2023-2024學(xué)年七年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷及答案A卷北師大版

2023-2024學(xué)年七年級下冊數(shù)學(xué)期中試卷及答案A卷北師大版（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）一、單選題1．下列由不能判斷的是（

）A．B．C． D．2．下列五道題是小明的作業(yè)，那么小明做對的題數(shù)為（

）（1）若，則；

（2）；（3）；

（4）；

（5）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．下列圖形中，與是同位角的是（

）A．B．C．D．4．如圖，在中，邊上的高是（

）

A． B． C． D．5．有以下說法：①；②一個三角形中至少有兩個銳角；③兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；④若三條線段的長滿足，則以為邊一定能構(gòu)成三角形．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將下表稱為“楊輝三角”．則展開式中所有項的系數(shù)和是（

）．A．128 B．256 C．512 D．10247．某品牌的自行車鏈條每節(jié)長為，每兩節(jié)鏈條相連部分重疊的圓的直徑為，按照這種連接方式，節(jié)鏈條總長度為，則與的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．8．設(shè)，，．若，則的值是()A．5 B．6 C．7 D．89．如圖，在中，，點D為邊上一點，將沿直線折疊后，點C落在點E處，若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．10．如圖，正方形的邊長為2，動點P從點B出發(fā)，在正方形的邊上沿B→C→D的方向運動到點D停止，設(shè)點P的運動路程為x，在下列圖象中，能表示的面積y與x的關(guān)系的圖象是（

）A．B．C．D．11．若，則代數(shù)式的值是.12．如圖，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，則∠BDC的度數(shù)為．13．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點，處，E交AF于點G．若∠CEF=70°，則∠GF=°．14．一列慢車從地駛往地，一列快車從地駛往地．兩車同時出發(fā)，各自抵達目的地后停止，如圖所示，折線表示兩車之間的距離（km）與慢車行駛時間（h）之間的關(guān)系．當(dāng)快車到達地時，慢車與地的距離為km．15．如圖，于C，E是上一點，,平分平分，則：與之間的數(shù)量關(guān)系為．16．（1）；（2）先化簡，再求值：，其中，．17．某學(xué)校自主研制了一種椅子（實物如圖所示），可適應(yīng)上課、課間休息、午睡三種狀態(tài)，該椅子的凳面始終與地面保持平行，小明作出了椅子在不同狀態(tài)下的主視圖．上課時椅背與凳面垂直，腿托與凳面成夾角（如圖1），有利于學(xué)生坐直聽課．按下開關(guān)1，軸1（安裝在點B處）可以控制椅背以順時針旋轉(zhuǎn)，按下開關(guān)2，軸2（安裝在點A處）可以控制腿托以順時針旋轉(zhuǎn)．(1)課間可將椅背稍微調(diào)整一定的角度（如圖2）作短時休息，此時腿托與椅背平行舒適度更佳，請作出此時腿托所在的直線；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）(2)如圖3，按下開關(guān)1，使椅背從與発面垂直時的狀態(tài)順時針旋轉(zhuǎn)，此時測得，求的度數(shù)；18．如圖，在中，平分交于點D，平分交于點E．

(1)若求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．19．如圖，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．20．如圖，這是某學(xué)校操場的一角，在長為米，寬為米的長方形場地中間，有兩個并排大小一樣的籃球場，兩個籃球場中間以及籃球場與長方形場地邊沿的距離都為b米．(1)求這兩個籃球場的總占地面積．(2)若籃球場每平方米的造價為200元，其余場地每平方米的造價50元，求整個長方形場地的造價．21．如圖，點A、F、C、D在同一條直線上，，，．求證：．

22．九河下梢，芳華天津．小明利用假期來到美麗的天津，已知他入住的酒店、文創(chuàng)館、某老字號糕點店依次在同一條直線上，糕點店離酒店，文創(chuàng)館離酒店小明從酒店騎共享單車到文創(chuàng)館，在那里逛了后返回，勻速步行了到糕點店買糕點，在糕點店停留了后，散步返回酒店．給出的圖象反映了這個過程中小明離開酒店的距離與小明離開酒店的時間之間的對應(yīng)關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，回答下列問題：(1)①填表：離開酒店的時間/min57255060離開酒店的距離/km1.251.5②填空：小明從蛋糕店返回酒店的速度為__________；③當(dāng)時，請直接寫出小明離酒店的距離關(guān)于時間的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)小明離酒店時，請直接寫出他離開酒店的時間．23．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．

（1）如圖①，若∠BPC＝α，則∠A＝；（用α的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論）（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點Q，試探究∠Q與∠BPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，延長線段CP、QB交于點E，△CQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．一、單選題1．下列由不能判斷的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了同位角相等兩直線平行，據(jù)此即可進行判斷．【詳解】解：由圖可知：A、B中，均是直線被第三條直線所截形成的同位角，根據(jù)同位角相等兩直線平行，可得；D中：若，∵∴，根據(jù)同位角相等兩直線平行，可得；而C中，是另兩條直線被直線所截形成的同位角，不能得出；故選：C2．下列五道題是小明的作業(yè)，那么小明做對的題數(shù)為（

