2025年春新人教版七年級數(shù)學下冊全冊教案

人教版數(shù)學七年級下冊全冊教案（2025年春季新教材）

第七章相交線與平行線7.1相交線7.1.1兩條直線相交教學目標課題7.1.1兩條直線相交授課人素養(yǎng)目標1.理解鄰補角和對頂角的概念，能在圖形中辨認.2.掌握鄰補角和對頂角的性質.3.通過在圖形中辨認鄰補角和對頂角，培養(yǎng)學生的識圖能力.教學重點鄰補角、對頂角的概念，對頂角的性質與應用.教學難點辨認較復雜圖形中的鄰補角和對頂角.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，新課導入【情境導入】在我們生活的世界中，蘊含著大量的相交線和平行線.同學們對兩條直線相交、平行一定不陌生，大橋上的鋼梁和鋼索，棋盤中的橫線與豎線、筆直的高速公路……都給我們以相交線或平行線的形象，從這一章，我們正式開始研究平面內不重合的兩條直線的位置關系.今天這節(jié)課，我們借助直線相交所成的角的位置關系和數(shù)量關系，研究相交線.【教學建議】鼓勵學生發(fā)言，補充實例，激發(fā)學生興趣，建立直觀化、形象化的數(shù)學模型.設計意圖列舉日常生活中常見的相交線、平行線，引入本章內容.活動二：問題引入，自主探究探究點鄰補角與對頂角的認識問題1如圖①，取兩根木條A，B，將它們釘在一起，你能想象出怎樣的幾何圖形？在轉動木條的過程中，它們所成的角也在變化，你能發(fā)現(xiàn)這些角之間不變的關系嗎？如圖②，把它們想象成兩條直線，就得到一個相交線的模型.如果兩條直線有一個公共點，就說這兩條直線相交，公共點叫作這兩條直線的交點.這個圖形的幾何描述為：直線AB，【教學建議】學生動手操作測量各個角的度數(shù)，再由教師帶領學生將4個角兩兩配對，探究它們的位置和數(shù)量關系，最終得出鄰補角和對頂角的概念與性質.設計意圖從生活中的相交線，引申出相交線構成的角.教學步驟師生活動CD相交于點O.問題2任意畫兩條相交的直線，在形成的四個角中，兩兩相配共能組成幾對角？各對角存在怎樣的位置關系？分別量出各個角的度數(shù)，它們存在什么樣的數(shù)量關系？兩條直線相交所形成的角兩兩配對位置關系數(shù)量關系∠1，∠2，∠3，∠4∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4相鄰互補∠1和∠3，∠2和∠4相對相等概念引入：∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線（∠1和∠2互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角.圖中還有哪些角也是鄰補角呢？∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4.因此，每個角的鄰補角有2個.概念引入：∠1和∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角.圖中還有哪些角也是對頂角呢？∠2和∠4.問題3∠1和∠3有怎樣的數(shù)量關系？你能說明其中的道理嗎？在圖中，∠1與∠2互補，∠3與∠2互補，由“同角的補角相等”，可以得出∠1=∠3.歸納總結：這樣，我們得到對頂角的性質：對頂角相等.上面推出“對頂角相等”這個結論的過程，可以寫成下面的形式：因為∠1與∠2互補，∠3與∠2互補（鄰補角的定義），所以∠1=∠3（同角的補角相等）.問題4利用信息技術工具，改變兩條直線相交所成的角的大小，上述∠1與∠2，∠1與∠3的關系還保持嗎？為什么？還保持.因為無論直線怎樣變化，∠1與∠2始終保持互為鄰補角的關系，所以∠1與∠2始終互補；∠1與∠3始終保持互為對頂角的關系，所以∠1始終與∠3相等.例1（教材P3例1）如圖，直線A，B相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度數(shù).角的位置關系指組成要素(頂點與頂點，邊與邊)之間的位置關系.鄰補角和對頂角表示的是兩個角之間的關系，故都是成對出現(xiàn)的；鄰補角不僅僅是在兩條直線相交時出現(xiàn)，如果一條直線與射線相交(端點在直線上)，也可以得到一對鄰補角，“鄰”“補”兩字突出了其本質特征.教學步驟師生活動解：由∠1和∠2互為鄰補角，得∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.由對頂角相等，得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.【對應訓練】教材P3練習第1，2，3題.活動三：重點突破，提升探究例2如圖，直線AB和CD相交于點O，OE平分∠AOD.若∠1+∠2=80°，求∠AOE的度數(shù).解：由對頂角相等，得∠1=∠2.因為∠1+∠2=80°，所以∠1=∠2=×80°=40°.由鄰補角的定義，得∠AOD=180°-∠1=180°-40°=140°.因為OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.【對應訓練】如圖，直線CD與EF相交于點O，OC平分∠AOF.若∠AOE=40°，求∠DOE的度數(shù).解：因為∠AOE=40°，所以∠AOF=180°-∠AOE=140°.因為OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.所以∠DOE=∠COF=70°.【教學建議】給學生總結鄰補角、對頂角通常會與角的和差關系或角平分線結合，找出其中的數(shù)量關系，即可得到相應結果.設計意圖鞏固所學知識，強化學生對鄰補角、對頂角的識別及性質的運用.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是鄰補角？鄰補角與補角有什么區(qū)別和聯(lián)系？2.什么是對頂角？對頂角有什么性質？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P8習題7.1第1，5，9題.2.相應課時訓練.板書設計7.1.1兩條直線相交1.鄰補角的概念.2.對頂角的概念與性質.教學反思本節(jié)課中鄰補角和對頂角概念的教學都是結合圖形進行描述，抓住其本質特征，教會學生如何在圖形中識別它們.在學習對頂角的性質時，要讓學生明白，由什么條件，依據什么，得出什么結果，初步養(yǎng)成言之有據的習慣.解題大招鄰補角與對頂角的性質運用鄰補角及對頂角的相應性質：互為鄰補角的兩個角互補；對頂角相等.例下列圖形中，∠1和∠2一定相等的是（D）解析：這里A,C選項里都不是對頂角，兩個角都不相等；B選項中的兩個角互為鄰補角，這兩個角互補但不相等.只有D項中的∠1和∠2是一對對頂角，這兩個角相等.故選D.培優(yōu)點鄰補角和對頂角的綜合運用例如圖，直線AB和CD相交于點O，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE:∠EOC=3:5，OF平分∠BOE.(1)若∠BOD=72°，求∠BOE的度數(shù)；(2)若∠BOF=2∠AOE+15°，求∠COF的度數(shù).解：（1）由對頂角相等，得∠AOC=∠BOD=72°.由OE把∠AOC分成兩部分,且∠AOE:∠EOC=3:5，得∠AOE=∠AOC=27°.由鄰補角的定義，得∠BOE=180°-∠AOE=180°-27°=153°.（2）由OF平分∠BOE，得∠EOF=∠BOF，∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°.由鄰補角的定義，得∠BOE+∠AOE=180°，即4∠AOE+30°+∠AOE=180°，所以∠AOE=30°.又∠AOE:∠EOC=3:5，∠BOF=2∠AOE+15°，所以∠EOC=50°，∠EOF=∠BOF=75°，所以∠COF=∠EOF-∠EOC=75°-50°=25°.7.1.2兩條直線垂直教學目標課題7.1.2兩條直線垂直授課人素養(yǎng)目標1.了解垂直、垂線的概念，掌握垂線的基本事實“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.2.