2024屆山東省乳山市某中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆山東省乳山市第一中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)廠為拋物線工=4丁的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上三點(diǎn)，若+=貝IIE4I+依l+|EC|=（）.

3

A.9B.6C.-D.—

816

2

2.設(shè)6分別是雙線的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以耳居為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近

a"

線分別交于A3兩點(diǎn)（位于y軸右側(cè)），且四邊形04死3為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.x±v=0B.V3x±y=0C.x土道y=0D.3x±y=0

22

3.已知雙曲線■-4=lS>a>0）的焦距為2c,若M的漸近線上存在點(diǎn)7,使得經(jīng)過點(diǎn)T所作的圓

a~b~

U-c）2+y2=cr的兩條切線互相垂直,則雙曲線M的離心率的取值范圍是（）

A.(1,V2]B.(0,6]C.(五，石]D.(省,6

4.若復(fù)數(shù)z滿足iz—2=i,則⑸=()

A.y/2B.C.2D.加

5.過拋物線V=4x的焦點(diǎn)/的直線交該拋物線于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若|4尸|=3,則直線A8的斜率為（）

A.±72B.-V2C.2五D?±272

6.將函數(shù)/（x）=底in2x-cos2x向左平移季個(gè)單位，得到g（x）的圖象，則g（x）滿足（）

（乃、（乃、

A.圖象關(guān)于點(diǎn)—,0對稱，在區(qū)間0,二上為增函數(shù)

B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)g,0對稱

IJJ

C.圖象關(guān)于直線x=5對稱，在二，g上的最小值為1

6123

D.最小正周期為江，g(x)=l在0,(有兩個(gè)根

7.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，G為B尸的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線EG與直線BC所成角的余弦值為

()

8.若函數(shù)/*)=加+3/+/?在工=1處取得極值2,則。一〃=()

A.-3B.3C.-2D.2

9.如圖，將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形A8CO,將平行四邊形A8CO沿對角線8。折起，使平面

48。_1_平面8。。，則直線AC與3。所成角余弦值為()

D.

3

20B.一也

II

亍3一3

11.己知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，S“為其前〃項(xiàng)和，4+%=4+4。，貝"2i=()

A.7B.14C.28D.84

12.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范

圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學(xué)

生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）

頻率4

組距1

0.161----------

o

o?10

0?8

o04

O?

0?02

17.52022.52527.5自習(xí)時(shí)間/小時(shí)

A.56B.60C.140D.120

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知直線不一），+4=0與圓心為。的圓f+）,2+2上一4），-4=0相交于48兩點(diǎn)，且AC_L8C,則實(shí)數(shù)。的值

為.

14.已知角二十二的終邊過點(diǎn)尸（一1,一2五），貝ijsina_.

6

15.正方形ABC。的邊長為2,圓。內(nèi)切于正方形ABC。，MN為圓。的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)P為正方形ABCO邊界上

任一點(diǎn)，則QV7.尸N的取值范圍是.

16.已知復(fù)數(shù)zi=l-2i,Z2=a+2i（其中i是虛數(shù)單位，a￡R）,若z產(chǎn)Z2是純虛數(shù)，則。的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在①她="，②2=%,③55-S3=48這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的正整

數(shù)人存在，求〃的值；若不存在，說明理由.

設(shè)正數(shù)等比數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為S“，｛q｝是等差數(shù)列，,4=。4,4=2,〃3+%+%=30,是否存

在正整數(shù)也｝,使得S*]=耳+4+32成立?

18.（12分）設(shè)點(diǎn)廠（1,0）,動(dòng)圓尸經(jīng)過點(diǎn)尸且和直線x=—l相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W.

（1）求曲線W的方程；

（2）過點(diǎn)“（0,2）的直線/與曲線卬交于A、3兩點(diǎn)，且直線/與/軸交于點(diǎn)C,設(shè)MA=aA。，MB=BBC,

求證：。十夕為定值.