）（1）若，則；

（2）；（3）；

（4）；

（5）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了整式的運算問題，分別利用同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方、積的乘方法則、多項式的除法，乘法法則計算各式進行判斷即可．【詳解】解：（1）若，，則，小明計算正確；（2）；小明計算錯誤；（3）；小明計算錯誤；（4）；小明計算正確；（5）．小明計算正確；綜上分析可知，正確的有3個故選：B．3．下列圖形中，與是同位角的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了同位角．熟練掌握同位角的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁且在被截兩直線的同一側(cè)的角為同位角，進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，D選項中與是同位角，故符合要求；故選：D．4．如圖，在中，邊上的高是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角形的高，根據(jù)三角形的高的定義判斷即可解答．【詳解】∵過點C，且，∴邊上的高是．故選：A5．有以下說法：①；②一個三角形中至少有兩個銳角；③兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；④若三條線段的長滿足，則以為邊一定能構(gòu)成三角形．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系逐項分析即可．【詳解】①當(dāng)時，，故原說法不正確；②一個三角形中至少有兩個銳角，正確；③兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故原說法不正確；④若三條線段的長滿足，則以為邊不一定能構(gòu)成三角形，故原說法不正確．故選A．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪的意義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將下表稱為“楊輝三角”．則展開式中所有項的系數(shù)和是（

）．A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】B【分析】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項的系數(shù)和的求法，通過觀察展開式中所有項的系數(shù)和，得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“楊輝三角”展開式中所有項的系數(shù)和規(guī)律確定出（n為非負整數(shù)）展開式的項系數(shù)和為，求出系數(shù)之和即可．【詳解】解：當(dāng)時，展開式中所有項的系數(shù)和為，當(dāng)時，展開式中所有項的系數(shù)和為，當(dāng)時，展開式中所有項的系數(shù)和為，當(dāng)時，展開式中所有項的系數(shù)和為，由此可知展開式的各項系數(shù)之和為，則展開式中所有項的系數(shù)和是，故選：B．7．某品牌的自行車鏈條每節(jié)長為，每兩節(jié)鏈條相連部分重疊的圓的直徑為，按照這種連接方式，節(jié)鏈條總長度為，則與的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．依據(jù)題意，先求出節(jié)鏈條的長度，節(jié)鏈條的總長度，節(jié)鏈條的總長度，然后從數(shù)字找規(guī)律，進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：節(jié)鏈條的長度為，節(jié)鏈條的總長度為：，節(jié)鏈條的總長度為，∴節(jié)鏈條總長度，∴與的關(guān)系式是：．故選：C．8．設(shè)，，．若，則的值是()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式得出，，進而根據(jù)已知條件得出，進而即可求解．【詳解】，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式變形求值，根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，點D為邊上一點，將沿直線折疊后，點C落在點E處，若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后由鄰補角得到，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴∴由折疊可得，．故選：A．10．如圖，正方形的邊長為2，動點P從點B出發(fā)，在正方形的邊上沿B→C→D的方向運動到點D停止，設(shè)點P的運動路程為x，在下列圖象中，能表示的面積y與x的關(guān)系的圖象是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別分析點P在上和點P在上的情況即可求解．【詳解】解：當(dāng)P點在上即時，；當(dāng)P點運動到上即時，，故選：D．【點睛】本題考查了圖形的運動與面積問題，涉及到了一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題關(guān)鍵是求出三角形的面積表達式，注意分類討論的思想的應(yīng)用．11．若，則代數(shù)式的值是.【答案】2【分析】根據(jù)題意推出和，原式進行變形把和分別代入求解即可.【詳解】解：∵，易知和∴將代入，則原式原式將代入得，原式故答案為2.【點睛】本題主要考查了整式的運算，運用到了整體代入的思想，根據(jù)題意推出和是解答本題的關(guān)鍵.12．如圖，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，則∠BDC的度數(shù)為．【答案】110°/110度【分析】延長BD交AC于點E，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】延長BD交AC于點E，∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，則∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，故答案為：110°．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，作輔助線DE是解題的關(guān)鍵．13．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點，處，E交AF于點G．若∠CEF=70°，則∠GF=°．【答案】40【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠DFE=∠FE．∵ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠GFE=∠CEF=70°，∠DFE=－∠CEF=110°．∴∠GF=∠FE－∠GFE=110°－70°=40°．故答案為：40．【點睛】本題考查折疊問題矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)．14．一列慢車從地駛往地，一列快車從地駛往地．兩車同時出發(fā)，各自抵達目的地后停止，如圖所示，折線表示兩車之間的距離（km）與慢車行駛時間（h）之間的關(guān)系．當(dāng)快車到達地時，慢車與地的距離為km．【答案】400【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)計算出慢車和快車的速度，進而求得快車到達A地所用的時間，即可求得當(dāng)快車到達A地時，慢車與地的距離．【詳解】解：由圖象可知，慢車的速度為1200÷10=120（km∕h），快車的速度為1200÷4﹣120=180（km∕h），快車到達A地所用的時間為1200÷180=（h），此時，慢車與B的距離為1200﹣120×=400（km），故答案為：400．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，理解圖象上點表示的具體含義是解答的關(guān)鍵．15．如圖，于C，E是上一點，,平分平分，則：與之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】2∠H+∠ACF=180°【分析】延長EC，交DH于K，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可得到90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，從而求得∠ACE，進而即可求得∠H與∠ACF之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：延長EC，交DH于K，∵∠EKD=∠HEC+∠H，∠ECD=∠EKD+∠HDC，∴∠ECD=∠HEC+∠HDC+∠H，∵DF∥AB，∴∠B=∠BDG，∵EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，∴∠HEC=∠BEC，∠HDC=∠B，∵∠BEC=∠A+∠ACE，∴∠HEC=∠A+∠ACE，∴∠ECD=∠A+∠ACE+∠B+∠H，∵AC⊥BD，∴∠A+∠B=90°，∴∠ECD=45°+∠ACE+∠H，∵AC⊥BD，∴∠ECD=90°+∠ACE，∴90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，∴90°+∠ACE=2∠H，∴90°+（90°-∠ACF）=2∠H，即2∠H+∠ACF=180°，故答案為：2∠H+∠ACF=180°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．16．（1）；（2）先化簡，再求值：，其中，．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式和多項式乘多項式的計算法則去括號，最后合并同類項即可；（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去掉中括號內(nèi)的小括號，再合并同類項，然后計算多項式除以單項式，最后代值計算即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式，當(dāng)，時，原式．【點睛】本題主要考查整式的混合運算和化簡求值，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．17．某學(xué)校自主研制了一種椅子（實物如圖所示），可適應(yīng)上課、課間休息、午睡三種狀態(tài)，該椅子的凳面始終與地面保持平行，小明作出了椅子在不同狀態(tài)下的主視圖．上課時椅背與凳面垂直，腿托與凳面成夾角（如圖1），有利于學(xué)生坐直聽課．按下開關(guān)1，軸1（安裝在點B處）可以控制椅背以順時針旋轉(zhuǎn)，按下開關(guān)2，軸2（安裝在點A處）可以控制腿托以順時針旋轉(zhuǎn)．(1)課間可將椅背稍微調(diào)整一定的角度（如圖2）作短時休息，此時腿托與椅背平行舒適度更佳，請作出此時腿托所在的直線；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）(2)如圖3，按下開關(guān)1，使椅背從與発面垂直時的狀態(tài)順時針旋轉(zhuǎn)，此時測得，求的度數(shù)；【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)：（1）以點A為頂點，作，即可得到所在的直線；（2）延長，交于點，利用外角的性質(zhì)和兩直線平行，同位角相等，進行求解即可；熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：（1）如圖所示，直線即為所求；，，直線即為所求．（2）延長，交于點，如圖：當(dāng)時，．又，；，．18．如圖，在中，平分交于點D，平分交于點E．