掌握垂線的性質“垂線段最短”，掌握點到直線的距離的概念，會度量點到直線的距離.教學重點掌握垂直中角度和位置的雙重含義；理解垂線的基本事實并會利用所學知識進行簡單的推理；理解“垂線段最短”，并能運用于生活實際.教學難點過直線上（外）一點作已知直線的垂線，對點到直線的距離的理解.教學活動教學步驟師生活動活動一：回顧舊知，新課導入【回顧導入】在前面我們學習了兩條直線相交形成的四個角，這四個角形成了4對鄰補角和2對對頂角.大家還記得鄰補角和對頂角的定義嗎？如果兩條直線相交形成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線有怎樣的特殊關系？下面的圖片是日常生活中存在這種關系的一些實例.今天我們就來研究這個問題.【教學建議】教師帶領學生回顧相交線的知識，以所成角的特殊情況引入對垂直的探究.設計意圖回顧相交線所成的角，以生活實例引入垂直的概念.活動二：問題引入，自主探究探究點1認識垂線和垂直問題在相交線的模型中，固定木條a，轉動木條b.當b的位置變化時，a，b所成的∠α也會發(fā)生變化.在b轉動的過程中，當∠α=90°時，木條a與b所形成的其他三個角的度數(shù)是多少？其他三個角的度數(shù)都是90°.概念引入：一般地，當兩條直線a,b相交所成的四個角中，有一個角是直角時，我們說a與b互相垂直，記作“a⊥b”.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.【教學建議】學生動手探究兩條直線垂直所形成的四個角之間的關系，“互相垂直”是指兩條直線的位置關系；“垂線”是指其中一條直線對另一條直線的命名.如果兩條直線“互相設計意圖通過對相交線模型的探究，引入垂線的相關知識.教學步驟師生活動由上可知，如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角等于90°，那么這兩條直線互相垂直.如圖，如果直線AB，CD相交于點O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.這個推理過程可寫成什么形式？因為∠AOD=90°，所以AB⊥CD.反過來，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？寫出這個推理過程.因為AB⊥CD，所以∠AOD=90°.這說明垂直的定義具有雙重含義.請找出“活動一”圖片中互相垂直的直線.學生自行回答即可.【對應訓練】1.教材P6練習第1題.2.如圖，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（C）A.40°B.45°C.50°D.55垂直”，那么其中一條直線必定是另一條直線的“垂線”；如果一條直線是另一條直線的“垂線”，那么它們必定“互相垂直”.設計意圖探究點2垂線的基本事實(垂線的性質1)問題如圖，現(xiàn)有一條已知直線l，用三角尺或量角器分別過直線上一點A和直線外一點B，畫l的垂線，這樣的垂線你能畫出幾條？通過實際操作，我們得出：經過直線上一點能畫1條直線與已知直線垂直；經過直線外一點能畫1條直線與已知直線垂直.歸納總結：將上述結論合并在一起，我們得到關于垂線的基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.例1（教材P5例2）如圖，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.解：如圖所示.【對應訓練】1.下列說法正確的有（B）①在同一平面內，過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知【教學建議】學生獨立思考并動手操作，教師總結常規(guī)畫法.畫垂線的方法多種多樣，對于學生使用的其他正確的方法，教師應予以肯定與鼓勵.畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線，垂足可以在線段（射線）上，也可以在線段的延長線（射線的反向延長線）上.通過回顧垂線的畫法，引入對垂線性質的探究.教學步驟師生活動直線垂直；③在同一平面內，過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線；④在同一平面內，有且只有一條直線與已知直線垂直.A.1個B.2個C.3個D.4個2.教材P6練習第2題.設計意圖探究點3垂線的性質2——垂線段最短如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？對于這個問題，我們可以將其簡化為求點P到直線l的最短路線.對此，我們進行如下探究：如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為O.A是直線l上除點O外一點，連接PA.測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？PO的長度小于PA的長度.改變點A的位置后，測量各線段的長度，比較得出：線段PO的長度最短，即當點P與直線l上的點的連線與直線l垂直時，點P到直線l的距離最短.也就是過點P作直線l的垂線，點P與垂足之間的線段即為最短路線.歸納總結：如果我們規(guī)定，當PO⊥直線l時，線段PO為點P到直線l的垂線段，即可得出如下結論（垂線的性質2）：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.問題1我們學習了垂線段，認識了垂線，這兩種圖形有什么區(qū)別與聯(lián)系？垂線段是一條線段，而垂線是一條直線；垂線段是垂線上的一部分.問題2以前我們學習過兩點之間的距離，大家還記得怎樣才能得到兩點之間的距離嗎？測量連接兩個點的線段的長度.問題3類比兩點之間的距離，一個點到一條直線的距離又該如何確定？確定點到直線的距離，應該測量點到直線的垂線段的長度.概念引入：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.【對應訓練】1.現(xiàn)在，你知道本探究點中如何挖渠能使渠道最短嗎？解：應從點P處向河岸作垂線，這樣得到的垂線段即為最短的渠道.2.教材P6練習第3題.【教學建議】教師先引導學生將實際問題抽象成幾何圖形，然后通過圖形探究垂線的性質，得出結論，最后可讓學生舉例說明“垂線段最短”在日常生活中的應用.教師也可以利用幾何畫板構圖，在直線l上拖動點A，改變點A的位置，探究PO與PA的長度關系，讓學生有更直觀地感受.對于“點到直線的距離”應強調說明：距離指的是長度，是一個數(shù)量，而垂線段是圖形，兩者不能混淆.以實際生活問題為例，引出垂線段及點到直線的距離的概念并探究其性質.教學步驟師生活動活動三：重點突破，提升探究例2如圖，直線AB,CD相交于點O，MO⊥AB于點O.(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度數(shù);(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC與∠MOD的度數(shù).解：(1)因為MO⊥AB,所以∠AOM=90°.所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.(2)由已知條件∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.由鄰補角的定義，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.【對應訓練】如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOD，F(xiàn)O⊥AB于點O.（1）若∠COF=50°，求∠COE的度數(shù)；（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度數(shù).解：（1）因為FO⊥AB，所以∠AOF=90°.因為∠COF=50°，所以∠AOC=∠AOF-∠COF=90°-50°=40°.由鄰補角的定義，得∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.