19.（12分）已知函數(shù)人X）=8.2.AX（其中e為自然對數(shù)的底，A為常數(shù)）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)A的取值范圍；

（2）證明：/U）的極大值不小于1.

八1

x=2/n-\-----

6m

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸

、1

y=2m------

6m

的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為〃（。+?）=1.

（1）求直線，的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

（2）已知點(diǎn)M（2,0）,若直線，與曲線C相交于尸、。兩點(diǎn)，求總j+日島的值.

21.（12分）在平面四邊形AC8D（圖①）中，AA3C與A/WQ均為直角三角形且有公共斜邊A8,設(shè)A3=2,

NB4O=30。，N84C=45。，將A4BC沿A8折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C'一/W。，且使C7?=JL

（1）求證：平面C'A8_L平面D48；

（2）求二面角A—CO—5的余弦值.

22.（10分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識，高二年級準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保

護(hù)興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理

科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護(hù)興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4

人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.

（1）設(shè)事件A為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”，求事件A發(fā)

生的概率；

（2）用X表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

_一_,3.一__.

設(shè)A0/）,6（%,必），。（七，%），由必+b8+￡。=0可得玉+占+占=3,利用定義將|/?1+/必|+1"。|用

16

王，馬，工3表示即可.

【詳解】

設(shè)4$方），8（%,%），。（如必），由E4+FB+FC=0及F（4,0），

lo

得（內(nèi)-J，X）+（占一］，%）+（占一4，%）=（°，°），故%+9+%3=2，

16Jo1616

所以|E4|+M|+|FC|=M+4+9+4+M+J="

lololoo

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.

2、B

【解析】

由于四邊形。4與3為菱形，且|。鳥|=（訓(xùn)，所以A4O6為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.

【詳解】

如圖，因?yàn)樗倪呅?4八8為菱形，|。圖二|。4|=|。4，所以AAO外為等邊三角形，NAO用=60,兩漸近線的斜

率分別為退和-g.

故選：B

此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

由ja可得《>&；由過點(diǎn)了所作的圓的兩條切線互相垂直可得|7F|=叵a，又焦點(diǎn)F（c,O）到雙曲線漸近線的距離

為h，則|7萬|=億2。,進(jìn)而求解.

【詳解】

?.?〃＞。,所以離心率6=￡=>72,

a

又圓（x-c）2+V=/是以尸（c,o）為圓心，半徑r=a的圓.要使得經(jīng)過點(diǎn)丁所作的圓的兩條切線互相垂直，必有

\TF\=＞/2a9

而焦點(diǎn)F（c,0）到雙曲線漸近線的距離為乩所以|丁川=JL?＞人,即1S五，

所以e=￡=11+（斗W,所以雙曲線/的離心率的取值范圍是（五,6].

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.

4、D

【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.

【詳解】

解：由題意知，iz=2+i,

2+j（2+z）z-1+2，,?

??-2=—=—T^=^—=1-2^

22

/.|z|=|l-2i|=Jl+（-2）=^5f

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法.

5、D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合IA尸1=3,求出A的坐標(biāo)，然后求出A尸的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點(diǎn)廠。。)，準(zhǔn)線方程為x=—l,

設(shè)A(x,y),貝ij|A/q=x+l=3,故工=2,此時(shí))，=士2四，即A(2,±2近).

則直線AF的斜率k=絲也=±272.

2-1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

6、C

【解析】

由輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g(x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即

可判斷各選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)/(i)=\/3sin2x-cos2x,

/\

則/(x)=2sin2X」2，

I6)

/\

將/")=2sin2x-［向左平移5個(gè)單位，

2fx+-l--'|=2sinf2ji+-

可得g(/)=2sin

l6j6I6j

萬7Tk7T

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，g(x)的對稱中心滿足2工+乙=&萬次wZ,解得x=-二+一，,&wZ,所以A、B選項(xiàng)中

6122

的對稱中心錯(cuò)誤；

對于C,g(x)的對稱軸滿足2x+H+2gkeZ,解得x=1+br,讓Z,所以圖象關(guān)于直線”=［對稱；當(dāng)