(1)若求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義得到，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到；（2）根據(jù)角平分線的定義得到．再由三角形外角的性質(zhì)得到，即可利用三角形內(nèi)角和定理得到答案．【詳解】（1）解：∵平分，，∴，∵是的外角，，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∵是的外角，，∴，∴，∵，∴．19．如圖，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由得到，即可得到，再根據(jù)等量代換得到即可證明；（2）由平行的性質(zhì)得到，求出即可求出答案．【詳解】（1），，，，，；（2），，，，，，，，．【點睛】本題主要考查平行的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，這是某學(xué)校操場的一角，在長為米，寬為米的長方形場地中間，有兩個并排大小一樣的籃球場，兩個籃球場中間以及籃球場與長方形場地邊沿的距離都為b米．(1)求這兩個籃球場的總占地面積．(2)若籃球場每平方米的造價為200元，其余場地每平方米的造價50元，求整個長方形場地的造價．【答案】(1)這兩個籃球場的總占地面積是平方米(2)整個長方形場地的造價為元【分析】本題考查列代數(shù)式，能正確根據(jù)題意列出代數(shù)式是解此題的關(guān)鍵．（1）把籃球場平移為一個長方形，求出這個長方形的長和寬，即可求出面積；（2）根據(jù)籃球場每平方米的造價為200元，其余場地每平方米的造價50元，列出代數(shù)式即可．【詳解】（1）解：平方米．答：這兩個籃球場的總占地面積是平方米．（2）平方米，平方米，元．答：整個長方形場地的造價為元．21．如圖，點A、F、C、D在同一條直線上，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明，，進而證明，即可證明．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，∴，即，在和中，，∴，∴．22．九河下梢，芳華天津．小明利用假期來到美麗的天津，已知他入住的酒店、文創(chuàng)館、某老字號糕點店依次在同一條直線上，糕點店離酒店，文創(chuàng)館離酒店小明從酒店騎共享單車到文創(chuàng)館，在那里逛了后返回，勻速步行了到糕點店買糕點，在糕點店停留了后，散步返回酒店．給出的圖象反映了這個過程中小明離開酒店的距離與小明離開酒店的時間之間的對應(yīng)關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，回答下列問題：(1)①填表：離開酒店的時間/min57255060離開酒店的距離/km1.251.5②填空：小明從蛋糕店返回酒店的速度為__________；③當(dāng)時，請直接寫出小明離酒店的距離關(guān)于時間的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)小明離酒店時，請直接寫出他離開酒店的時間．【答案】(1)①，，；②；③(2)或【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象．（1）①根據(jù)圖象中線段的含義結(jié)合行程，求出各個時間段的速度及各個線段表示的實際意義，再分別求解即可；②根據(jù)圖象作答即可；③當(dāng)時，分成兩部分分別求解析式；（2）根據(jù)離開酒店和回酒店時離酒店兩種情況進行求解．【詳解】（1）①由題意知，前10分鐘騎共享單車到文創(chuàng)館速度為，∴在第時，離酒店的距離為，第10到30分鐘，在文創(chuàng)館停留，此時，第55到85分鐘小明從蛋糕店返回酒店，速度為，∴在第時，離酒店的距離為，第10到30分鐘，在文創(chuàng)館停留，此時，故答案為：，，；②①由題意知，第55到85分鐘小明從蛋糕店返回酒店的速度為，故答案為：；③當(dāng)時，停留在文創(chuàng)館，此時；當(dāng)時，從文創(chuàng)館去蛋糕店，速度為，∴小明離開酒店的距離，∴；（2）由題意知，出發(fā)去文創(chuàng)館，離酒店距離為時，前10分鐘騎共享單車到文創(chuàng)館速度為，離酒店的時間為，從文創(chuàng)館去蛋糕店，酒店距離為時，代入可得解得∴當(dāng)小明離離酒店距離為時，他離開家的時間為或，故答案為：或；23．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．