因為OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.（2）因為OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.因為∠AOD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=36°.由對頂角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°.【教學建議】學生獨立思考作答，教師統(tǒng)一答案.教師應提醒學生注意：垂直和直線夾角成90°是相互對應的關系，但兩者存在一定的區(qū)別，垂直是兩條直線的位置關系，90°是角的度數(shù).設計意圖利用垂直的定義，結合鄰補角、對頂角等知識解決角度問題.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是垂線？如何用三角尺或量角器過一點畫已知直線、射線、線段的垂線？垂線的基本事實是什么？2.“垂線段最短”和點到直線的距離的含義是什么？垂線段和垂線之間有哪些區(qū)別和聯(lián)系？教學步驟師生活動【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P8習題7.1第2，3，4，6，8題.2.相應課時訓練.板書設計7.1.2兩條直線垂直1.垂直及垂線的相關概念.2.垂線的畫法：①靠；②過；③畫.3.垂線的基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.4.垂線的性質2——垂線段最短.5.點到直線的距離：垂線段的長度.教學反思本節(jié)課主要研究兩條直線相交時的特殊情況——垂直，可類比前面兩條直線相交時的一般情況學習新知識.之后復習垂線的畫法來探究過一點畫已知直線的垂線的情況，通過實際動手操作，體會垂線的存在性和唯一性.最后通過“挖渠”這一實際問題的解決過程，逐步探究得出“垂線段最短”這一性質，并明確點到直線的距離這一概念，滲透了“數(shù)學源于生活，又服務于生活”的理念.其中，應加深學生對于“垂線段最短”這一性質的理解，為后面學習三角形的高做好鋪墊.解題大招一利用垂直或垂線相關的概念或性質解題1.由垂直形成的角是直角（90°）結合對頂角或鄰補角的性質解題例1如圖，直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，且OD平分∠BOE，則∠AOD的度數(shù)是（D）A.120°B.125°C.130°D.135°解析：因為OE⊥AB，所以∠BOE=90°.因為OD平分∠BOE，所以∠BOD=∠BOE=45°.由鄰補角的定義，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-45°=135°.故選D.例2如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O.若∠DOE:∠BOE=1:3，則∠AOC的度數(shù)為60°.解析：因為EO⊥AB，所以∠BOE=90°.因為∠DOE∶∠BOE=1:3，所以∠DOE=30°.所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=90°-30°=60°.由對頂角相等，得∠AOC=∠BOD=60°.2.垂線的性質的應用例3如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是（C）A兩點確定一條直線B在同一平面內，過兩點有且只有一條直線與已知直線垂直C在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D兩點之間，線段最短3.點到直線的距離的判斷點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形.例4已知P為直線l外一點，A，B，C為直線l上三點，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，則點P到直線l的距離不可能是（D）A.1.5cmB.1.9cmC.2cmD.4cm解析：2＜4＜5，由垂線段最短可知，當PC⊥l時點P到直線l的距離為2cm，當PC與l不垂直時點P到直線l的距離小于2cm，因此點P到直線l的距離小于或等于2cm.故選D.解題大招二“垂線段最短”的實際應用生活中往往會遇到“垂線段最短”問題，解題時正確理解這一性質是關鍵.垂線段最短指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短，它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言的.例5如圖①，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資修建一個蓄水池.（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H的位置，使它到四個村莊距離之和最?。唬?）計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短？請說明依據.解：（1）如圖②，因為“兩點之間，線段最短”，所以連接AD，BC交于點H，則點H為蓄水池的位置，它到四個村莊的距離之和最小.（2）如圖②，過點H作HG⊥EF，垂足為G，沿線段GH開渠最短，依據是“垂線段最短”.培優(yōu)點解決與垂直相關的稍復雜幾何圖形問題例1如圖，直線EF，CD相交于點O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度數(shù)（用含α的式子表示）.解：（1）由鄰補角的定義，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-40°=140°.因為OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.由對頂角相等，得∠DOE=∠COF=70°.因為OA⊥OB，所以∠AOB=90°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°.所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=70°-50°=20°.（2）由鄰補角的定義，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-α.因為OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=90°-α.由對頂角相等，得∠DOE=∠COF=90°-α.而∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°-α-(90°-α)=α.例2如圖，OA⊥OB，引射線OC（點C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.（1）若∠BOC=40°，請依題意補全圖形，并求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），請直接寫出∠BOE的度數(shù)（用含α的式子表示）.解：（1）補全圖形如圖所示.因為OA⊥OB，所以∠AOB=90°.因為OD平分∠BOC，∠BOC=40°，所以∠COD=∠BOD=∠BOC=×40°=20°.所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+20°=110°.因為OE平分∠AOD，所以∠DOE=∠AOD=×110°=55°.所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=55°-20°=35°.（2）∠BOE=45°-α.解析:同（1）可得∠COD=∠BOD=α，∠AOD=α+90°，∠DOE=∠AOD=α+45°，則∠BOE=∠DOE-∠BOD=α+45°-α=45°-α.7.1.3兩條直線被第三條直線所截教學目標課題7.1.3兩條直線被第三條直線所截授課人素養(yǎng)目標1.