6266

71冗71

時(shí)，21十三€—＞由正弦函數(shù)性質(zhì)可知2sin2x+*1,2］,所以在gg上的最小值為L

112233636O6J/IN。

所以C正確;

7124

對于D,最小正周期為多="，當(dāng)0,f2犬+—￡，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，2sin2/+9=1

7'T

246\6J

時(shí)僅有一個(gè)解為x=0,所以D錯(cuò)誤；

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

7、C

【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，產(chǎn)三點(diǎn)重合，記作。，取QC中點(diǎn)“，連接EG,￡",G〃，/EGH即

為EG與直線所成的角，表示出三角形EG”的三條邊長，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【詳解】

將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中人。,尸三點(diǎn)重合，記作。：

則G為8力中點(diǎn)，取。。中點(diǎn)H,連接EG,EH,GH,設(shè)正四面體的棱長均為

由中位線定理可得G/7//3C且

22

所以NEGH即為EG與直線所成的角,

EG=EH==—

N12J2

由余弦定理可得ssZEG”應(yīng)蟋產(chǎn)

3-a2+-1?233

444

2怎L-6，

22

所以直線EG與直線BC所成角的余弦值為正，

6

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.

8、A

【解析】

fra)=o,

對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，可得匕八、「，即可求出,進(jìn)而可求出答案.

J(1)=2

【詳解】

,、、，⑴=3。+6=0

因?yàn)閒*)=便+3/+。,所以/⑺=3ad+6工，則，，，.，解得〃=-2力=1，則a-b=-3.

/⑴=a+3+Z?=2

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

利用建系，假設(shè)A3長度，表示向量AC與3。，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由平面平面8CO,ABLBD

平面ABDc平面3CQ=3O,ABI平面AAD

所以AB_L平面8c。，又。Cu平面BC。

所以AB_LOC,又DBIDC

所以作z軸〃AB，建立空間直角坐標(biāo)系R-卬2

如圖

A

設(shè)AB=1,所以8。=1,。。=1,8。=血

則A（O,L1）,5（OJO）,C（1,O,O）,D（O、O,O）

所以AC=（1,—L—1）,80（0,—1,0）

_L_且

所以cos（AC,8。）

3-T

ACBD\

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面，然后利

用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.

【詳解】

./\?2a

/.sin（乃+a）=_sina=----

本題正確選項(xiàng)：R

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

11、D

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求解得到4=4,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即得解

【詳解】

???4+%="+40，

/.4+q1—6d=67]?—5d+q1—d

解得知=4.

.%=21（q；-）=21%=84.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中

檔題.

12、C

【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為（0.16+0.08+0.（M）X2.5=0.7,故自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)

的頻率為0.7x200=140,故選C

考點(diǎn)：頻率分布直方圖及其應(yīng)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、0或6

【解析】

計(jì)算得到圓心。（一1,2）,半徑r=3,根據(jù)4C_L8c得到d=孚，利用圓心到直線的距離公式解得答案.

【詳解】

x2+y2+2x-4y-4=0,即（x+l[+（y—2了=9,圓心。（一1,2）,半徑/'=3.

ACLBCt故圓心到直線的距離為4=辿，即4=蚱m=辿，故。=6或。=0.

2x/22

故答案為：。或6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。

1-2

14、限

6

【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得凱”值.

【詳解】

解：??,角a+￡的終邊過點(diǎn)。（一1,一2加）,

6

..(乃、-2722及71-1_1

??sinCLH———]一,COSOC4--1——-j-----------------

<6JJl+83I6)VT783'

7171.兀71sinJ一延11-2V6

:.sina=sina+—=sma+—cos---cosa+—

6J6\666j6326

故答案為：上建

6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

15、[0,11

【解析】

根據(jù)向量關(guān)系表示PM-尸N=（2O十OM）?（2（9—OW）=PO2-OM2=0O.-1,只需求出的取值范圍即可

得解.