（1）如圖①，若∠BPC＝α，則∠A＝；（用α的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論）（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點Q，試探究∠Q與∠BPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，延長線段CP、QB交于點E，△CQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）2α﹣180°；（2）∠BPC+∠BQC＝180°．理由見解析；（3）∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．【分析】（1）利用角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理求解即可．（2）證明∠Q=90°-∠A，∠BPC=90°+∠A，可得結(jié)論．（3）首先證明∠A=2∠E，∠ECQ=90°，再分四種情形分別求解即可解決問題．【詳解】（1）如圖①中，

∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°（∠ABC+∠ACB）=180°（180°﹣∠A），=90°∠A，∵∠BPC=α，∴∠A=2α﹣180°．故答案為2α﹣180°．（2）結(jié)論：∠BPC+∠BQC=180°．理由：如圖②中，

∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）（180°+∠A）=90°∠A，∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，∵∠BPC=90°∠A，∴∠BPC+∠BQC=180°．（3）延長CB至F，

∵BQ為△ABC的外角∠MBC的角平分線，∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分線，∴∠ABF=2∠EBF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ECB，∵∠EBF=∠ECB+∠E，∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，即∠ABF=∠ACB+2∠E，又∵∠ABF=∠ACB+∠A，∴∠A=2∠E，∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ∠ACB∠NCB=90°，如果△CQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①∠ECQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠ECQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，則∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，則∠A=2∠E=120°．綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．一、單選題1．下列各圖中，與是同位角的是（

）A． B． C． D．2．下列多項式中，可以用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．3．在學(xué)習(xí)“認識三角形”一節(jié)時，嘉嘉用四根長度分別為的小棒擺三角形，那么所擺成的三角形的周長不可能是（

）A． B． C． D．4．下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A．B．C． D．5．如圖，觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖的作圖依據(jù)是（

）A．邊邊邊 B．邊角邊 C．角邊角 D．角角邊6．下列說法中：①同角或等角的補角相等；②過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；③連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④從直線外一點到這條直線的垂線，叫做點到直線的距離，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖所示，，，，結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（

）

A． B． C． D．9．若AB∥CD，∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，則∠E：∠F＝（）A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：310．如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形．則下列結(jié)論：①AE=CD；②BF=BG；③∠AHC=60°；④△BFG是等邊三角形；⑤HB平分∠AHD．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個11．已知，則．12．如圖，在中，已知點分別為邊的中點，且，則．13．已知，則的值為．14．如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為．