理解“三線八角”中沒有公共頂點的角的位置關系，知道什么是同位角、內錯角、同旁內角.2.通過比較、觀察，掌握同位角、內錯角、同旁內角的特征.3.能在復雜圖形中正確識別圖形中的同位角、內錯角和同旁內角.教學重點理解同位角、內錯角、同旁內角的概念.教學難點在稍復雜的圖形中找出同位角、內錯角或同旁內角，并說出它們分別是哪兩條直線被第三條直線所截形成的.教學活動教學步驟師生活動活動一：舊知拓展，新課導入【拓展導入】如果有兩條直線和另一條直線相交，可以得到幾個角？八個角.通常說：兩條直線被第三條直線所截.如圖，直線AB，CD被直線EF所截.在得到的八個角中，不同頂點處的兩個角有什么關系呢？這就是我們這節(jié)課研究的內容.【教學建議】教師帶領學生認識“三線八角”并解釋圖中截線、被截直線與所成角的關系.設計意圖以相交線進行拓展，引出新課.活動二：問題引入，自主探究探究點1同位角的概念在上圖中，直線AB,CD是被截直線，直線EF是截線.觀察圖中的∠1和∠5，它們與截線及兩條被截直線在位置上有什么特點？特點：∠1和∠5分別在直線AB，CD的同一側（上方），并且都在直線EF的同側（右側）.我們把具有上面這種位置關系的一對角叫作同位角.圖中還有其他的同位角嗎？請寫出來.∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角.上面的4組同位角的簡化圖形如圖所示，它們有什么特征？幾組同位角的簡化圖形都形如大寫的英文字母F（一般地，在形如字母“F”的圖形中存在同位角）.【教學建議】學生按問題自主探索，找出作為例子的一對角在位置上的特點并找出其他具有相同位置關系的角，教師適時歸納總結同位角的概念.引導學生通過簡化圖形，發(fā)現(xiàn)同位角的圖形特征.設計意圖以∠1和∠5為例，探究其位置關系，引出同位角的概念.教學步驟師生活動【對應訓練】1.如圖，與∠1是同位角的是（D）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠52.如圖，∠1和∠2是直線CD和EF被直線AB所截形成的同位角；∠1和∠3是直線AB和CD被直線EF所截形成的同位角.設計意圖探究點2內錯角的概念觀察活動一圖中的∠3和∠5，它們與截線及兩條被截直線在位置上有什么特點？特點：∠3和∠5都在直線AB，CD之間，并且分別在直線EF的兩側（∠3在直線EF的左側，∠5在直線EF的右側.我們把具有上面這種位置關系的一對角叫作內錯角.圖中還有其他的內錯角嗎？請寫出來.∠4和∠6也是一對內錯角.上面兩對內錯角的簡化圖形如圖所示，它們有什么特征？兩對內錯角的簡化圖形都形如大寫的英文字母Z（一般地，在形如字母“Z”的圖形中存在內錯角）.【對應訓練】1.如圖，下列各組角中，是內錯角的是（B）A.∠1和∠2B.∠2和∠3C.∠1和∠3D.∠2和∠52.如圖，∠1和∠2是由直線AB和CD被直線AC所截形成的內錯角.【教學建議】教師引導學生按問題順序類比同位角的探索過程得出內錯角的概念及圖形特征.以∠3和∠5為例，探究其位置關系，引出內錯角的概念.設計意圖探究點3同旁內角的概念觀察活動一圖中的∠3和∠6，它們與截線及兩條被截直線【教學建議】由學生教學步驟師生活動以∠3和∠6為例，探究其位置關系，引出同旁內角的概念.在位置上有什么特點？特點：∠3和∠6都在直線AB,CD之間，并且都在直線EF的同一旁（左側）.我們把具有上面這種位置關系的一對角叫作同旁內角.圖中還有其他的同旁內角嗎？請寫出來.∠4和∠5也是一對同旁內角.上面兩對同旁內角的簡化圖形如圖所示，它們有什么特征？兩對同旁內角的簡化圖形都形如大寫的英文字母U（一般地，在形如字母“U”的圖形中存在同旁內角）.回顧同位角、內錯角和同旁內角的位置與結構特征，完成下列表格.位置特征基本圖形結構特征同位角在兩條被截直線同一側，在截線同側形如字母“F”內錯角內錯角在兩條被截直線之間，在截線兩側（交錯）形如字母“Z”同旁內角在兩條被截直線之間，在截線同一旁形如字母“U”例1（教材P7例3）如圖，直線DE，BC被直線AB所截.（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置關系的角？（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等嗎？∠1和∠3互補嗎？為什么？解：（1）∠1和∠2是內錯角，∠1和∠3是同旁內角，∠1和∠4是同位角.（2）如果∠1=∠4，又由對頂角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2.因為∠4和∠3互補，所以∠4+∠3=180°.又因為∠1=∠4，所以∠1+∠3=180°，即∠1和∠3互補.【對應訓練】1.如圖，下列兩個角是同旁內角的是（B）A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠2和∠42.教材P8練習第1，2題.自行探索得出同旁內角的概念和圖形特征.教師再結合圖形說明“同”“內”“錯”等關鍵字的意義，加強學生對三種角的理解和辨析能力.注意：同位角、內錯角、同旁內角都是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不存在上述位置關系.教學步驟師生活動活動三：重點突破，提升探究例2如圖.（1）指出DC和AB被AC所截形成的內錯角；（2）指出AD和BC被AE所截形成的同位角；（3）∠4和∠7，∠2和∠6，∠ADC和∠DAB各是什么位置關系的角？分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？解：（1）∠1和∠5.（2）∠DAB和∠9.（3）∠4和∠7是內錯角，是直線DC和AB被DB所截形成的；∠2和∠6是內錯角，是直線AD和BC被AC所截形成的；∠ADC和∠DAB是同旁內角，是直線DC和AB被AD所截形成的.【對應訓練】如圖.（1）直線CE，BC被直線BE所截形成的同旁內角是∠CBE與∠BEC；（2）直線AC，BC被直線BE所截形成的內錯角是∠AEB與∠CBE；（3）∠BED與∠CBE是直線DE，BC被直線BE所截形成的內錯角；（4）∠A與∠CED是直線AB，DE被直線AC所截形成的同位角.【教學建議】學生分小組討論解答，教師統(tǒng)一答案.在確定兩個角的位置關系時，正確找出截線與被截直線并分離出圖形是辨別位置關系的關鍵.設計意圖強化對三種角的辨別，并判斷它們的形成.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.本節(jié)課根據位置關系學習了哪幾種角？2.如何識別這幾種角？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P9習題7.1第7題.2.相應課時訓練.板書設計7.1.3兩條直線被第三條直線所截1.同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；形如“F”.2.內錯角：∠3和∠5，∠4和∠6；形如“Z”.3.同旁內角：∠3和∠6，∠4和∠5；形如“U”.4.三種角的辨別.教學反思本節(jié)課主要研究兩條直線被第三條直線所截形成的不共頂點的角（“三線八角”）的位置關系，辨別三種角的關鍵在于確定出截線與被截直線，通過比較這些角的位置關系，結合圖形進行練習，讓學生掌握辨認這幾種角的要領，為后續(xù)平行線的學習做好準備.解題大招“三線八角”的識別同位角的邊構成“F”形，內錯角的邊構成“Z”形，同旁內角的邊構成“U”形.在復雜的圖中要判斷兩個角存在怎樣的位置關系，只需把這兩個角單獨抽出來看它們的邊所構成的圖形形如什么字母即可.例如圖，下列結論中錯誤的是（C）A.∠1與∠2是同旁內角B.∠1與∠6是內錯角C.∠2與∠5是內錯角D.∠3與∠5是同位角培優(yōu)點稍復雜圖形中的“三線八角”例1如圖，∠1和∠3是直線AB和AC被直線DE所截而形成的內錯角；圖中與∠2是同旁內角的角有3個，分別是∠5，∠6，∠7.例2如圖，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，圖中內錯角有多少對？