【詳解】

由題可得：QM+ON=（），］。0卜［1，&］

「知.川二僅0+0河）（尸0+0%）=僅0+0附.僅0-0例）

=PO=PO2-1G［（）J］

故答案為：［0川

【點(diǎn)睛】

此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙ο蛄窟M(jìn)行轉(zhuǎn)換，便于計(jì)算解題.

16、-1

【解析】

a+4=0

由題意z/Z2=。+4+(2-2〃)i,令'即可得解.

2—2力0

【詳解】

'.>21=1-2z,Z2=a+2it

/.Z)?z2=(1-2i)(a+2i)=a+4+(2-2a)i,

a+4=0

又zg是純虛數(shù)，,仁c八，解得，。=?L

2-2"0

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、見解析

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及6=2、%+%+%=30,可求得等差數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，由伉=。4即可求得與的值；根據(jù)

等式幾尸鼠+。+32,變形可得bi=4+32,分別討論?、佗冖壑械囊粋€(gè)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡，檢

驗(yàn)是否存在正整數(shù)k的值即可.

【詳解】

???在等差數(shù)列｛4｝中，4+%+%=3%=30,

/.a5=10,

???公差二幺=2,

5-1

:.an=4-l)d=2〃,

**?4二W二8,

若存在正整數(shù)3使得％產(chǎn)54+4+32成立，即加產(chǎn)4+32成立，設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為例｝的公比為

若選①，???她二/6，

/?2=4,

:?q=;=乙，

b2

：,bn=2"，

二當(dāng)Z=5時(shí)，滿足力6=4+32成立.

若選②,64=〃12=24,

?。=4一3

???bi”

???8?3”-2=8?3”-3+32,

，3"3=2方程無正整數(shù)解，

，不存在正整數(shù)〃使得".』="+32成立.

若選③，二55-S3=48,

.,./?4+/?5=48,

:.8q+際=48,

工/+”6=0,

，解得4=2或c/=-3(舍去)，

:?bn=2",

???當(dāng)攵=5時(shí)，滿足4=4+32成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，遞推公式的簡單應(yīng)用，補(bǔ)充條件后

求參數(shù)的值，屬于中檔題.

18、(1)y2=4x；(2)見解析.

【解析】

(1)已知夕點(diǎn)軌跡是以尸為焦點(diǎn)，直線工=-1為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得曲線W的方程；

2

(2)設(shè)直線方程為)，二丘+2,左。0,則。(一7,0),設(shè)A(x，y),B(x,,%),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)

k

用韋達(dá)定理得芭+々，%工2,由MA=aAC，=用橫坐標(biāo)表示出。,萬，然后計(jì)算。+小，并代入M+Z，

七X2可得結(jié)論?

【詳解】

(1)設(shè)動(dòng)圓圓心尸(X,)，)，由拋物線定義知：尸點(diǎn)軌跡是以產(chǎn)為焦點(diǎn)，直線x=-l為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為

/=2p.r(p>0),則解得〃=2.

，曲線W的方程為〉，2=4x；

2

(2)證明：設(shè)直線方程為y=H+2,女工0,則。(一0),設(shè)44乂),設(shè)電,必),

y=kx+2.._

由，得《丁+（4左一4）工+4=0,①，

y=4x

4%—44

則％+E=----3—,不為二^?，②，

KK

由MA=aAC，=得

2八2

（X，y-2）=。（一內(nèi)一二,一y）,（x,y--2）=p（-x--,-y）,

k.2'yk2

-kx.八一kx、

整理得。=7~~、，P=--二，

3+2kx-,+2

:.”0=的+*2于中2口（西+/）

=代入②得:

2

3+2kx2+2kx1x2+2Z（x+w）+4

,44k-4

—2k~x---'2kx（

a+pk~

,24.4k—4

kx—+2kx（------）+4

k2k2

【點(diǎn)睛】

本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設(shè)而不求的思想方

法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)A(.%y),B(X2，%)，設(shè)直線方程)”依+〃2,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次

方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得玉+電，x/2,代入題中其他條件所求式子中化簡變形.