15．一副三角板按如圖所示（共頂點A）疊放在一起，若固定三角板，改變?nèi)前宓奈恢茫ㄆ渲蠥點位置始終不變），當(dāng)時，．16．閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運算法則為，例如，請根據(jù)閱讀理解解答下列各題：(1)________；(2)計算：；(3)已知實數(shù)，滿足行列式，則代數(shù)式的值．17．作圖題：(1)在圖①中，作過點P作直線，垂足為H：作直線；(2)請直接寫出圖①中三角形的面積是平方單位；(3)在圖②中過點P作直線（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．）18．閱讀下面的解題過程：已知，求的值．解：由知，所以，即．所以，故的值為．該題的解法叫做“倒數(shù)求值法”，請你利用“倒數(shù)求值法”解下面的題目：(1)若，求的值．(2)若，求的值．19．如圖1，一條筆直的公路上有A，B，C三地，甲，乙兩輛汽車分別從A，B兩地同時開出，沿公路勻速相向而行，駛往B，A兩地，甲、乙兩車到C地的距離y1、y2（千米）與行駛時間x（時）的關(guān)系如圖2所示．(1)A，B兩地之間的距離為千米；(2)圖中點M代表的實際意義是什么？(3)分別求出甲，乙兩車的速度，并求出他們的相遇點距離點C多少千米．20．已知：如圖，在中，是的平分線，E為上一點，且于點F．若，，求的度數(shù)．21．如圖，已知和，，，，與交于點P，點C在上．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．22．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長AD到點E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．23．(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,和均為等邊三角形，點在同一直線上，連接①求證:;②求的度數(shù).(2)拓展探究:如圖2,和均為等腰直角三角形，,點在同一直線上為中邊上的高，連接①求的度數(shù):②判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果即可).解決問題:如圖3，和均為等腰三角形，,點在同一直線上，連接.求的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果即可).一、單選題1．下列各圖中，與是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同位角的意義，結(jié)合圖形進行判斷即可．【詳解】解：A．選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現(xiàn)的角，不符合題意；B．選項中的兩個角符合同位角的意義，符合題意；C．選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現(xiàn)的角，不符合題意；D．選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現(xiàn)的角，不符合題意；故選：B．選項【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，判斷是否是同位角，必須符合三線八角中，在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個角是同位角．2．下列多項式中，可以用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的特點是解題的關(guān)鍵．平方差公式的形式是，平方差公式的特點是兩個數(shù)的和乘以兩個數(shù)的差，逐一判斷四個選項，即可求解．【詳解】解：A、，不可以用平方差公式計算．B、，可以用平方差公式計算；C、，不可以用平方差公式計算；D、，不可以用平方差公式計算．故選：B．3．在學(xué)習(xí)“認識三角形”一節(jié)時，嘉嘉用四根長度分別為的小棒擺三角形，那么所擺成的三角形的周長不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此逐個分析即可作答．【詳解】解：A、當(dāng)三邊為，則周長為，故該選項不符合題意；B、當(dāng)三邊為，則周長為，但，不能構(gòu)成三角形，故該選項是符合題意的；C、當(dāng)三邊為，則周長為，故該選項不符合題意；D、當(dāng)三邊為，則周長為，故該選項不符合題意；故選：B4．下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】三角形的高線的定義可得，D選項中線段BE是△ABC的高．故選：D5．如圖，觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖的作圖依據(jù)是（

）A．邊邊邊 B．邊角邊 C．角邊角 D．角角邊【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．由作圖過程得，，，得到三角形全等，即可求解．【詳解】解：由作圖過程得：，，，，（全等三角形的對應(yīng)角相等）．故選：A．6．下列說法中：①同角或等角的補角相等；②過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；③連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④從直線外一點到這條直線的垂線，叫做點到直線的距離，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)補角的性質(zhì)判定①；根據(jù)垂線公理判定②；根據(jù)垂線段最短判定③；根據(jù)點到直線的距離概念判定④．【詳解】解：①同角或等角的補角相等，故①正確；②在同一平面內(nèi)，過直線上（或直線外）一點有且只有一條直線垂直于已知直線，故②錯誤；③連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，故③正確；④從直線外一點到這條直線的垂線段長度，叫做點到直線的距離，故④錯誤；∴正確的有①③，共2個，故選：B．【點睛】本題考查補角的性質(zhì)，垂線公理，垂線段最短，點到直線的距離概念．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及概念是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，，，，結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)已知的條件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，進而可根據(jù)全等三角形得出的結(jié)論來判斷各選項是否正確．【詳解】解：∵，∴△AEB≌△AFC；（AAS）∴∠FAM=∠EAN，∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正確）又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△EAM≌△FAN；（ASA）∴EM=FN；（故①正確）由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正確）由于條件不足，無法證得②CD=DN；故正確的結(jié)論有：①③④；故選：C．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判別，考查了學(xué)生根據(jù)圖形分析問題，解決問題的能力．其中全等三角形的判別方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．學(xué)生應(yīng)根據(jù)圖形及已知的條件選擇合適的證明全等的方法．8．如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過作平面鏡，可得，，而，再建立方程，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作平面鏡，

∴，，而，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查的是垂直的定義，角的和差運算，角平分線的含義，屬于跨學(xué)科題，熟記基礎(chǔ)概念是解本題的關(guān)鍵．9．若AB∥CD，∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，則∠E：∠F＝（）A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：過點E、F分別作AB的平行線EG、FH，由平行線的傳遞性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，∴∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠CDE+∠ABE＝（∠ABF+∠CDF）＝∠BFD，∴∠BED：∠BFD＝3：4．故選C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形．則下列結(jié)論：①AE=CD；②BF=BG；③∠AHC=60°；④△BFG是等邊三角形；⑤HB平分∠AHD．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】由題中條件可得△ABE≌△CBD，得出對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，進而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進而可得出結(jié)論．【詳解】∵△ABC與△BDE為等邊三角形，∴AB=BC,BD=BE,

∴∠ABE=∠CBD，即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD，∴S△ABE=S△CBD，AE=CD，∠BDC=∠AEB，又∵∴△BGD≌△BFE，∴BG=BF,

