化工問題的建模與數(shù)學(xué)分析方法 第6章 習(xí)題及答案

第六章習(xí)題1.用攝動(dòng)法求解以下三次代數(shù)方程證明其三個(gè)根的漸進(jìn)展開式為將以上解與數(shù)值解或準(zhǔn)確解比較，取和0.1，討論其結(jié)果。解：， （1）①證明：（A）設(shè)解具有如下形式的漸進(jìn)展開式 （2）將其代入（1）式，可得 （3）比較兩邊的同冪次項(xiàng)系數(shù)，得到：：：所求攝動(dòng)解為：由于方程（1）有三個(gè)根，用上述攝動(dòng)法只能求得一個(gè)根，即接近退化解的那個(gè)根。(B)做變換，代入方程（1），可得， （4）此時(shí)，小參數(shù)不在最高次冪項(xiàng)上。設(shè)此時(shí)解具有如下形式的漸進(jìn)展開式， （5）將其代入（4）式，可得 （6）比較兩邊的同冪次項(xiàng)系數(shù)，得到或所以，可得方程（1）的另外兩個(gè)解，至此，方程（1）三個(gè)根的漸進(jìn)展開式為：②上述三個(gè)漸進(jìn)解分別與準(zhǔn)確解和數(shù)值解的比較分析。（1）采用Matlab的符號(hào)工具箱，求得方程（1）的三個(gè)準(zhǔn)確解分別為（其中epsilon表示）：x(1)=1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)+2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)x(2)=-1/12/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3))x(3)=-1/12/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3))當(dāng)時(shí)，x(1)=1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)x(2)=-1/6*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-5/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3))x(3)=-1/6*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-5/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3))當(dāng)時(shí)，x(1)=1/3*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+100/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)x(2)=-1/6*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-50/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-100/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3))x(3)=-1/6*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-50/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-100/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3))（2）為了清楚地比較漸進(jìn)解與數(shù)值解的偏離程度，在本題中選取了，分別求得了漸進(jìn)解和數(shù)值解，如表1和表2所示。討論：從表中可以看出，漸進(jìn)解與數(shù)值解的偏離程度還是相當(dāng)大的，且當(dāng)?shù)慕^對(duì)值大于某一值后，所得其中兩個(gè)數(shù)值解是復(fù)數(shù)值，而采用漸進(jìn)解卻無法表現(xiàn)，其永遠(yuǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)值。