2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第八章立體幾何第3講點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系含解析

PAGE6-第3講點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c肯定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行2．(2024年浙江)已知相互垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿意m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n3．(2024年寧夏銀川模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，則下列結(jié)論肯定正確的是()A．m⊥nB．m∥nC．m與n相交D．m與n異面4．(2024年上海)如圖X8-3-1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是()圖X8-3-1A．直線AA1B．直線A1B1C．直線A1D1D．直線B1C15．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)6．(2024年寧夏銀川模擬)如圖X8-3-2所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4，則異面直線BD1與C1N所成角的余弦值為()圖X8-3-2A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(3,5)7．(多選)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是()A．假如m∥α，n∥β，那么m∥nB．假如m∥α，m?β，α∩β＝n，那么m∥nC．假如m⊥α，m?β，那么α⊥βD．假如α∥β，m?α，n∥β，那么m∥n8．(多選)設(shè)α是給定的平面，A，B是不在α內(nèi)的隨意兩點(diǎn)，則()A．在α內(nèi)存在直線與直線AB異面B．在α內(nèi)存在直線與直線AB相交C．存在過(guò)直線AB的平面與α垂直D．存在過(guò)直線AB的平面與α平行9．(2024年新課標(biāo)Ⅲ)a，b為空間中兩條相互垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是________．(填寫全部正確結(jié)論的編號(hào))10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)．(1)求AC與D1D所成的角；(2)求AC與C1D所成的角；(3)求BD1與CE所成角的余弦值．11．(2024年上海)將邊長(zhǎng)為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖X8-3-3，長(zhǎng)為eq\f(5π,6)，長(zhǎng)為eq\f(π,3)，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．(1)求圓柱的體積與側(cè)面積；(2)求異面直線O1B1與OC所成的角的大小．圖X8-3-312．(2024年上海)如圖X8-3-4，在正三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝eq\r(3).(1)若PB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，求AC與MN的夾角；(2)求P-ABC的體積．圖X8-3-4

第3講點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．C解析：由題意易知，c與a，b都可相交，也可只與其中一條相交，故A，B均錯(cuò)誤；若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，依據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面沖突，D錯(cuò)誤．故選C.2．C3．A解析：若β⊥α，m⊥α，則直線m與平面β的位置關(guān)系有兩種：m?β或m∥β.當(dāng)m?β時(shí)，又n⊥β，∴m⊥n；當(dāng)m∥β時(shí)，又n⊥β，∴m⊥n.故選A.4．D5．B解析：設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連接EF，CF，則EF∥BD，∴CE與EF所成角就是異面直線CE與BD所成角，設(shè)正四面體ABCD棱長(zhǎng)為2a，EF＝a，CE＝CF＝eq\r(3)a，由余弦定理可得cos∠CEF＝eq\f(a2＋3a2－3a2,2a·\r(3)a)＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).6．B解析：補(bǔ)一個(gè)與原長(zhǎng)方體相同的，并與原長(zhǎng)方體有公共面BCC1B1的長(zhǎng)方體BEFC-B1E1F1C1，如圖D204所示．連接C1E，NE，則C1E∥BD1，于是∠NC1E即為異面直線BD1與C1N所成角(或其補(bǔ)角)．圖D204在△NC1E中，依據(jù)已知條件可求C1N＝5，C1E＝13，EN＝eq\r(E1N2＋EE\o\al(2,1))＝4eq\r(17).由余弦定理，得cos∠NC1E＝eq\f(C1N2＋C1E2－EN2,2C1N×C1E)＝－eq\f(3,5).∴BD1與C1N所成角的余弦值為eq\f(3,5).7．BC8.AC9．②③解析：由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B，作BD＝a，交底面圓C于點(diǎn)D，如圖D205所示，連接DE，則DE⊥BD，∴DE＝b，連接AD，等腰△ABD中，AB＝AD＝eq\r(2)，當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，∠ABD＝60°，故BD＝eq\r(2).又在Rt△BDE中BE＝2，∴DE＝eq\r(2)，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連接AF，由圓的對(duì)稱性可知BF＝DE＝eq\r(2)，∴△ABF為等邊三角形，∴∠ABF＝60°，即AB與b成60°角，②正確，①錯(cuò)誤．由最小角定理可知③正確；很明顯，可以滿意平面ABC⊥直線a，直線AB與a所成的最大角為90°，④錯(cuò)誤．正確的說(shuō)法為②③.圖D20510．解：(1)D1D∥A1A，A1A⊥AC，∴AC⊥D1D即AC與DD1成90°角．(2)AC∥A1C1，AC與C1D所成的角為∠A1C1D，而△A1C1D為等邊三角形，∴∠A1C1D＝60°.∴AC與C1D成60°角．圖D206(3)如圖D206，連接AD1，A1D交點(diǎn)為M，連接ME，MC，則∠MEC(或其補(bǔ)角)即為異面直線BD1與CE所成的角，設(shè)AB＝1，CE＝eq\f(\r(5),2)，ME＝eq\f(1,2)BD1＝eq\f(\r(3),2)，CM2＝CD2＋DM2＝eq\f(3,2).在△MEC中，cos∠MEC＝eq\f(CE2＋ME2－CM2,2CE·ME)＝eq\f(\r(15),15)，因此異面直線BD1與CE所成角的余弦值為eq\f(\r(15),15).11．解：(1)如圖D207，由題意可知，圓柱的母線長(zhǎng)l＝1，底面半徑r＝1.圖D207圓柱的體積V＝πr2l＝π×12×1＝π，圓柱的側(cè)面積S＝2πrl＝2π×1×1＝2π.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)B1的母線與下底面交于點(diǎn)B，則O1B1∥OB.∴∠COB或其補(bǔ)角為O1B1與OC所成的角．由長(zhǎng)為eq\f(π,3)，可知∠AOB＝∠A1O1B1＝eq\f(π,3).由長(zhǎng)為eq\f(5π,6)，可知∠AOC＝eq\f(5π,6)，∴∠COB＝∠AOC－∠AOB＝eq\f(π,2).∴異面直線O1B1與OC所成的角的大小為eq\f(π,2).12．解：(1)∵M(jìn)，N分別為PB，BC的中點(diǎn)，∴MN∥PC，則∠PCA為AC與MN所成角，在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝eq\r(3)，可得cos∠PCA＝eq\f(PC2＋AC2－PA2,2PC·AC)＝eq\f(3,2×2×\r(3))＝eq\f(\r(3),4)，∴AC與MN的夾角為arccoseq\f(\r(3),4)；(2)如圖D208，過(guò)P作