解：圖中的內錯角有：∠ABC和∠BCD，∠EBC和∠BCF，∠ABC和∠BCF，∠EBC和∠BCD.共4對.例3如圖，已知直線a，b被直線c，d所截，直線a，c，d相交于點O.（1）在圖中的∠1～∠9這9個角中，同位角共有多少對？請你全部寫出來.（2）∠4和∠5是什么位置關系的角？∠6和∠8之間的位置關系與∠4和∠5的相同嗎？解：（1）同位角共有5對.分別是：∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9.（2）∠4和∠5是同旁內角.∠6和∠8之間的位置關系與∠4和∠5的相同.7.2平行線7.2.1平行線的概念教學目標課題7.2.1平行線的概念授課人素養(yǎng)目標1.在豐富的現(xiàn)實情境中,進一步了解兩條直線的平行關系,掌握有關的符號表示.2.會用三角尺、直尺、方格紙等畫平行線,積累操作活動的經驗.3.在操作活動中,探索并了解平行線基本事實Ⅰ及其推論.教學重點1.了解平行線的概念,并能用符號表示；能借助三角尺、直尺、方格紙等畫平行線.2.探索和掌握平行線基本事實Ⅰ及其推論.教學難點理解平行線基本事實Ⅰ.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境,新課導入【情境導入】你喜歡滑雪運動嗎？早在5000年前,人們就把滑雪作為雪上旅行的一種方式,今天滑雪在許多國家和地區(qū)都是一項十分普及的運動.你知道滑雪運動最關鍵的是什么嗎？滑雪運動最關鍵的是要保持兩只滑雪板平行！本節(jié)課我們將對兩條直線不相交的情況進行研究.【教學建議】教師可簡單介紹平行,讓學生列舉生活中與平行有關的例子.設計意圖用體育運動項目引入平行.活動二：問題引入,自主探究探究點1平行線的概念問題（教材P11思考）如圖,將兩根木條a,b分別與木條c釘在一起,并把它們想象成在同一平面向兩端無限延伸的三條直線.固定木條b和c,轉動木條a,直線a從在c的左側與直線b相交逐步變?yōu)樵赾的右側與直線b相交.【教學建議】教師使用教具帶領學生共同探究,找出a,b不相交的情況.教學中應注意：①平行是直線間的位置關系,通常我們所說設計意圖引入平行線的相關概念及符號表示方法.教學步驟師生活動（1）想象一下,在這個過程中,有沒有直線a與直線b不相交的位置呢？這種位置關系是什么？有,如圖②,在木條a轉動的過程中,存在直線a與b不相交的位置,這時我們說直線a與b互相平行.我們可以這么定義：在同一平面內,不相交的兩條直線叫作平行線.（2）我們知道了平行線的概念后,如何用幾何語言來描述平行線呢？通常用“∥”表示平行,讀作“平行于”.如圖,直線AB與直線CD平行,記作AB∥CD.如果用l,m表示這兩條直線,那么直線l與m平行記作l∥m.（3）對于平行線這個幾何圖形,它最主要的特征是什么？①在同一平面內；②兩條直線；③不相交（即沒有交點）.（4）在同一平面內,不重合的兩條直線有哪些位置關系?相交和平行.試一試：平行線在生活中是很常見的,你能在下面的圖片中找出平行線嗎？學生自行回答即可.【對應訓練】兩條直線相交,交點的個數(shù)是1；兩條直線平行,交點的個數(shù)是0.的射線(線段)平行指的是它們所在的直線平行；②以長方體等立體圖形為例,簡單介紹直線不相交的另一種情況(異面),故平行線需要強調是“在同一平面內”.設計意圖探究點2平行線的畫法問題想一想,畫平行線需要哪幾步？序號步驟簡稱具體內容圖示“畫”沿三角尺的一邊畫一條直線a“靠”用直尺緊靠三角尺的另一邊“推”保持直尺不動,沿直尺推動三角尺④“畫”仍沿三角尺第一次畫直線a的那條邊畫直線b,則a∥b【對應訓練】教材P12練習.【教學建議】教師帶領學生共同回顧,并總結用直尺、三角尺畫平行線的一般步驟.回顧平行線的畫法,為后續(xù)畫圖探究做準備.教學步驟師生活動設計意圖探究點3平行線基本事實Ⅰ及其推論問題1在活動二轉動木條a的過程中,有幾個位置使得直線a與b平行？只有一個位置能使a與b平行.問題2如圖,過點B畫直線a的平行線,能畫出幾條？只能畫一條.通過觀察和畫圖,可以發(fā)現(xiàn)一個關于平行線的基本事實(平行線基本事實Ⅰ)：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.問題3再過點C畫直線a的平行線,它和前面過點B畫出的直線平行嗎？平行.由平行線基本事實Ⅰ,可以進一步得到如下結論：如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.幾何語言：如果b∥a,c∥a,那么b∥c.【對應訓練】1.下列說法中正確的有（A）①一條直線的平行線只有一條；②過一點與已知直線平行的直線有且只有一條；③因為a∥b,c∥d,所以a∥d；④過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.A.1個B.2個C.3個D.4個2.平面內有A,B,C三點,且三點不在同一條直線上,過這三點畫兩條平行線,這樣的平行線能畫出幾種？解：如圖①②③,有三種.【教學建議】先借助模型來引入平行線基本事實Ⅰ,再通過畫圖驗證,使學生對平行線基本事實Ⅰ的認識由感性上升到理性.平行線基本事實Ⅰ中的“有且只有”具有兩層含義：①表明存在與已知直線平行的直線（存在性）；②表明與已知直線平行的直線是唯一的（唯一性）.通過模型和畫圖驗證,總結出平行線基本事實Ⅰ及其推論.活動三：重點突破,提升探究例如圖,直線a∥b,b∥c,d與a相交于點M.（1）判斷直線a,c的位置關系：a∥b,b∥c,根據平行線基本事實Ⅰ的推論,得a∥c；（2）判斷c與d的位置關系：直線a與d可以看作經過直線c外一點M的兩條直線,根據平行線基本事實Ⅰ和問題（1）可知c與d不平行(填“平行”或“不平行”）.【對應訓練】如圖,若AB∥CD,經過點E可畫EF∥AB,則EF與CD的位置關系是EF∥CD,理由是如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.【教學建議】學生獨立思考作答,對于平行線基本事實Ⅰ的推論,要掌握并靈活運用.教師可適當介紹,該推論中的三條直線并不要求位于同一平面中.設計意圖強化對平行線基本事實Ⅰ的推論的理解和應用.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：平行線的概念是什么？平行線基本事實Ⅰ及其推論是什么？如何畫已知直線的平行線？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P19習題7.2第1，11，13題.2.相應課時訓練.板書設計7.2.1平行線的概念1.平行線的特征：①在同一平面內；②兩條直線不相交.2.平行線基本事實Ⅰ：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.3.平行線基本事實Ⅰ的推論：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.教學反思本節(jié)課中“三線八角”模型貫穿始終，全程都與由“模型”抽象概括得到的基本圖形有關，這不僅滲透了“模型”思想，而且培養(yǎng)了學生的抽象思維，有利于學生理解平行線的概念和平行線基本事實Ⅰ及其推論，同時該模型還應用于平行線的其他內容，需要熟練掌握.解題大招用平行線基本事實Ⅰ的推論判定兩直線平行例下面選項中，根據直線a，b，c，d的關系推理正確的是（C）A.若a∥b，b∥c，則c∥dB.若a∥c，b∥d，則c∥dC.若a∥b，a∥c，則b∥cD.若a∥b，c∥d，則a∥c培優(yōu)點與直線的交點相關的分類討論題例在同一平面內,三條直線互不重合，它們的交點有多少個？甲：交點個數(shù)為0，因為a∥b∥c，如圖①所示.乙：交點只有1個，因為a，b，c交于同一點O，如圖②所示.誰的說法對？為什么？解：甲、乙說法都不對，還有其他情況:如圖③，a∥b，c與a，b相交，交點有2個；如圖④，a，b，c兩兩相交，交點有3個.所以三條直線互不重合，交點有0個或1個或2個或3個，共四種情況.7.2.2平行線的判定第1課時平行線的判定教學目標課題第1課時平行線的判定授課人素養(yǎng)目標1.掌握兩直線平行的判定方法.2.了解兩直線平行的判定方法的推理過程.3.靈活運用兩直線平行的判定方法說明直線平行.