存貯系統(tǒng)在理論上有很大的相似之處。在運(yùn)籌學(xué)中把它們作為二個(gè)不同的理論來研究。

在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，它們往往是同時(shí)存在的，存貯系統(tǒng)的需求往往就是一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，比如銀行中，有資金的存貯同時(shí)又有大量客戶對(duì)資金的需求，生產(chǎn)過程中，有物品存貯和大量用戶對(duì)物品的需求?？傊写尜A系統(tǒng)就必然有排隊(duì)系統(tǒng)的存在。二者在理論上的相似性和在應(yīng)用中的共存性，使得把二者作為一個(gè)較大系統(tǒng)的子系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行整體的研究、優(yōu)化，在理論和應(yīng)用中都具有很大的意義。

本文就庫存系統(tǒng)和排隊(duì)系統(tǒng)的相互影響入手，找出整個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，包括存貯子系統(tǒng)的存貯策略、排隊(duì)子系統(tǒng)的最優(yōu)排隊(duì)空間、最優(yōu)服務(wù)率和最優(yōu)服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)。

2模型假設(shè)

系統(tǒng)模型如圖1所示：①存貯子系統(tǒng)根據(jù)存貯策略的需要進(jìn)行存貨補(bǔ)充；②排隊(duì)子系統(tǒng)發(fā)出需求；③如果存貯子系統(tǒng)不缺貨則按需求提供貨物；④存貯子系統(tǒng)按照存貯策略進(jìn)行存貨補(bǔ)充；⑤接受完服務(wù)的顧客攜帶所需貨物離開系統(tǒng)。

顧客以參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布到達(dá)系統(tǒng)，每當(dāng)系統(tǒng)中有顧客到達(dá)時(shí),排隊(duì)系統(tǒng)發(fā)出需求，存貯子系統(tǒng)按需求提供貨物。假設(shè)每位顧客只需要一個(gè)單位的貨物。顧客到達(dá)時(shí),如果加工車間空閑,顧客立即受到服務(wù),否則顧客要排隊(duì)等待；如果沒有排隊(duì)空間，則顧客自行離去。系統(tǒng)可有多個(gè)服務(wù)臺(tái)，每個(gè)服務(wù)臺(tái)一次服務(wù)于一名顧客,服務(wù)時(shí)間是參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布,服務(wù)規(guī)則是按先到先服務(wù)的規(guī)則。如果顧客到達(dá)時(shí)存貯子系統(tǒng)缺貨，則顧客在排隊(duì)子系統(tǒng)內(nèi)等待。排隊(duì)子系統(tǒng)可以用一個(gè)M/M/s/k排隊(duì)系統(tǒng)來描述。

存貯系統(tǒng)的存貯策略為(s,S)存貯策略，即系統(tǒng)的最大存貯量為S，當(dāng)貨物存貯量為s時(shí)進(jìn)行存貨補(bǔ)充，補(bǔ)充量為(S-s)。存貨補(bǔ)充所需時(shí)間服從參數(shù)為ε的負(fù)指數(shù)分布。每次存貨補(bǔ)充有進(jìn)貨費(fèi)用。

3模型求解

3.1存貯策略的確定

存貯系統(tǒng)采用(s,S)存貯策略，需要確定的是s和S。設(shè)單位成本為k，單位存貯費(fèi)為C1，單位缺貨費(fèi)為C2，每次定購費(fèi)為C3，期初存貯為I，需求r為隨機(jī)變量，其概率分布由排隊(duì)子系統(tǒng)決定，密度函數(shù)為Φ(r)。因缺貨費(fèi)用與時(shí)間相關(guān)，缺貨時(shí)間越長，缺貨費(fèi)用越多，這里假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)缺貨費(fèi)用一定，在平均缺貨時(shí)間內(nèi)，單位缺貨費(fèi)用為一定的。

3.2最優(yōu)排隊(duì)空間的確定

排隊(duì)空間的大小是由排隊(duì)子系統(tǒng)中平均排隊(duì)的顧客數(shù)確定的，過大會(huì)造成空間的浪費(fèi)，過小會(huì)造成顧客的不必要的流失。排隊(duì)空間的大小包括兩個(gè)方面的內(nèi)容。顧客到達(dá)系統(tǒng)后不能立即接受服務(wù)就要排隊(duì)，這受到服務(wù)率的影響，別一方面也受到存貯子系統(tǒng)中缺貨情況的影響。因?yàn)槿绻必?，此時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)就要停止服務(wù)，這會(huì)增加排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)的顧客數(shù)量。