故①②正確；∵△ABE≌△CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∴∴③正確；∵BF=BG,

∴△BFG是等邊三角形，∴④正確；∴∴FG∥AD，∵BF=BG,AB=BC,，∴△ABF≌△CBG，∴∠BAF=∠BCG，∴∴∵∴B、G、H、F四點共圓，∵FB=GB，∴∠FHB=∠GHB，∴BH平分∠GHF，∴⑤正確；故選D.【點睛】考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11．已知，則．【答案】．【分析】計算，從而得到，然后先求原式的倒數(shù)，從而求解．【詳解】解：∵∴∴∴故答案為：．【點睛】本題考查倒數(shù)，完全平方公式的運用及分式的化簡求值，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)以及分式的化簡計算是解題關(guān)鍵．12．如圖，在中，已知點分別為邊的中點，且，則．【答案】【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形中線平分三角形面積進行求解即可．【詳解】解：∵F是的中點，，∴，∵D為的中點，∴，∵為的中點，∴，∵D為的中點，∴，故答案為：．13．已知，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了完全平方公式和代數(shù)式求值，先求出，進而利用完全平方公式得到，據(jù)此利用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．14．如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為．

【答案】3【分析】證明，得到，即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中：，∴，∴，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．一副三角板按如圖所示（共頂點A）疊放在一起，若固定三角板，改變?nèi)前宓奈恢茫ㄆ渲蠥點位置始終不變），當(dāng)時，．【答案】30或150【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線判定，作出圖形，分兩種情況：①內(nèi)錯角相等兩直線平行；②同旁內(nèi)角互補兩直線平行，數(shù)形結(jié)合求解即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，①如圖，當(dāng)時，可得；②如圖，當(dāng)時，可得，則．故答案為：30或150．16．閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運算法則為，例如，請根據(jù)閱讀理解解答下列各題：(1)________；(2)計算：；(3)已知實數(shù)，滿足行列式，則代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了新定義運算，二次根式混合運算，整式混合運算，求代數(shù)式的值；（1）由二階行列式的運算法則展開，即可求解；（2）由二階行列式的運算法則展開，即可求解；（3）先用二階行列式的運算法則展開，化簡后可得，將代數(shù)式化簡后代入求值，即可求解；理解新定義，能根據(jù)二階行列式的運算法則進行運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式；故答案：；（2）解：原式；（3）解：由得，，整理得：，原式，當(dāng)時，原式．17．作圖題：(1)在圖①中，作過點P作直線，垂足為H：作直線；(2)請直接寫出圖①中三角形的面積是平方單位；(3)在圖②中過點P作直線（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．）【答案】(1)見解析；(2)11；(3)見解析【分析】本題考查了兩直線平行的判定，尺規(guī)作圖作出相等角的作法，熟記平行線的判定定理，尺規(guī)作圖的步驟是解題關(guān)鍵．（1）利用網(wǎng)格的特點作出圖形即可；（2）利用割補法即可求解；（3）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，過點P利用尺規(guī)作出即可解決問題．【詳解】（1）解：直線和直線即為所作，；（2）解：三角形的面積=平方單位；故答案為：11；（3）解：如圖，直線即為所求．．18．閱讀下面的解題過程：已知，求的值．解：由知，所以，即．所以，故的值為．該題的解法叫做“倒數(shù)求值法”，請你利用“倒數(shù)求值法”解下面的題目：(1)若，求的值．(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)“倒數(shù)求值法”的解題思路即可求出答案；（2）根據(jù)“倒數(shù)求值法”的解題思路即可求出答案．【詳解】（1）解：∵，且，∴，∴，∴；∴．（2）解：∵，且∴∵∴．【點睛】本題考查分式的運算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵正確理解題目給出的解答思路．19．如圖1，一條筆直的公路上有A，B，C三地，甲，乙兩輛汽車分別從A，B兩地同時開出，沿公路勻速相向而行，駛往B，A兩地，甲、乙兩車到C地的距離y1、y2（千米）與行駛時間x（時）的關(guān)系如圖2所示．(1)A，B兩地之間的距離為千米；(2)圖中點M代表的實際意義是什么？(3)分別求出甲，乙兩車的速度，并求出他們的相遇點距離點C多少千米．【答案】(1)150(2)點M代表的實際意義是乙到達C的時間(3)甲車的速度為60千米/小時，乙車的速度為75千米/小時，他們的相遇點與點C的距離為千米【分析】（1）由圖象可知AC=60，CB=90，據(jù)此來求解；（2）由圖象可知點M代表的實際意義是乙到達C的時間；（3）根據(jù)圖像分別解出甲車和乙車的速度，用總路程除以甲乙兩車的速度和就等于他們相遇的時間小時，再用乙車到達C點時的路程減去汽車行駛小時的路程即為所求．【詳解】（1）解：由圖象可知AC=60，BC=90，∴A、B兩地距離為60+90=150km；∴A、B兩地距離為150千米；故答案為：150．（2）解：由圖象可知，點M代表的實際意義是：乙到達C的時間．（3）解：由圖象可知：甲乙兩車勻速運動，AC=60，BC=90，∴甲車的速度：60÷1=60(千米/小時)，乙車的速度為：150÷2=75(千米/小時)，設(shè)經(jīng)過x小時甲乙兩車相遇，根據(jù)題意列方程，得(60+75)x=150解得x=；由圖像知已到達C的距離為90千米，那么他們的相遇點與點C的距離為：90-75×=(千米)．∴他們的相遇點與點C的距離為千米．【點睛】此題考查了行程問題（一元一次方程的應(yīng)用）和用圖象表示變量間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是看清橫軸、縱軸的含義，通過分析找到變量之間的關(guān)系求解．20．已知：如圖，在中，是的平分線，E為上一點，且于點F．若，，求的度數(shù)．【答案】【分析】先根據(jù)，可得出的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)得出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得出的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴．∵，∴．∵是的平分線，∴，∴．21．如圖，已知和，，，，與交于點P，點C在上．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）由三角形外角的性質(zhì)求出，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，22．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長AD到點E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】(1)B(2)C(3)見解析【分析】（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長AD到M，使AD=DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選：C．（3）延長AD到點M，使AD＝DM，連接BM．∵AD是△ABC中線∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中∴∴BM＝AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∠CAD＝∠M（全等三角形的對應(yīng)角相等）∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等邊對等角）∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角對等邊）又∵BM＝AC，∴AC＝BF．【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．23．(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,和均為等邊三角形，點在同一直線上，連接①求證:;②求的度數(shù).(2)拓展探究:如圖2,和均為等腰直角三角形，,點在同一直線上為中邊上的高，連接①求的度數(shù):②判斷線段之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果即可).解決問題:如圖3，和均為等腰三角形，,點在同一直線上，連接.求的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果即可).【答案】（1）①證明見解析；②60°；（2）①90°；②BE=CE+2AF；（3）∠AEC=90°+.【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°,根據(jù)SAS進一步證明△BAD≌△CAE,依據(jù)其性質(zhì)可得，再根據(jù)對應(yīng)角相等求出的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°，根據(jù)SAS進一步證明△BAD≌△CAE，根據(jù)對應(yīng)角相等求出的度數(shù)；因為DE=2AF,BD=EC,結(jié)合線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC=n°，根據(jù)SAS進一步證明△BAD≌△CAE，根據(jù)對應(yīng)角相等求出得出∠ADB=的度數(shù),結(jié)合內(nèi)角和用n表示∠ADE的度數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）①∵△ABC和△ADE均為等邊三角形(如圖1)，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD=CE.

