第01講-基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(分層精練)(解析版)

第01講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某學(xué)校新建的天文觀測(cè)臺(tái)可看作一個(gè)球體，其半徑為．現(xiàn)要在觀測(cè)臺(tái)的表面涂一層防水漆，若每平方米需用涂料，則共需要涂料（單位：）（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋郧虻谋砻娣e為，又每平方米需用涂料，所以共需涂料.故選：D2．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）按斜二測(cè)畫法得到，如圖所示，其中，，那么的形狀是（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形C．腰和底邊不相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形【答案】A【詳解】原如圖所示：

由圖易得，，故為等邊三角形，故選：A．3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）

A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體【答案】B【詳解】三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B4．（2023春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)頂點(diǎn)A，，C，恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的表面積是，正四面體，則棱長(zhǎng)為，它的表面積是，正四面體的表面積與正方體的表面積之比為．故選：D．5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，S是所在平面外一點(diǎn)，，且面，，則點(diǎn)A到平面的距離是（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】在三棱錐中，面積，，而平面，平面，即有，，中，，于是，因此的面積，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，由，得，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離是.故選：C6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力．“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)55米，高18米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】該組合體的直觀圖如圖：半球的半徑為米，圓柱的底面半徑為米，母線長(zhǎng)為米，圓臺(tái)的兩底面半徑分別為米和米，高為米，所以半球的體積為（立方米），圓柱的體積為（立方米），圓臺(tái)的體積為（立方米），故該組合體的體積為（立方米）.故選：C7．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺(tái)的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，依題意，，且，解得，而圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，因此圓臺(tái)的高，所以圓臺(tái)的體積.故選：C8．（2023春·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，現(xiàn)將菱形沿對(duì)角線BD折起，當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意在邊長(zhǎng)為6的菱形中，知，和為等邊三角形，如圖所示，

取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則，，同理可得，又，則，則，又平面,故平面，而平面，故,由于為等邊三角形，故三棱錐外接球球心O在平面內(nèi)的投影為的外心，即平面，故，過O作于H，則H為的外心，則,即共面，則，則四邊形為矩形，則在中，，，所以外接球半徑，則外接球表面積為，故選：C二、多選題9．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得C；當(dāng)截面過正方體的體對(duì)角線時(shí)可得D；當(dāng)截面既不過體對(duì)角線又不與任一側(cè)面平行時(shí)，可得A；但無論如何都不能截得B．故選：ACD10．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則（

）A．直線平面B．直線平面C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積【答案】BCD【詳解】由題意，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，P，E，F(xiàn)分別為棱，，BC的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則,,A項(xiàng)，

，設(shè)面的法向量為，則，即解得：，當(dāng)時(shí)，，∵，∴直線與面不平行，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，

設(shè)面的法向量為，則，即解得：，當(dāng)時(shí)，，∵，∴直線與平面平行，B正確；C項(xiàng)，

，C正確；D項(xiàng)，

如圖，三棱錐恰好在長(zhǎng)方體上，且為體對(duì)角線，

∴為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識(shí)得，∴三棱錐的外接球表面積為，D正確；故選：BCD.三、填空題11．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長(zhǎng)為_________．

【答案】/【詳解】由題意可知過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的周長(zhǎng)即的周長(zhǎng)，因?yàn)橹比庵?，所以各?cè)面均為矩形，所以，直三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，

則在矩形中，所以過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長(zhǎng)為，故答案為：12．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，且，該四棱錐的外接球的表面積為，則的取值范圍為______．【答案】【詳解】連接相交于點(diǎn)，連接，則⊥平面，球心在上，連接，則，，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，所以，在直角三角形上，由勾股定理得，即，，解得，由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在取得極小值，也是最小值，此時(shí)，又當(dāng)和時(shí)，，所以，則.故答案為：四、解答題13．（2023春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）已知在圓錐SO中，底面的直徑，的面積為48．

(1)求圓錐SO的表面積；(2)一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余空間．【答案】(1)(2)；.【詳解】（1）解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面的直徑為，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，由勾股定理，可得母線，由圓錐的表面積公式有：；（2）解：如圖所示，作出圓錐的軸截面，球與圓錐側(cè)面相切，設(shè)球心為，則于，（其中為球的半徑），則，可得，即，解得，所以球的體積，圓錐的體積故圓錐體剩余的空間體積為．

14．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，將、、分別沿DE、EF、DF折起，使得A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，求四面體外接球的表面積.

【答案】【詳解】

畫出四面體，如圖1所示，PE、PF、PD兩兩垂直，

將該四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖2所示，則長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球.因?yàn)?，長(zhǎng)方體的外接球球心在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處，且由題意可得，，所以，長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，所以，四面體的外接球的表面積為.B能力提升1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，在其中有一個(gè)內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓柱的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)該內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為h，又圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，高為，則，整理得，則該內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）此時(shí)圓柱的高故選：B2．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為，則以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【詳解】如圖為正四棱柱，為側(cè)面三角形底邊上的高，設(shè)，由已知側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為，所以，連接，設(shè)其交點(diǎn)為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危詾榈闹悬c(diǎn)，因?yàn)?，，又，平面，所以平面，又平面，所以，即為以為斜邊的直角三角形，因?yàn)?，，所以，所以以四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積，四棱錐的側(cè)面積，所以，所以以四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為，故選：B.3．（多選）（2023春·山東臨沂·高一校考期中）如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列命題正確的是（

）

A．正方體外接球的直徑為B．點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則四面體的體積不變C．與所有12條棱都相切的球的體積為D．是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值是【答案】ABC【詳解】選項(xiàng)A：連接，則為正方體外接球的直徑，又，則正方體外接球的直徑為.判斷正確；選項(xiàng)B：點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離恒為1，則四面體的體積不變.判斷正確；選項(xiàng)C：與所有12條棱都相切的球的半徑為，該球體積為，則與所有12條棱都相切的球的體積為.判斷正確；選項(xiàng)D：正方體的內(nèi)切球的半徑為，球心為中點(diǎn)，是球面上任意一點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值是.判斷錯(cuò)誤.