教學重點掌握兩直線平行的三種判定方法.教學難點靈活運用兩直線平行的判定方法說明直線平行.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，新課導入【情境導入】我們已經知道，如果平面內的兩條直線不相交，就可以判斷這兩條直線平行.但是，由于直線是無限延伸的，檢驗它們是否相交有困難，所以難以直接根據兩條直線不相交來判斷它們是否平行.那么，有沒有其他判定方法呢？【教學建議】教師引導學生思考目前已知方法判斷兩條直線平行的局限性，因此，尋找平行線的其他判定方法是十分必要的.設計意圖以實際問題為例，引入平行線的判定.活動二：問題引入，自主探究探究點1同位角相等，兩直線平行如圖，回憶并敘述上節(jié)課中用三角尺和直尺畫平行線的過程，回答下列問題.（1）如圖③，將平行的兩條直線分別記作a，b，將緊貼三角尺的直尺的邊所在直線記為c.畫圖過程中直尺起到了什么作用？∠1和∠2是什么位置關系的角？在畫圖過程中，直尺起固定作用，讓三角尺沿一條直線移動.∠1和∠2是同位角.【教學建議】教師引導學生結合平行線的畫法，歸納出“同位角相等，兩直線平行”.判定方法1的條件中有兩層意思：①這兩個角是兩條直線被第三條直線所截而成的一對同位角；設計意圖回顧并觀察畫平行線的方法，引出平行線的判定方法1.教學步驟師生活動（2）在移動三角尺的過程中，∠1和∠2的大小發(fā)生變化了嗎？三角尺起著什么作用？在移動三角尺的過程中，∠1和∠2的大小不變，∠1和∠2始終相等.三角尺的作用是確?！?=∠2.（3）由上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)判定兩條直線平行的方法嗎？利用同位角相等，可以判定兩條直線平行.判定方法1（平行線基本事實Ⅱ）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.幾何語言：如圖③，如果∠1=∠2，那么a∥b.【對應訓練】1.如圖，直線AB，CD被直線EF所截，∠1=55°，下列條件中能判定AB∥CD的是（C）A.∠2=35°B.∠2=45°C.∠2=55°D.∠2=125°2.如圖，若∠1=∠2，則AB∥DE；若∠2=∠3，則BC∥EF.3.教材P15練習第2題.兩條直線被第三條直線所截，同時得到同位角、內錯角和同旁內角.由同位角相等，可以判定兩條直線平行，能否利用內錯角或同旁內角來判定兩條直線平行呢？②這兩個角相等.設計意圖探究點2內錯角相等，兩直線平行問題如圖，直線a，b被直線c所截.內錯角∠1與∠2滿足什么條件時，能得出a∥b？如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：因為∠1=∠2，而∠2=∠4(對頂角相等)，所以∠1=∠4，即同位角相等，從而a∥b.這樣，就得到了利用內錯角判定兩條直線平行的方法：判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.幾何語言：如圖，如果∠1=∠2，那么a∥b.【對應訓練】1.如圖是一條街道的兩個拐角，若∠ABC與∠BCD均為140°，則街道AB與CD的位置關系是AB∥CD.【教學建議】學生獨立思考完成，教師可提醒學生遇到一個新問題時，常常把它轉化為已知的（或已解決的）問題.這里可以將條件轉化，運用已經學過的方法來進行判定.以判定方法1為橋梁，探究內錯角與兩條直線平行之間的關系.教學步驟師生活動2.將兩個相同的三角尺按如圖所示的方式擺放，畫直線a，b，則a∥b，理由是：內錯角相等，兩直線平行.設計意圖探究點3同旁內角互補，兩直線平行問題結合前面的探究，如圖，同旁內角∠1與∠3滿足什么條件時，能得出a∥b？方法一：如果∠1和∠3互補，由判定方法1，能得到a∥b，理由如下：因為∠1+∠3=180°（補角的定義），而∠3+∠4=180°（鄰補角的定義），所以∠1=∠4（同角的補角相等），即同位角相等，從而a∥b.方法二：如果∠1和∠3互補，由判定方法2，能得到a∥b，理由如下：因為∠1+∠3=180°（補角的定義），而∠2+∠3=180°（鄰補角的定義），所以∠1=∠2（同角的補角相等），即內錯角相等，從而a∥b.這樣，就得到了利用同旁內角判定兩條直線平行的方法：判定方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行.幾何語言：如圖，如果∠1+∠3=180°，那么a∥b.【對應訓練】1.如圖，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，要使管道AB，CD保持平行，則∠BCD的度數(shù)應為（D）A．120°B．110°C．80°D．70°2.如圖，一塊折斷的零件左邊AC斷口整齊，右邊BD形狀不規(guī)則，工人小李測得左邊∠A=45°，∠C=135°，他由此斷定這個零件另外的一組對邊AB∥CD，他的依據是同旁內角互補，兩直線平行.【教學建議】學生獨立思考完成，教師可提醒學生類比探究點2的處理方式來解決問題.以判定方法1（或判定方法2）為橋梁，探究同旁內角與兩條直線平行之間的關系.活動三：重點突破，提升探究例（1）如圖，當∠1=∠3時，直線a，b平行嗎？為什么？（2）當∠2+∠3=180°時，直線a，b平行嗎？為什么？解：（1）a∥b.理由如下：因為∠1=∠3，∠3=∠4，所以∠1=∠4.所以a∥b（同位角相等，兩直線平行）.（2）a∥b.理由如下：因為∠3=∠4，∠2=∠5，∠2+∠3=180°，所以∠5+∠4=180°.所以a∥b（同旁內角互補，兩直線平行）.【教學建議】學生獨立思考完成，教師引導、補充.當兩角相等或互補時，要先確定兩角的位置關系，如果不能直接推出結設計意圖運用平行線的三種判定方法進行簡單教學步驟師生活動的推理論證.【對應訓練】1.如圖，若∠B=∠3，則AB∥CE，根據的是同位角相等，兩直線平行；若∠2=∠A，則AB∥CE，根據的是內錯角相等，兩直線平行；若∠2=∠E，則AC∥DE，根據的是內錯角相等，兩直線平行；若∠B+∠BCE=180°，則AB∥CE，根據的是同旁內角互補，兩直線平行.2.教材P14練習第1題.論，則需要代換轉化.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.本節(jié)課學習了平行線的哪些判定方法？2.結合例題，你能用自己的語言說一說解決與平行線的判定有關的問題的思路嗎？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P19習題7.2第2，6，12題.2.相應課時訓練.板書設計第1課時平行線的判定平行線的判定方法1：同位角相等，兩直線平行.平行線的判定方法2：內錯角相等，兩直線平行.平行線的判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.角的數(shù)量關系→直線的位置關系教學反思本節(jié)課是在學習了“三線八角”的基礎上，根據平行線的作圖方法，歸納出判定方法1，再把判定方法1作為橋梁，推理得出判定方法2和判定方法3.學生經過前面課時的學習，已經具備了探究兩條直線平行的基礎，但在文字語言、幾何語言之間的轉換能力比較薄弱，應予以加強.解題大招一平行線的判定平行線判定問題中角的特點：作為判定條件的幾種角中，不共邊的兩條邊存在平行關系.例1如圖，下列各組條件中，能得到AB∥CD的是（B）A.∠1=∠3B.∠2=∠4C.∠B=∠DD.∠1+∠2+∠B=180°解析：因為∠1=∠3，所以AD∥BC，不能判定AB∥CD；因為∠2=∠4，所以AB∥CD，故B符合題意；由∠B=∠D不能判定AB∥CD；因為∠1+∠2+∠B=180°，所以AD∥BC，不能判定AB∥CD.故選B.例2如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，AE平分∠BAG，GF平分∠AGC，請說明：AE∥GF.解：因為∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（鄰補角的定義），所以∠BAG=∠AGC（同角的補角相等）.因為AE平分∠BAG，GF平分∠AGC，所以∠1=∠BAG，∠2=∠AGC（角平分線的定義）.所以∠1=∠2（等量代換）.