②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.

（2）①∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形(如圖2)，∴AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.

∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.

②BE=CE+2AF.

（3）如圖3：∠AEC=90°+，理由如下，∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.

∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-.∴∠AEC=90°+.

一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．2．據(jù)報道：芯片被譽為現(xiàn)代工業(yè)的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技術(shù)，我國的光刻技術(shù)水平已突破到．已知，則用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A． B．C． D．3．下列多項式乘法中可以用平方差公式計算的是()A． B． C． D．4．將兩把相同的直尺如圖放置．若，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．5．下列命題中，①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)；③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；④內(nèi)錯角相等．真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，對于下列條件：；；；其中一定能得到的條件有（

）A． B． C． D．7．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABDE的外部時，此時測得∠1＝110°，∠C＝36°，則∠2的度數(shù)為（）°．

A．35 B．36 C．37 D．388．深高小學(xué)部飼養(yǎng)了兩只萌萌的羊駝，建筑隊在學(xué)校一邊靠墻處，計劃用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，倉庫總面積為平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，若設(shè)米，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（）A． B．C． D．9．我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”．請你利用楊輝三角，計算的展開式中，含項的系數(shù)是（

）

A．1 B．5 C．16 D．8010．如圖，，為上一點，且垂足為，，平分，且，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④；其中正確的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④二、填空題11．已知，則的值為．12．成立的的值為．13．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是．14．如圖，四邊形為一長條形紙帶，，將紙帶沿折疊，A、D兩點分別與對應(yīng)，若，則的度數(shù)為15．如圖，已知，M為平行線之間一點，連接，N為上方一點，連接，E為延長線上一點，若分別平分，，則．

三、解答題16．先化簡，再求值（1），其中（2），其中（3），其中17．（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．18．如圖，分別與、交于點G、H，，．若，求證：．19．小亮的一張地圖上有A、B、C三個城市，但地圖上的C城市被墨跡污染了（如圖），但知道，請你用尺規(guī)作圖法幫他在如圖中確定C城市的具體位置．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