表（1）時(shí)的漸進(jìn)解與數(shù)值解比較a漸進(jìn)解數(shù)值解x(1)x(2)x(3)x(1)x(2)x(3)-10-30008.16231.83775.3549-2.6774-3.392i-2.6774+3.392i-9-1772.47.66231.33775.2195-2.6097-3.2299i-2.6097+3.2299i-8-984.647.16230.837725.0756-2.5378-3.0531i-2.5378+3.0531i-7-506.316.66230.337724.9217-2.4608-2.8578i-2.4608+2.8578i-6-235.686.1623-0.162284.7557-2.3778-2.6386i-2.3778+2.6386i-5-96.255.6623-0.662284.5749-2.2874-2.3868i-2.2874+2.3868i-4-33.125.1623-1.16234.3752-2.1876-2.0873i-2.1876+2.0873i-3-9.394.6623-1.66234.1506-2.0753-1.7091i-2.0753+1.7091i-2-2.564.1623-2.16233.891-1.9455-1.1641i-1.9455+1.1641i-1-0.933.6623-2.66233.5771-2.4236-1.1535003.1623-3.162303.1623-3.162311.132.6623-3.6623-3.57712.42361.153523.362.1623-4.1623-3.8911.9455-1.1641i1.9455+1.1641i311.191.6623-4.6623-4.15062.0753-1.7091i2.0753+1.7091i436.321.1623-5.1623-4.37522.1876-2.0873i2.1876+2.0873i5101.250.66228-5.6623-4.57492.2874-2.3868i2.2874+2.3868i6242.880.16228-6.1623-4.75572.3778-2.6386i2.3778+2.6386i7516.11-0.33772-6.6623-4.92172.4608-2.8578i2.4608+2.8578i8997.44-0.83772-7.1623-5.07562.5378-3.0531i2.5378+3.0531i91788.6-1.3377-7.6623-5.21952.6097-3.2299i2.6097+3.2299i103020-1.8377-8.1623-5.35492.6774-3.392i2.6774+3.392i表（2）時(shí)的漸進(jìn)解與數(shù)值解比較a漸進(jìn)解數(shù)值解x(1)x(2)x(3)x(1)x(2)x(3)-10-3915-513.247-6.6236-5.6228i-6.6236+5.6228i-9-25.90514.5-5.513.007-6.5037-5.1859i-6.5037+5.1859i-8-17.1914-612.756-6.378-4.6943i-6.378+4.6943i-7-11.55213.5-6.512.492-6.2458-4.1266i-6.2458+4.1266i-6-7.972813-712.212-6.106-3.4423i-6.106+3.4423i-5-5.687512.5-7.511.915-5.9574-2.5443i-5.9574+2.5443i-4-4.147212-811.597-5.7985-0.93201i-5.7985+0.93201i-3-2.982911.5-8.511.254-7.8648-3.3894-2-1.969611-910.88-8.7889-2.0915-1-0.990310.5-9.510.467-9.4565-1.01030010-10010-1011.01039.5-10.5-10.4679.45651.010322.04969-11-10.888.78892.091533.16298.5-11.5-11.2547.86483.389444.46728-12-11.5975.7985-0.93201i5.7985+0.93201i56.18757.5-12.5-11.9155.9574-2.5443i5.9574+2.5443i68.69287-13-12.2126.106-3.4423i6.106+3.4423i712.5326.5-13.5-12.4926.2458-4.1266i6.2458+4.1266i818.476-14-12.7566.378-4.6943i6.378+4.6943i927.5255.5-14.5-13.0076.5037-5.1859i6.5037+5.1859i10415-15-13.2476.6236-5.6228i6.6236+5.6228i進(jìn)一步，為了直觀表現(xiàn)，對(duì)第一個(gè)解的漸進(jìn)解和數(shù)值解分別進(jìn)行作圖，如圖1和圖2所示。