高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題練習(xí)-函數(shù)方程問題的分析知識(shí)歸納及典型例題分析

函數(shù)方程問題的分析

1、函數(shù)方程：含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程，例如：

f(x)=—〃_力,〃1一%)=〃1+月都可稱為函數(shù)方程。在高中階段，涉及到函

數(shù)方程有以下幾個(gè)類型：

(1)表示函數(shù)〃力的某種性質(zhì)：例如〃x)=/(r)體現(xiàn)是偶函數(shù)；

〃x+l)=/(x)體現(xiàn)是周期為1的周期函數(shù)(可詳見“函數(shù)對(duì)稱性與周期

性”一節(jié))

(2)可利用解方程組的思想解出涉及的函數(shù)的解析式：例如：f(xU2f(^]=3x,

/(x)+2/f-

可用上代替X得/-+2/(x)=-,即《

xX

(3)函數(shù)方程也是關(guān)于變量的恒等式，所以通過對(duì)變量賦特殊值得到某些數(shù)的

函數(shù)值

2、雙變量函數(shù)方程的賦值方法：

(1)對(duì)國y均賦特殊值，以得到某些點(diǎn)的函數(shù)值，其中有些函數(shù)值會(huì)對(duì)性質(zhì)的

推導(dǎo)起到關(guān)鍵作用，比如在賦特殊值的過程中要注意所賦的

值要符合函數(shù)定義域。

(2)其中某一個(gè)變量不變，另一個(gè)賦特殊值，可得到單變量的恒等式，通常用

于推斷函數(shù)的性質(zhì)

3、常見函數(shù)所符合的函數(shù)方程：在填空選擇題時(shí)可作為特殊的例子輔助處理，

但是在解答題中不能用這些特殊的函數(shù)代表函數(shù)方程

⑴/(x+y)=/(x)+/(y)：f[x)=kx

⑵/(x+y)=/(x)-/(j)：f(x)=ax(a>O,a^\)

(3)①當(dāng)xe(O,a)時(shí),/(xy)=/(x)+/(j)：/(x)=logflx

②當(dāng)％w{x|xwO}時(shí),/(x-y)=/(x)+/(y)：/(x)=logfl|x|

典型例題

例1：已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的機(jī)R均有y(zn+w)=/(m)+f(〃)，且當(dāng)x>0時(shí),

，(x)>0

(1)求證：為奇函數(shù)

(2)求證：f(x)為R上的增函數(shù)

(1)思路：要證明奇函數(shù)，則需要出現(xiàn)在同一等式中，所以考慮令

m=x,n=-x,則有，(O)=/(X)+/(T)，再通過代入特殊值計(jì)算出“0)=0即

可

解：(1)令==則f(0)=f(x)+f(-x)

令m=o,〃=o,則/(o)=/(0)+/(0)解得"0)=0

??/(/)=-/(-"

「./(X)為奇函數(shù)

(2)思路：要證明單調(diào)遞增，則需任取不々￡R，且王</，去證明/(x)與/(W)

的大小，結(jié)合等式，則需要讓/(百)與/(々)分居等號(hào)的兩側(cè)，才能進(jìn)行作差。

所以考慮巧=(9-X])+X]，進(jìn)而m+〃=工2，，=%。只需判斷一不)的符號(hào)即

可

解：任取N./ER，且％<工2，令帆=工2-玉，"=%，代入方程可得：

/[("與)+玉]=/(x2-凡)+/(%)

?/x2>x1x2-Xj>0,依題意可得：/(xj-x,)>0

??-f(不)>。即)

「./(x)為增函數(shù)

例2：已知定義在R上的函數(shù)/(X),對(duì)于任意實(shí)數(shù)。力都滿足

/(a+9=/(a)/S),且/⑴￥()，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>l

(1)求/(0)的值

(2)求證：“力在(F,+oo)上是增函數(shù)

(3)求不等式：/(x2+x)<—!―；的解集

j(2x-4)

解：(1)令a=0=0,則有/(0)=/(0),解得"0)=0或/(0)=1

令〃=0乃=1可得：/(l)=/(O)/(l)^/(l)[/(O)-l]=O

??"(1)工0."(0)=1

(2)思路：考慮證明了(力單調(diào)遞增，則需構(gòu)造出〃與)-〃電)，即可設(shè)