故選：ABC4．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）無人偵察機(jī)在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中扮演著非常重要的角色，它能在萬米高空觀察敵方的地面設(shè)施和軍事力量部署．我國(guó)無偵—8（如圖1）是一款以偵察為主的無人機(jī)，它動(dòng)力強(qiáng)勁，比大多數(shù)防空導(dǎo)彈都要快．已知空間中同時(shí)出現(xiàn)了A，B，C，D四個(gè)目標(biāo)（目標(biāo)與無人機(jī)的大小忽略不計(jì)），如圖2，其中，，，且目標(biāo)A，B，D所在平面與目標(biāo)B，C，D所在平面恰好垂直，若無人機(jī)可以同時(shí)觀察到這四個(gè)目標(biāo)，則其最小偵測(cè)半徑為______．

【答案】【詳解】如圖所示，三棱錐的外接球的球心在平面上的射影就是正三角形的外接圓圓心，記為，連接，，則.設(shè)，連接，則①.過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又平面，所以四邊形為矩形，故，.在中，，，，所以，故，所以，.取的中點(diǎn)，則，連接，則，，故，故在中，，即②.由①②解得所以最小偵測(cè)半徑為.故答案為：.

5．（2023·北京·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BC，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上任意一點(diǎn)．若P與重合，則三棱錐E-PFG的體積是____；若直線BP與平面EFG無公共點(diǎn)，則BP的最小值是__________．【答案】【詳解】若P與重合，則，；若直線BP與平面EFG無公共點(diǎn)，則平面，分別取的中點(diǎn)，連接，則，，，而，所以，同理，，因此可得證共面，即截面即為截面，平面，平面，則平面，同理平面，而，平面，所以平面平面，只要，則有平面，線段即為點(diǎn)軌跡，，因此的最小值為，故答案為：；．C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知三棱錐各頂點(diǎn)均在以為直徑的球面上，，是以為斜邊的直角三角形，則當(dāng)面積最大時(shí)，該三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)為的外心，則為的中點(diǎn)，又設(shè)，中邊上的高為.

由已知，，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即當(dāng)時(shí)，面積取得最大值4.此時(shí)，.顯然，的最大值等于，故，即三棱錐體積的最大值為.故選：A2．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）約翰·開普勒是近代著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，有一次在上幾何課時(shí)，突然想到，一個(gè)正三角形的外接圓與內(nèi)切圓的半徑之比恰好和土星與木星軌道的半徑比很接近，于是他想，是否可以用正多面體的外接球和內(nèi)切球的半徑比來刻畫太陽(yáng)系各行星的距離呢？經(jīng)過實(shí)踐，他給出了以下的太陽(yáng)系模型：最外面一個(gè)球面，設(shè)定為土星軌道所在的球面，先作一個(gè)正六面體內(nèi)接于此球面，然后作此正六面體的內(nèi)切球面，它就是木星軌道所在的球面.在此球面中再作一個(gè)內(nèi)接的正四面體，接著作該正四面體的內(nèi)切球面即得到火星軌道所在的球面，繼續(xù)下去，他就得到了太陽(yáng)系各個(gè)行星的模型.根據(jù)開普勒的猜想，土星軌道所在的球面與火星軌道所在球面半徑的比值為（

）

A． B．3 C． D．9【答案】C【詳解】設(shè)土星軌道所在球面半徑為R，內(nèi)接正六面體邊長(zhǎng)為a，則，∴，所以正六面體內(nèi)切球半徑，設(shè)正四面體邊長(zhǎng)b，外接球球心為，為底面中心，如圖，

正四面體中，，，在中，，則，，設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑，利用等體積法可得，解得，∴，故選：C.3．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合）過作的平行線交于點(diǎn)，將沿折起，點(diǎn)折起后的位置記為點(diǎn)，得到四棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．

【答案】【詳解】由題意知：，，將沿折起，由棱錐結(jié)構(gòu)特征可知，相同的點(diǎn)E位置，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)平面，設(shè)，，，，，令，得或，又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，．故答案為:．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一張紙的長(zhǎng)，寬，.M，N分別是AD，BC的中點(diǎn).現(xiàn)將沿BD折起，得到以A，B，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐，則三棱錐的外接球O的半徑為___________；在翻折的過程中，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：由于和都是直角三角形，所以兩個(gè)面的外接圓圓心都在BD的中點(diǎn)處，因此三棱錐的外接球O的球心O在BD的中點(diǎn)，則半徑，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)與二面角的大小有關(guān)，當(dāng)二面角接近時(shí)，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)最長(zhǎng)，趨于直徑，當(dāng)二面角接近時(shí)，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)最短，如圖翻折后，此時(shí)，所以則，由相似比可得，所以，直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)，綜上直線MN被球O截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是，故答案為：；.5．（2023·重慶