在不缺貨的情況下，M/M/s/k排隊(duì)系統(tǒng)的平均排隊(duì)長的計(jì)算如下：

設(shè)N(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)的顧客數(shù)，Pn=P（N（t）），則在M/M/s/k排隊(duì)系統(tǒng)中有(1){N(t),t≥0}為有限生滅過程，其狀態(tài)空間為I={1,1,2,…k}，在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下：

當(dāng)發(fā)生缺貨時(shí)，隊(duì)長就要在平均排隊(duì)長的基礎(chǔ)上，再加上在缺貨時(shí)間內(nèi)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)。求出發(fā)生缺貨的概率p，根據(jù)負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)，平均補(bǔ)充所需時(shí)間為ε。則排隊(duì)空間的大小為：

系統(tǒng)發(fā)生缺貨的概率即為需求大于現(xiàn)存量的概率。系統(tǒng)在存貨量小于s的時(shí)候開始進(jìn)行存貨補(bǔ)充，補(bǔ)充所需要的時(shí)間為服從參數(shù)為ε的負(fù)指數(shù)分布。由于在存貨量為s的時(shí)候，即在還沒有發(fā)生缺貨的時(shí)候就進(jìn)行補(bǔ)充了，所以缺貨發(fā)生的概率即為在補(bǔ)充時(shí)間內(nèi)需求量大于s的概率。

在時(shí)間t內(nèi)，進(jìn)入系統(tǒng)的平均人數(shù)為λ×t,系統(tǒng)中平均排隊(duì)人數(shù)為L，所以在這段進(jìn)間內(nèi)發(fā)生缺貨的概率為:

由此可得出系統(tǒng)最優(yōu)排隊(duì)空間為：

3.3最優(yōu)服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)和最優(yōu)服務(wù)率的確定

由于在缺貨的情況下，排隊(duì)子系統(tǒng)的服務(wù)完全停止，而在不缺貨的情況下，排隊(duì)子系統(tǒng)不受存貯子系統(tǒng)的影響正常工作。因此，排隊(duì)子系統(tǒng)中的最優(yōu)服務(wù)率和最優(yōu)服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)不受到存貯子系統(tǒng)的影響，僅需要考慮系統(tǒng)正常駐機(jī)構(gòu)工作的情況來確定。

排隊(duì)子系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)下單位時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用是服務(wù)費(fèi)用和等待費(fèi)用之和為：z=cs+cwL，其中s為服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，cs為每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用，cw是單位時(shí)間內(nèi)待費(fèi)用，L是平均長。

因此，利用邊際分析方法可得到使z最小的s確定方法為

依次求出s=1,2,…時(shí)L的值，計(jì)算相鄰兩個(gè)L值的差。根據(jù)cssw的值落入哪個(gè)與s有關(guān)的不等式中，即可確定出最優(yōu)的s。

最優(yōu)服務(wù)率的確定，以M/M/1/k模型為例，在平穩(wěn)狀態(tài)下單位時(shí)間內(nèi)時(shí)入系統(tǒng)的顧客數(shù)為λe=λ(1-1-ρk1-ρk+1)，也等于單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)完的顧客數(shù)。假設(shè)每服務(wù)一個(gè)顧客系統(tǒng)收入為G，λ=1時(shí)單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)成本為cs，于是單位時(shí)間內(nèi)利潤為：

4結(jié)論

把存貯系統(tǒng)和排隊(duì)系統(tǒng)組成的整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)研究要比單個(gè)對(duì)其進(jìn)行研究要復(fù)雜的多，因?yàn)槊總€(gè)子系統(tǒng)變量的變化同時(shí)都會(huì)對(duì)另外一個(gè)子系統(tǒng)造成影響。因而，求解系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)候就必須要考慮到更多的影響因素。正是因?yàn)槠湎嗷ビ绊懙淖饔?，使得?duì)二者單獨(dú)進(jìn)行求解不會(huì)達(dá)到整個(gè)系統(tǒng)的最優(yōu)，因此，對(duì)二者的相互影響下的參數(shù)進(jìn)行研究具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。

在本文中，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的求