當(dāng)時(shí)，圖1第一個(gè)解的漸進(jìn)解和數(shù)值解比較當(dāng)時(shí)，圖2第一個(gè)解的漸進(jìn)解和數(shù)值解比較由圖1和2可知，當(dāng)方程中的參數(shù)在0的一個(gè)小范圍內(nèi)時(shí)，漸進(jìn)解與數(shù)值解還是相對(duì)較吻合的，但當(dāng)在這個(gè)范圍外，漸進(jìn)解與數(shù)值解偏離很大，且兩者表現(xiàn)出了相反的方向。2．（√）片形催化劑顆粒上的n級(jí)反應(yīng)可用以下無量綱方程描述催化劑顆粒有效系數(shù)可由下式計(jì)算（i）當(dāng)時(shí)用正則攝動(dòng)法證明（ii）當(dāng)時(shí)，令，將原方程化為然后由邊界層方法證明解：（1）將y進(jìn)行漸近展開（1）代入原方程，得比較的同冪次項(xiàng)，得各級(jí)近似問題初始條件聯(lián)立（4）～（9）可解得解：（2）令，方程化為令（18）代入（17）3.考慮邊值問題證明：b(x)>0時(shí)邊界層位置在x=0處，b(x)<0時(shí)邊界層位置在x=1處。（提示：求出內(nèi)解的一階導(dǎo)函數(shù)，，判斷其隨內(nèi)部坐標(biāo)的變化趨勢(shì)）解:（1）分別在x=0和x=1附近對(duì)自變量坐標(biāo)進(jìn)行放大：在x=0附近：設(shè)，,則原微分方程可化為：Eq.1因?yàn)閮?nèi)解需要保留二階導(dǎo)數(shù)，所以，即原方程為： Eq.2在x=1附近：設(shè)，,同理,.則原微分方程可化為： Eq.3在x=0附近對(duì)內(nèi)解按進(jìn)行漸進(jìn)展開： Eq.4將4式代入2， Eq.5設(shè) 則式5可以化為： Eq.6Eq.7若 在[0，]內(nèi)恒大于0，則 ： Eq.8即 Eq.9即內(nèi)解在=0（i.e.x=0）處變化較明顯，在(遠(yuǎn)離x=0)處變化趨于平緩。所以b>0時(shí)，邊界層在x=0處。同理，在x=1附近對(duì)內(nèi)解按進(jìn)行漸進(jìn)展開： Eq.10將10式代入3， Eq.11設(shè) 則式5可以化為： Eq.12 Eq.13若 在[0，]內(nèi)恒小于0，則 ： Eq.14即 Eq.9即內(nèi)解在=0（i.e.x=1）處變化較明顯，在(遠(yuǎn)離x=1)處變化趨于平緩。所以b<0時(shí)，邊界層在x=1處。4.用邊界層方法求解以下問題要求保留兩項(xiàng)展開項(xiàng)。（提示：以為小參量進(jìn)行展開，x＝0處有兩個(gè)邊界層）解： （1）外解：設(shè)外解具有以下漸近展開式 代入方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)得 比較的同冪次項(xiàng)系數(shù)，得一級(jí)近似時(shí)的兩個(gè)子問題 由式GOTOBUTTONZEqnNum912951REFZEqnNum912951\!(6.4.4)和式GOTOBUTTONZEqnNum497642REFZEqnNum497642\!(6.4.5)得， 式GOTOBUTTONZEqnNum171929REFZEqnNum171929\!(6.4.6)為方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)的外解，式中、為未知參數(shù)（2）內(nèi)解采用放大的邊界層坐標(biāo) 方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)在新坐標(biāo)系中成為 常數(shù)的值應(yīng)當(dāng)使式GOTOBUTTONZEqnNum550940REFZEqnNum550940\!(6.4.8)中二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不含小參數(shù)，即，，由此得到 設(shè)內(nèi)解具有以下漸近展開式 代入方程GOTOBUTTONZEqnNum752008REFZEqnNum752008\!(6.4.9)得 比較的同冪次項(xiàng)系數(shù)，得一級(jí)近似時(shí)的兩個(gè)子問題 首先取處的邊界條件，由該邊界條件得，，，式GOTOBUTTONZEqnNum512953REFZEqnNum512953\!(6.4.12)的通解為 為使有限，因此＝0，由邊界條件得到，，因此 式GOTOBUTTONZEqnNum585742REFZEqnNum585742\!