所以AE∥GF（內錯角相等，兩直線平行）.培優(yōu)點三角尺與平行線有關的探究題例將一副三角尺中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°.（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度數(shù)；（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在（1）的條件下，若按住三角尺ABC不動，繞頂點C逆時針轉動三角尺DCE（轉動不超過一周），試探究轉動多少度時，CD∥AB，并簡要說明理由.解：（1）因為∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°，所以∠DCA=∠BCD-∠BCA=150°-90°=60°.所以∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-60°=30°.（2）∠BCD+∠ACE=180°.理由如下：因為∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，所以∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+90°-∠ACD=180°.（3）轉動30°或210°時，CD∥AB.理由如下：由（1）知未開始轉動時∠ACD的度數(shù)為60°.如圖②，因為AB∥CD，所以∠ACD=∠A=30°.此時轉動了60°-30°=30°；如圖③，因為AB∥CD，所以∠A+∠ACD=180°.所以∠ACD=180°-∠A=180°-30°=150°.此時轉動了150°+60°=210°.綜上所述，轉動30°或210°時，CD∥AB.第2課時平行線的判定的綜合運用教學目標課題第2課時平行線的判定的綜合運用授課人素養(yǎng)目標1.理解并掌握判定兩條直線平行的方法.2.能靈活選用平行線的判定方法進行推理.教學重點掌握直線平行的條件，能熟練運用平行線的判定方法進行推理.教學難點運用平行線的判定方法進行推理的步驟和格式.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，新課導入【情境導入】如圖，裝修工人正在往墻上釘木條，如果木條b與墻壁的邊緣垂直，那么木條a與墻壁的邊緣所夾的角為多少度時，才能使木條a與木條b平行？當木條a與墻壁邊緣所夾的角為90°（即木條a與墻壁邊緣垂直）時，木條a與木條b平行.木條a,b和墻壁邊緣可以簡化為一個“三線八角”模型.根據垂直的定義我們可以得到相關角的度數(shù)，再由相關角的數(shù)量關系，結合平行線的判定方法，即可推導出木條a與木條b所在的直線平行.【教學建議】教師引導學生得出結論即可，同時應對“垂直于同一直線的兩條直線互相平行”這一重要結論進行強調.設計意圖結合實際問題，引入本課時對平行線判定方法的強化訓練.活動二：問題引入，自主探究探究點1平行線的判定方法的靈活運用例1（教材P14例1）在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？問題1由兩條直線互相垂直，你能想到什么？兩條直線形成的夾角均為90°.問題2兩條直線互相垂直，你可以找到幾個直角？兩條直線垂直于同一條直線，你又可以找到幾個直角？分別可以找到4個和8個直角.問題3如圖，∠1和∠2，∠1和∠4，∠1和∠3，分別是什么位置關系的角？分別是同位角、內錯角、同旁內角.問題4你認為這道題有幾種解法？請選擇一種方法解答這道題.此處符號“∵”表示“因為”，符號“∴”表示“所以”.【教學建議】學生分組討論完成，教師鼓勵學生多角度分析問題.要判定兩條直線是否平行，首先要將題目給出的角轉化為這兩條直線被第三條直線所截得的同位角、內錯角或同旁內角，再看這些角的關系設計意圖強化學生對“三線八角”的識別和平行線判定方法的靈活選用.教學步驟師生活動有三種方法.方法1：這兩條直線平行.理由如下：如圖，∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠2=90°.∴∠1=∠2.又∠1和∠2是同位角，∴b∥c(同位角相等，兩直線平行).方法2：這兩條直線平行.理由如下：如圖，∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠4=90°.∴∠1=∠4.又∠1和∠4是內錯角，∴b∥c(內錯角相等，兩直線平行).方法3：這兩條直線平行.理由如下：如圖∵b⊥a，∴∠1=90°.同理∠3=90°.∴∠1+∠3=180°.又∠1和∠3是同旁內角，∴b∥c(同旁內角互補，兩直線平行).【對應訓練】1.如圖，有以下四個條件：①∠B＋∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5.其中能判定AB∥CD的有（C）A.1個B.2個C.3個D.4個2.教材P15練習第3,4題.是否滿足平行線的判定方法.設計意圖探究點2平行線的判定方法結合平行線基本事實Ⅰ的推論進行推理例2如圖，直線AB，CD，EF被直線GH所截，∠1=70°，∠2=110°，∠2+∠3=180°.試說明：（1）EF∥AB；（2）CD∥AB.分析：（1）將直線AB，EF與截線GH組合，可以得到一組內錯角：∠1和∠3，要說明EF∥AB，則需要說明∠1=∠3，根據已知條件可得∠3=70°，則∠1=∠3.（2）由∠2+∠3=180°可得CD∥EF，再結合（1）中所得結論EF∥AB，由平行線基本事實Ⅰ的推論即可得到CD∥AB.解：（1）∵∠2+∠3=180°，∠2=110°(已知)，∴∠3=180°-∠2=180°-110°=70°.又∠1=70°(已知)，∴∠1=∠3(等量代換).∴EF∥AB(內錯角相等,兩直線平行).（2）∵∠2+∠3=180°，∴CD∥EF(同旁內角互補，兩直線平行).又EF∥AB，∴CD∥AB(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行).方法總結：判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定方法外，有時需要結合平行線基本事實Ⅰ的推論.【教學建議】學生獨立思考完成，教師統(tǒng)一答案.平行線基本事實Ⅰ的推論也是判定平行線的常用方法之一，平行線的判定方法多種多樣，應根據條件靈活選用，如例題中也可直接由∠2的對頂角和∠1互補判定CD∥AB.綜合平行線的判定方法與平行線基本事實Ⅰ的推論解決問題.教學步驟師生活動【對應訓練】如圖，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，∠1=∠2.CD與EF平行嗎？為什么？解：CD∥EF.理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°.∴∠B+∠D=180°.∴AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）.∵∠1=∠2，∴AB∥EF（同位角相等，兩直線平行）.∴CD∥EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）.活動三：重點突破，提升探究例3如圖，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，試找出圖中有哪些平行線？并說明理由.分析：由對頂角相等可得∠ABC=∠1=60°，再由∠ABC與∠2的數(shù)量關系可得AB∥CD.由鄰補角的定義可得∠BCD=180°-∠2=60°，則∠BCD=∠D，從而可判定BC∥DE.解：AB∥CD，BC∥DE.理由如下：∵∠1=60°（已知），∴∠ABC=∠1=60°（對頂角相等）.又∠2=120°（已知），教學建議∴∠ABC+∠2=60°+120°=180°.∴AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）.∵∠2+∠BCD=180°（鄰補角的定義），∴∠BCD=180°-∠2=180°-120°=60°.∵∠D=60°（已知），∴∠BCD=∠D（等量代換）.