且令a=x2-xl,b=xl,貝！J有/(x2)=/(x,,從而

/(/)一/(%)=[〃￡一%)-1"(百),由/一4>。和已知條件可得：

〃馬一不)一1>0所以需要證明〃%)>0,即Vx￡(-oo,0),/(x)>0,可考慮結(jié)

合題目條件和/(0)=1,令a=%,b=f,則有

/(0)=〃內(nèi))〃―N)=〃內(nèi))=>0,從而單調(diào)性可證

/(一芭)

證明：Vx(,x2eR,x1<Xj,則令〃=毛-x，6=X1,代入函數(shù)方程有：

f(w)=/(w-x)/(x)

???"七)一"耳)=[/(工2f)T"(xJ

?/XJ->0/./(w_%)>(),下證/(xj>0

由已知可得，％>0時(shí)/(%)>1>0,所以只需證明玉e(-oo,0)時(shí)，/(^)>0

令。=百功=_%>0,-./(0)=/(內(nèi))/(一％)=>/(%)=1

%)<0/.-Xj>0:.f(-%)>0

"㈤=黃丁。

??J(w)-,㈤=[/(8-^)-l]/(xI)>0,即/(x,)</(w)

」..(力在R上單調(diào)遞增

(3)思路：本題并沒有“X)的解析式，所以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性求解。由(1)

(2)問可得/(x)>0,從而/(Y+%)<〃1——/(x2+x+2x-4)</(O),

j(2x-4j

再根據(jù)單調(diào)性即可得到關(guān)于x的不等式，解出不等式即可

W：v/(x)>0

*"+*</(2：_4)=/，+X"(2X_4)<]

v/(x2+x)/(2x-4)=/(x2+x+2x-4)=/(x2+3x-4),且/(O)=1

Z./(X2+3X-4)</(0)由(2)可得/(x)單調(diào)遞增

2

/.x+3尤一4Vo解得XE(-4,1)

例3:定義在(fl)的函數(shù)滿足關(guān)系〃x)—"y)=/UW，當(dāng)X￡(-l,0)時(shí)，

/(x)<0,若P=fg)+《),0=L=f(o)，則P,2,0的大小關(guān)系為

()

A.R>P>QB.R>Q>PC.P>Q>RD.

Q>P>R

思路：由比較函數(shù)值大小聯(lián)想到考慮函數(shù)的單調(diào)性，先化簡(jiǎn)P,由

1

山)-〃加代總|可得：十)=〃加上高，令g」

l-xy5

解得：x=1,即尸=所給方程左邊已經(jīng)作差，所以考慮▼%,當(dāng)￡°，；，

X]<x2,則=/'——，因?yàn)??不〈￡?:，

U-2

所以0不一占<0,1-xtx2-?—=從而一1<芻一—<0,

22241—

<0,得到/(力在0,1單調(diào)遞增，所以。>P>R

即/(%)-/(%)=/

1一中2

答案：D

例4：函數(shù)的定義域?yàn)閧xlxwO},滿足〃Ay)=〃x)+"y)，〃力在區(qū)間

(o,y)上單調(diào)遞增，若用滿足/(咋3加)+/log,^<2/(1),則實(shí)數(shù)根的取值

范圍是()

A.[1,3]B.(0,gC.(0,；U(L3]D.\1)U(1,3]

思路：從所求中發(fā)現(xiàn)log,mJogi機(jī)互為相反數(shù)，所以聯(lián)想到判定/(力是否具有

3

奇偶性。令y=-l,則有/(T)=/(6+/(T),需求出/(一1)：令x=y=-l,

則/(1)=2/(-1),再令x=y=l,則/(l)=2/(l)n/(l)=0=/(T)=0,所以

/\

/(-x)=/(x),/(x)為偶函數(shù)。所以/(log3〃z)+flog,tn=2/(log3w),所解

k37

不等式為〃10g3m)W〃l),因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且區(qū)間(0,y0)上單調(diào)遞增，所

以自變量距離y軸越近，則函數(shù)值越小，所以|log3時(shí)金，BF-l<log3/n<l,解

^-<w<3,因?yàn)镮og3mw0=>〃2wl,所以機(jī)的范圍為|U(L3]

答案：D

例5：設(shè)角a的終邊在第一象限，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,1],且/(0)=0,/(1)=1,