(6.4.13)的通解為 為使有限，因此＝0，由邊界條件得到，，因此 所以靠近處的內(nèi)解為 （3）靠近處的內(nèi)解與外解的匹配兩項(xiàng)外解展開式 寫成內(nèi)變量 按參數(shù)進(jìn)行泰勒展開，得到 寫成外變量 兩項(xiàng)內(nèi)解展開式 寫成外變量按參數(shù)進(jìn)行泰勒展開，得到 令式GOTOBUTTONZEqnNum984574REFZEqnNum984574\!(6.4.19)和式GOTOBUTTONZEqnNum276529REFZEqnNum276529\!(6.4.20)相等，得到所以外解GOTOBUTTONZEqnNum171929REFZEqnNum171929\!(6.4.6)可以寫成 （4）靠近處的內(nèi)解設(shè)，，得到 常數(shù)的值應(yīng)當(dāng)使式GOTOBUTTONZEqnNum370941REFZEqnNum370941\!(6.4.22)中二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不含小參數(shù)，即，，由此得到 取處的邊界條件，由該邊界條件得，，設(shè)內(nèi)解具有以下漸近展開式 比較的同冪次項(xiàng)系數(shù)，得一級(jí)近似時(shí)的兩個(gè)子問題 式GOTOBUTTONZEqnNum828500REFZEqnNum828500\!(6.4.25)的通解為 由邊界條件得到，所以 式GOTOBUTTONZEqnNum117763REFZEqnNum117763\!(6.4.26)的通解為 由邊界條件得到，所以 靠近處的內(nèi)解為 （5）靠近處的內(nèi)解與外解的匹配兩項(xiàng)外解展開式 寫成內(nèi)變量 按參數(shù)進(jìn)行泰勒展開，得到寫成外變量 兩項(xiàng)內(nèi)解展開式 寫成外變量按參數(shù)進(jìn)行泰勒展開，得到 令式GOTOBUTTONZEqnNum865771REFZEqnNum865771\!(6.4.32)和式GOTOBUTTONZEqnNum129850REFZEqnNum129850\!(6.4.33)相等，得 因此，于是 （6）合成 圖6.4.1方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)的準(zhǔn)確解與近似解的比較（?。?（√）對(duì)于§1.3節(jié)中介紹的催化劑平行失活問題，如果設(shè)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)對(duì)反應(yīng)物濃度c為二級(jí)，則相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型由以下無量綱方程描述（）用邊界層方法求解上述剛性問題的解答，并將長(zhǎng)時(shí)間解與短時(shí)間解合成為全程有效的解，精確到。解：零階近似內(nèi)解代入方程得到結(jié)合初始條件得為求0階近似外解，令令由Prandtl匹配條件由（16）（17）（18）內(nèi)外解相加，減去公共部分，得到由隱式方程（9）給出，由隱式方程（19）給出。

6.（√）對(duì)激波問題的Burgers方程（）試用邊界層方法求出激波擴(kuò)散層內(nèi)的速度分布u＝u(x)。解：當(dāng)忽略黏性時(shí)，原方程描述一個(gè)激波的運(yùn)動(dòng)，激波左側(cè)速度為1，右側(cè)為0。設(shè)U為激波運(yùn)動(dòng)速度，為求出激波邊界層內(nèi)的速度分布，采用邊界層內(nèi)部坐標(biāo)則根據(jù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系原方程化為略去含小量的項(xiàng)，得到或者積分，得因?yàn)? 因此有A＝0，于是有再次積分（3）這里規(guī)定，當(dāng)u=1/2時(shí)，z=0。由于為激波左側(cè)速度，欲使上述積分趨于無窮，分母必須趨于0，于是這樣，由式（3）上式容易積分求出即7.（√）設(shè)反應(yīng)物A,B,C通過三分子反應(yīng)生成產(chǎn)物D，初始時(shí)刻A的摩爾數(shù)為a，B和C的摩爾數(shù)均為b（a<b），D的摩爾數(shù)為0，反應(yīng)中生成的D的摩爾數(shù)為n，則n的方程為設(shè)n的試驗(yàn)函數(shù)為其中τ為待定系數(shù)，試由t=τ處的點(diǎn)配置法確定參數(shù)τ并給出問題的解。8.