19、(1)^G(2-21n2,-H?).(2)見解析

【解析】

(1)求出/'(x)=，-2x-Z,記gCr)=/-2x,問題轉(zhuǎn)化為方程晨力=2有兩個(gè)不同解,求導(dǎo)，研究極值即可得

結(jié)果；

(2)由(1)知，/0)在區(qū)間(F/n2)上存在極大值點(diǎn)王，且攵=--2F，則可求出極大值/(5)=(1一凡)人+%2,

記/2(r)=(l-1)d+〃(/￡(-8,ln2)),求導(dǎo)，求單調(diào)性，求出極值即可.

【詳解】

(1)f\x)=ex-2x-k,由/(％)=0="-2>

記g(x)=e'-2x,g\x)=ex-2,

由g'(x)=0nx=ln2,且上vln2時(shí),g'(x)vO,g(x)單調(diào)遞減，g(x)e(2-21〉2,+<x)),

冗>ln2時(shí),g^x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g(\)w(2-21n2,+oo),

由題意，方程g(x)=〃有兩個(gè)不同解，所以丘(2-21n2,+co)；

(2)解法一：由(1)知，/。)在區(qū)間(-8,ln2)上存在極大值點(diǎn)再，且左二*一2司，

所以的極大值為/(%)=8―%2_卜"_2xjx|=(1—xje項(xiàng)+西2,

記/2(r)一(1一1)/十產(chǎn)Qe(-co,ln2)),則h\t)=一%’+2f=(2-3),

因?yàn)閒w(-00,In2),所以2-->0，

所以/<0時(shí)，//(r)<0,/6)單調(diào)遞減，0<，<ln2時(shí)，h\t)>0,/zQ)單調(diào)遞增，

所以f(t)>/?(0)=1,即函數(shù)f(x)的極大值不小于1.

解法二：由(1)知，/")在區(qū)間(-8,ln2)上存在極大值點(diǎn)占，且上=e3-2*，

所以/。)的極大值為/($)=?*_2%)%=(1_玉)6演+X：,

A|

因?yàn)?一百>0,^>l+xr所以/(再)之(1一%)(1+式)+%2=1.

即函數(shù)/(X)的極大值不小于1.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查學(xué)生綜合分析能力與轉(zhuǎn)化能力，是一道中檔題.

20、⑴，--向-2=0,C方程為⑵的+而而=券

【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】

x=2Cm+——1

6：（帆為參數(shù)）,

⑴曲線C的參數(shù)方程為

y=2m------

6m

兩式相加得到4〃?=x+），，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為-|y2=i.

44

直線/的極坐標(biāo)方程為〃cos（0+—）=1,Jl!|p（cos^cos--sinsin—）=1

333

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x-J藥一2=0.

x=2+——t

（2）將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為12。為參數(shù)）,

1

33

代入廠「二得至⑸2+12瘋+16=°（，由,2為八。對應(yīng)的參數(shù)）,

16

所以/]+與’1=二T

3

|MP|十|MQ|/+4_3G

所以L+」

|MP|\M\Q\\MP\\MQ\\tit2\4

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)

算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

21、（1）證明見解析；（2）-'變

35

【解析】

（1）取48的中點(diǎn)0,連接CO,。。，證得COJLOO,從而證得C，O_L平面A3O,再結(jié)合面面垂直的判定定理,

即可證得平面C'AB平面DAB;

（2）以。為原點(diǎn)，ABfOC所在的直線為j軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面AC'。和平面BCZ＞的法向

量，利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】

（1）取48的中點(diǎn)。，連接CO,DO,

在RS4C5和放△40〃中，A3=2,則（70=00=1,

22

又CD=72，所以CO?+DO=CD,即CO±ODf

又且48no0=0,AB,OOu平面A8O,所以CO_L平面A8Q,

又C，Ou平面CA9,所以平面C/BJ■平面OAR

（2）以。為原點(diǎn)，AB,OC所在的直線為y