當(dāng)時(shí)，有/，=/(.r)sin<z+(1-sin6z)/(y),則使等式=；成立

的a的集合為

思路：首先從所求出發(fā)，由/口=：確定代入的特殊值。令/=士丫=0得:

⑷42

(l-sina)/(O)=/^sina二;，則下一步需要確定/[J]

的值，令x=l,y=0,則有j=/(l)sina+(l-sina)/(0)=sin?,所以

sin2a=-,由角a的終邊在第一象限可得：sina=l,從而a的集合為

42

<a|a=—+2出肛keZ>

6

答案：｛a|a=專+2k兀、kGZ-

例6：定義在［-2013,2013］上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意的口力目-2013,2013］,

有〃a+b)=〃a)+〃b)—2012,且x>0時(shí)，有〃力>2012,設(shè)“力的最大值

和最小值分別為則M+N的值為()

A.2011B.2012C.4022D.4024

思路：由最值聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)性，從而先考慮證明了(力單調(diào)，令

a=x2-xl,b=xl(其中％<赴)，則可證明〃力為增函數(shù)，從而

M=/(2013),N=/(-2013),再利用函數(shù)方程求出/(2013)+/(-2013)的值即

可

解：Vxpx2G［-2013,2013］,且為<工2，令。=9-代入函數(shù)方程可得：

/(9)=/(玉)+/(吃_玉)_2012,???工2一%>°

../(xj-％2012「./(%)-/(^)>0

在［-2013,2013］單調(diào)遞增

”=〃力皿=/(2O13),2V=/(x)^n=/(-2O13)

M+N=/(2013)+/(-2013)=『［2013+(-2013)］+2012

=40)+2012

令a=8=0,可得：/(0)=2/(0)-2012=>/(0)=2012

.?.M+N=4O24

答案：D

例7：已知函數(shù)/(可滿足："1)=1,對(duì)任意實(shí)數(shù)Xy

都有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y)，則〃1)+〃2)+/(3)+…+〃2014)=

()

A.1B.—C.-D.—1

22

思路：由所求出發(fā)可考慮判斷“力是否具備周期性，令y=l,可得

/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l),即/(x+l)+/(x-l)=/(x),所以

/(X+2)4-/(X)=兩式相加可得〃%+2)=-/(%-1),則可判定的

周期為6,由〃x+l)+/(x—1)=〃力可得：/(2)+/(0)=/(1)=1,即

/(2)+/(6)=i,由/(x+2)=-/(^-l)可得/(4)=-/(1)=~,則

/(3)+/(5)=/(4)=-1,從而/⑴+/(2)+/⑶+〃4)+/⑸+/⑹=0，

所以

〃1)+〃2)+〃3)+…+/(2013)=335[〃1)+…+〃6)]+〃2013)=/(2013),

fi/(2014)=/(4)=-l

答案：B

例8：已知是定義在R上的函數(shù)，廬）=0,且對(duì)任意的都有

思路：函數(shù)方程為“和一積”的特點(diǎn)，抓住二）=0,可發(fā)現(xiàn)令y=x-巳，則

\4/2

=0，所以可

得：自變量間嗚…其函數(shù)值的和為。，所以將求和的式子兩兩一組，即:

例9：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(0)=1,且末Vx,”R,都有

/(肛+l)=/(x)/(y)-/(y)-x+2,則f(x)的解析式為

思路:觀察到右邊的結(jié)構(gòu)并非/(x),/(y)的輪換對(duì)稱式,考慮其中一個(gè)變量不變,

另一個(gè)變量賦值為1,則x=l時(shí)，+=①，y=1

時(shí)，y(x+l)=/(x)/(l)-/(l)-x+2②，則求/⑴是關(guān)鍵，結(jié)合"0)=1,可

令x=y=0,則/(1)=/2(0)_/(0)_0+2=/(])=2,代入到①②可得:

/(y+i)=/(y)+i7(x+l)=/(x)+l

，消去f(x+l)解得：/(x)=x+l

/(x+l)=2/(x)-xf(x+\)=2f(x)-x

答案：/(x)=x+l：

例10：己知函數(shù)/*)是定義在R上不恒為0的函數(shù)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)6滿足

/(2)=2,/(")=4(力+/3),冊(cè)=N*),b.=曾豈,5wN*),

2n

考察下列結(jié)論：

①"0)=/⑴②/㈤為奇函數(shù)③數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列④數(shù)列出｝為等比數(shù)

列，其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1