（√）設(shè)一無限大固體初始時(shí)刻溫度均勻，從t>0開始，固體內(nèi)部的均勻熱源（通過反應(yīng)、微波或輻射提供）開始發(fā)熱，但在邊界x=0處始終維持初始溫度，于是隨著固體內(nèi)部溫度的升高，邊界附近溫度梯度逐漸增大，通過邊界的熱流通量也隨時(shí)間增加，與此同時(shí)，邊界附近低溫區(qū)的影響也隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而日益滲透到固體內(nèi)部更大的范圍，因此，該傳熱問題可以采用滲透區(qū)的概念用試驗(yàn)函數(shù)近似求解，設(shè)溫度分布由以下數(shù)學(xué)問題描述(1)(2)(3)(ⅰ)設(shè)溫度傳播的影響半徑為δ(t)，溫度分布采用以下三次多項(xiàng)式近似(4)證明該試驗(yàn)函數(shù)滿足以下邊界條件(5)(ⅱ)將(4)式帶入方程(1)，然后在[0,δ]內(nèi)對(duì)x積分，證明所解出的影響半徑為(6)(ⅲ)根據(jù)近似解求x=0處的熱流通量，并與精確解進(jìn)行比較，估計(jì)近似解的誤差。解：（ii）由試驗(yàn)函數(shù)，得代入原方程中，得積分后得到：解得（iii）由近似解與準(zhǔn)確解的相對(duì)誤差約6%，即9．平板層流換熱問題的溫度邊界層方程為1)設(shè)溫度邊界層厚度為，證明邊界層能量積分方程的形式為2)設(shè)溫度分布和速度分布均采用以下形式的三次多項(xiàng)式近似式中為速度邊界層厚度，由下式給出將溫度和速度試驗(yàn)函數(shù)代入邊界層能量積分方程進(jìn)行積分，設(shè)，引入邊界層厚度比，證明由下式給出為Prandtl數(shù)，對(duì)于氣體Pr～1，對(duì)于粘性油Pr～103，比較不同情況下溫度邊界層與速度邊界層的大小。解： (1)證明邊界層能量積分方程：連續(xù)性方程為 將連續(xù)性方程GOTOBUTTONZEqnNum514894REFZEqnNum514894\!(6.9.2)乘以T后，與溫度邊界層方程GOTOBUTTONZEqnNum176551REFZEqnNum176551\!(6.9.1)相加，得到 再將連續(xù)性方程GOTOBUTTONZEqnNum514894REFZEqnNum514894\!(6.9.2)乘以平板壁面溫度后與，與式GOTOBUTTONZEqnNum992608REFZEqnNum992608\!(6.9.3)相減，得到 將式GOTOBUTTONZEqnNum381902REFZEqnNum381902\!(6.9.4)在上對(duì)y積分，得到 為使邊界層內(nèi)的近似解與外解光滑連接，設(shè)當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，得到 式GOTOBUTTONZEqnNum455685REFZEqnNum455685\!(6.9.5)中 于是得到 (2)溫度分布式 速度分布式 設(shè)，當(dāng)時(shí)，先計(jì)算速度邊界層厚度 式GOTOBUTTONZEqnNum942852REFZEqnNum942852\!(6.9.11)中。 將式GOTOBUTTONZEqnNum942852REFZEqnNum942852\!(6.9.11)、GOTOBUTTONZEqnNum146576REFZEqnNum146576\!(6.9.12)代入課本P338式（6.2.50）中，得到 計(jì)算溫度邊界層厚度 將式GOTOBUTTONZEqnNum112113REFZEqnNum112113\!(6.9.14)、GOTOBUTTONZEqnNum183791REFZEqnNum183791\!(6.9.15)代入GOTOBUTTONZEqnNum643632REFZEqnNum643632\!(6.9.8)中，得到 用式GOTOBUTTONZEqnNum379194REFZEqnNum379194\!(6.9.16)除以式GOTOBUTTONZEqnNum373529REFZEqnNum373529\!(6.9.13)得 將式GOTOBUTTONZEqnNum684190REFZEqnNum684190\!(6.9.17)用更為簡(jiǎn)單的關(guān)系式擬合，就可以得到 將氣體Pr～1，粘性油Pr～103代入式GOTOBUTTONZEqnNum685055REFZEqnNum685055\!(6.9.18)可以得到10．考慮長(zhǎng)度為的一維桿的穩(wěn)定熱傳導(dǎo)問題，溫度在桿的兩端和處分別維持和，固體的熱傳導(dǎo)系數(shù)是溫度的線性函數(shù)1）導(dǎo)出以上問題的數(shù)學(xué)模型，將其無量綱化，成為以下形式2）選擇合適的試驗(yàn)函數(shù)，含單參數(shù)，用于近似表示溫度分布；3）用Galerkin法求解上述問題；4）用正交配置法求解上述問題，并將兩種方法的結(jié)果進(jìn)行比較。