20．如圖，在中，D為上一點，E為中點，連接并延長至點F，使得，連．(1)求證：．(2)若，，，求的度數(shù)．21．【發(fā)現(xiàn)問題】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助我們理解數(shù)學(xué)問題．例如，求圖1中陰影部分的面積，可以得到乘法公式．請解答下列問題：（1）請寫出圖2中陰影部分的面積能解釋的乘法公式（直接寫出乘法公式即可）；（2）用4個全等的、長和寬分別為a、b的長方形擺成如圖3所示的正方形，請你根據(jù)圖3中陰影部分的面積寫出三個代數(shù)式、、之間的等量關(guān)系式（直接寫出等量關(guān)系式即可）；【自主探索】（3）小麗用圖4中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬為a，長為b的長方形紙片拼出一個面積為的長方形，計算的值；【拓展遷移】（4）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖5表示的是一個棱長為的正方體，請你根據(jù)圖5求正方體的體積，寫出一個代數(shù)恒等式________．22．如圖，在四邊形中，分別是上的點，且．求證：．23．甲騎電動車，乙騎自行車從深圳灣公園門口出發(fā)沿同一路線勻速游玩，設(shè)乙行駛的時間為，甲、乙兩人距出發(fā)點的路程、關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖①所示，甲、乙兩人之間的路程差y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，請你解決以下問題：(1)甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；(2)對比圖①、圖②可知______，______；(3)乙出發(fā)多少時間，甲、乙兩人路程差為7.5km？一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項，冪的運算法則，完全平方公式對各個選項進行判斷即可.【詳解】A.a2和a3不是同類項，無法合并，故本選項錯誤；B.，故本選項錯誤；C.，故本選項錯誤；D.，故本選項正確.故選D.【點睛】本題主要考查同類項合并，冪的運算，完全平方公式，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.2．據(jù)報道：芯片被譽為現(xiàn)代工業(yè)的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技術(shù)，我國的光刻技術(shù)水平已突破到．已知，則用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．將一個數(shù)表示成的形式，其中，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：，故選：B．3．下列多項式乘法中可以用平方差公式計算的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方差公式逐個判斷即可．【詳解】解：A、，不能用平方差公式進行計算，不符合題意；B、，不能用平方差公式進行計算，不符合題意；C、，能用平方差公式進行計算，符合題意；D、不能用平方差公式進行計算，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了平方差公式，能熟記平方差公式是解此題的關(guān)鍵，注意：．4．將兩把相同的直尺如圖放置．若，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】互補關(guān)系求出，互余關(guān)系求出，再用互補關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查余角和補角的計算．正確的識圖，確定角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．5．下列命題中，①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)；③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；④內(nèi)錯角相等．真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題主要考查了真假命題的判定，熟練掌握有理數(shù)和無理數(shù)、平行公理、內(nèi)錯角等知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行公理、有理數(shù)和無理數(shù)、內(nèi)錯角的定義和性質(zhì)分析判斷即可．【詳解】解：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，該命題是真命題；②不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，如，故原命題是假命題；③同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故原命題是假命題；④兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題是假命題．所以，真命題的個數(shù)是1個．故選：A．6．如圖，對于下列條件：；；；其中一定能得到的條件有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線的判定定理逐個判斷即可．【詳解】解：，∴；，∴；，∴；，∴；綜上分析可知，一定能得到的條件有，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查平行線的判定定理，靈活運用平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABDE的外部時，此時測得∠1＝110°，∠C＝36°，則∠2的度數(shù)為（）°．

A．35 B．36 C．37 D．38【答案】D【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠C′=∠C=35°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DOC=∠1-∠C=74°，∠2=∠DOC-∠C′=38°．【詳解】解：如圖，設(shè)C′D與AC交于點O，∵∠C=36°，∴∠C′=∠C=36°，∵∠1=∠DOC+∠C，∠1=110°，∴∠DOC=∠1-∠C=110°-36°=74°，∵∠DOC=∠2+∠C′，∴∠2=∠DOC-∠C′=74°-36°=38°．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的內(nèi)角和定理及三角形的外角定理是解題的關(guān)鍵．8．深高小學(xué)部飼養(yǎng)了兩只萌萌的羊駝，建筑隊在學(xué)校一邊靠墻處，計劃用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，倉庫總面積為平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，若設(shè)米，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．由鐵柵欄的全長及的長，可得出平行于墻的一邊長為米，再利用長方形的面積公式，即可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：鐵柵欄的全長為15米，米，平行于墻的一邊長為米．根據(jù)題意得：．故選：D9．我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”．請你利用楊輝三角，計算的展開式中，含項的系數(shù)是（

）

A．1 B．5 C．16 D．80【答案】D【分析】根據(jù)公式規(guī)律，寫出展開式，計算即可，本題考查了規(guī)律探索，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得，當(dāng)時，含項的系數(shù)是，故選D．10．如圖，，為上一點，且垂足為，，平分，且，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④；其中正確的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，熟記“一般地，從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線”，“當(dāng)兩直線所組成的角為直角時，稱它們互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線”的相關(guān)概念，利用表示各個角度．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線和垂線的定義逐個分析計算即可．【詳解】解：，，，，平分，，故①正確；，，，即平分，故②正確；，，，，，，，故③正確；，，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選：C．二、填空題11．已知，則的值為．【答案】2023【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：2023．12．成立的的值為．【答案】或或【分析】本題考查的是零指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方，掌握1的任何次冪都等于、1的偶數(shù)次冪都等于1、任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1是解題的關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪的運算法則、有理數(shù)的乘方法則計算即可．【詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．故答案為：或或．13．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是．【答案】1＜AD＜7【分析】延長AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解】解：如圖，延長AD到E，使DE=AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．如圖，四邊形為一長條形紙帶，，將紙帶沿折疊，A、D兩點分別與對應(yīng)，若，則的度數(shù)為【答案】72【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，平行的性質(zhì)．由題意，設(shè)，證明，構(gòu)建方程即可解決問題．解題的關(guān)鍵在于確定角的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：，，，設(shè)，則，，即：，解得：，，故答案為：72．15．如圖，已知，M為平行線之間一點，連接，N為上方一點，連接，E為延長線上一點，若分別平分，