解：一維桿穩(wěn)定熱傳導(dǎo)，所以有，而：，代入上面微分方程得：，根據(jù)題意邊界條件為。令，將此微分方程無量綱化，得到令，即得到所要求的微分方程形式。為了更易選擇試驗(yàn)函數(shù)的形式，先將邊界條件化齊，令，可選，代入化簡(jiǎn)整理后為取u的試驗(yàn)函數(shù)，所以，代入后得到方程的殘差為由可計(jì)算得到，所以。用Galerkin法求解過程如下，Galerkin法求解公式，，將其和殘差代入，計(jì)算整理后得，舍去無意義的根，所以。正交配置法求解過程，用高斯積分公式代替Galerkin積分公式計(jì)算殘差積分權(quán)函數(shù)取為，用一個(gè)配置節(jié)點(diǎn)，權(quán)系數(shù)，唯有，，取配置節(jié)點(diǎn)為一階正交多項(xiàng)式零點(diǎn)，代入化簡(jiǎn)整理得，解得，同樣舍去無意義解，。將Galerkin法解得的結(jié)果與正交配置法解得的結(jié)果比較，當(dāng)時(shí)，前者，后者，所以兩種方法得到的結(jié)果很接近。Galerkin法是通過殘差加權(quán)積分確定參數(shù)；正交配置法假設(shè)采用一階正交多項(xiàng)式來近似表示被積殘差函數(shù)，取此正交多項(xiàng)式的根作為配置節(jié)點(diǎn)直接代入殘差為零的方程中解出參數(shù)，與繁瑣的積分運(yùn)算過程相比，求解過程相當(dāng)簡(jiǎn)單。兩種方法結(jié)果的差別是來源于采用高斯積分公式的近似誤差。11．用冪級(jí)數(shù)法求解[0,1]區(qū)間的Jaccobi方程分別在四種情況下求出相應(yīng)的Jaccobi正交多項(xiàng)式解。解：Jaccobi多項(xiàng)式滿足此微分方程并且在區(qū)間[0,1]上帶權(quán)正交已由教科書上證明，現(xiàn)用冪級(jí)數(shù)法求解，設(shè)解為，代入微分方程，得整理為即得到系數(shù)遞推關(guān)系若取整，則此級(jí)數(shù)要在區(qū)間[0,1]上收斂，只有當(dāng)n為整數(shù)時(shí)才有可能。當(dāng)k從0增加到n時(shí)，，所以冪級(jí)數(shù)就僅有前n項(xiàng)之和，。由上面得到的系數(shù)遞推關(guān)系，得所以得到的冪級(jí)數(shù)為是任一常數(shù)，Jaccobi正交多項(xiàng)式即為大括號(hào)中內(nèi)容。為n分別取0，1，2時(shí)的Jaccobi多項(xiàng)式，將不同值代入各自計(jì)算得到的結(jié)果如下：0，011，010，111，1112．催化劑內(nèi)擴(kuò)散問題由以下無量綱方程描述式中z=x2，f(y)為反應(yīng)動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，s為顆粒形狀因子，邊界條件為y(1)=1。1）證明采用正交多項(xiàng)式和內(nèi)部單結(jié)點(diǎn)(z=z1)配置方法，可將以上方程離散為2）用作圖法示意上述代數(shù)方程的解y1（左端關(guān)于y1的線性方程和右端關(guān)于y1的非線性方程f(y1)的交點(diǎn)）。3）設(shè)f(y)=y2,s=2,求出y1的解答并給出濃度分布y＝y(tǒng)(x)的多項(xiàng)式解析表達(dá)式。4）增加內(nèi)部配置節(jié)點(diǎn)數(shù)，將方程離散，然后用計(jì)算機(jī)編程求解所得的代數(shù)方程組，將所得結(jié)果與單點(diǎn)配置手工計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，比較函數(shù)值y(0)和有效系數(shù)η。解: （1）①由于本題取2個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，為內(nèi)部單節(jié)點(diǎn)，的邊界點(diǎn)。設(shè)試驗(yàn)函數(shù)為L(zhǎng)agrange插值函數(shù)， （2）由正交配置法，式（1）在[0,1]區(qū)間的1個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上殘差為0，將式（2）代入（1）式，可得， （3）所以，問題得證。②③若內(nèi)部節(jié)點(diǎn)為正交多項(xiàng)式的根，即所以，將其代入可得因?yàn)?，所以且濃度分布為?3.管道中的層流換熱問題由以下無量綱方程描述1）試采用