∴BC∥DE（內錯角相等，兩直線平行）.【對應訓練】如圖，如果∠1=72°，∠2=72°，∠3=108°，圖中有哪些直線平行？請說明理由.解：DE∥BC，AB∥EF.理由如下：∵∠1=72°，∠2=72°（已知），∴∠1=∠2（等量代換）.∴DE∥BC（內錯角相等，兩直線平行）.∵∠3+∠BGD=180°（鄰補角的定義），∠3=108°（已知），∴∠BGD=180°-∠3=180°-108°=72°.∴∠BGD=∠2（等量代換）.∴AB∥EF（同位角相等，兩直線平行）.【教學建議】學生分組討論完成，通過對頂角、鄰補角中角度關系的轉化，找出能夠說明兩條直線平行的條件.設計意圖探究多組交錯的直線中的平行線問題.教學步驟師生活動活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.平行線的判定方法有哪些？2.對于結論開放性問題，應如何尋找條件判定兩直線平行？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P19習題7.2第4，7題.2.相應課時訓練.板書設計第2課時平行線的判定的綜合運用判定兩條直線平行的常用方法：1.同位角相等，兩直線平行.2.內錯角相等，兩直線平行.3.同旁內角互補，兩直線平行.4.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.教學反思本節(jié)課學生剛剛接觸到用演繹推理的方法解決問題，應該積極培養(yǎng)學生思維的嚴密性和表達的規(guī)范性.因此，教學中應強化對學生幾何語言的訓練，提醒學生注意：推理過程要嚴謹，每一步都要有依據.解題大招平行線的判定的運用1.靈活選用判定方法判定兩條直線平行.例1結合圖形填空（不添加輔助線和其他角）：（1）如果∠1=∠B，那么AB∥CD，依據是同位角相等，兩直線平行；（2）如果∠3=∠D，那么BE∥DF，依據是內錯角相等，兩直線平行；（3）如果用“同旁內角互補，兩直線平行”來判定AB∥CD，需要補充的條件是∠B+∠2=180°；（4）如果用“同位角相等，兩直線平行”來判定BE∥DF，需要補充的條件是∠1=∠D.2.添加輔助線說明平行：在解決與平行線相關的問題時，有時需作出適當?shù)妮o助線.例2如圖，MF⊥NF于點F，MF交AB于點E，NF交CD于點G，∠1=140°，∠2=50°，試判斷AB和CD的位置關系，并說明理由.解：AB∥CD.理由如下：如圖，過點F向左作FQ，使∠MFQ=∠2=50°，∴AB∥FQ.∵MF⊥NF，∴∠MFN=90°.∴∠NFQ=∠MFN-∠MFQ=90°-50°=40°.∵∠1=140°，∴∠1＋∠NFQ=140°+40°=180°.∴CD∥FQ.又AB∥FQ，∴AB∥CD.3.平行線的判定的實際應用：利用數(shù)學知識解決實際問題，關鍵是將實際問題正確地轉化為數(shù)學問題，如畫出示意圖或列式表示，然后再解決數(shù)學問題，最后回歸實際.例3一輛汽車在公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上行駛，那么兩次拐彎的角度可能為（D）A.第一次右拐60°，第二次右拐120°B.第一次右拐60°，第二次右拐60°C.第一次右拐60°，第二次左拐120°D.第一次右拐60°，第二次左拐60°解析：如圖，通過畫草圖驗證，可知D項中∠1=∠2，則AB∥CD，且AB與CD前進方向相同，符合題意.其他選項可畫圖驗證，均不符合題意.故選D.培優(yōu)點運用平行線的判定方法進行推理例1如圖，∠ABC=∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3.請說明AB和DC平行.（補全橫線上的內容及括號內推理的依據）解：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1=∠ABC，∠2=∠ADC（角平分線的定義）.又∠ABC=∠ADC（已知），∴∠1=∠2（等量代換）.又∠1=∠3（已知），∴∠2=∠3（等量代換）.∴AB∥DC（內錯角相等，兩直線平行）.例2如圖，已知GM，HN分別平分∠BGE和∠DHF，當∠1與∠2具備怎樣的關系時，AB∥CD？請說明理由.解：當∠1與∠2互余（即∠1+∠2=90°）時，AB∥CD.理由如下：∵GM，HN分別平分∠BGE和∠DHF，∴∠BGE=2∠1，∠DHF=2∠2.∴∠BGE+∠DHF=2（∠1+∠2）.又∠1+∠2=90°，∴∠BGE+∠DHF=2×90°=180°.∵∠BGE+∠BGF=180°，∴∠BGF=∠DHF（同角的補角相等）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）.7.2.3平行線的性質第1課時平行線的性質教學目標課題第1課時平行線的性質授課人素養(yǎng)目標1.理解平行線的性質.2.能運用平行線的性質進行推理.教學重點理解平行線的性質.教學難點體會平行線的性質2和性質3推理過程的邏輯表述，能運用平行線的性質進行推理.教學活動教學步驟師生活動活動一：舊知回顧，新課導入【回顧導入】前面的課時，我們學習了利用角的數(shù)量關系判定兩條直線平行的方法，分別是什么？（1）∵∠1=∠3（已知），∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）.（2）∵∠2=∠4（已知），∴a∥b（內錯角相等，兩直線平行）.（3）∵∠2+∠3=180°（已知），∴a∥b（同旁內角互補，兩直線平行）.在上面的三種判定方法中，由同位角、內錯角、同旁內角的關系可以得到兩條直線平行的結論；反過來，在兩條直線平行的條件下，同位角、內錯角、同旁內角又各有什么關系呢？這就是本節(jié)課要學習的內容.【教學建議】教師引導學生回顧對平行線判定方法的探究過程，為類比平行線性質的探究做好鋪墊.設計意圖由平行線的判定導入，復習舊知，為本節(jié)課掃清知識障礙.活動二：問題引入，自主探究探究點1兩直線平行，同位角相等（教材P16探究）如圖，畫兩條平行線a∥b，然后任意畫一條截線c與這兩條平行線相交.問題1度量所形成的八個角的度數(shù)，把結果填入下表：角∠1∠2∠3∠4度數(shù)100°80°100°80°角∠5∠6∠7∠8度數(shù)100°80°100°80°【教學建議】教師帶領學生共同探究，通過改變截線的位置多次測量，總結出共性結論,并逆向探究，確認結論的唯一性，得出平行線中同位角的度數(shù)的數(shù)量關系.教學中可讓學生歸設計意圖通過實際測量確認平行線中同位角的數(shù)量關系.教學步驟師生活動問題2在∠1,∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它們的度數(shù)有什么關系？由此猜想兩條平行線被第三條直線截得的同位角有什么關系.∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8是同位角.每一對同位角的度數(shù)相等.猜想：兩條平行線被第三條直線截得的同位角相等.問題3利用信息技術工具改變截線c的位置，同樣度量并比較各對同位角的度數(shù)，你的猜想還成立嗎？經過測量比較得出，猜想仍然成立.問題4當兩條直線不平行時，同位角是否相等呢？請以直線c，d被直線a所截為例，比較各對同位角的度數(shù).兩條直線不平行時，同位角不相等.結合上述探究過程，我們可以得到平行線的性質：性質1兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.符號語言：如圖，如果a∥b，那么∠1=∠5（或∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8）.【對應訓練】1.如圖，直線a∥b，直線c與a,b相交.若∠1=60°，則∠2的度數(shù)為120°.2.教材P17練習第2題.納性質1并用符號語言表述，鍛煉學生將圖形語言轉化為文字語言和符號語言的能力.設計意圖探究點2兩直線平行，內錯角相等在前面探究點1的圖中，內錯角∠3和∠5，∠4和∠6的度數(shù)有什么關系？由此猜想兩條平行線被第三條直線截得的內錯角的關系.這兩對內錯角的度數(shù)相等.猜想：兩條平行線被第三條直線截得的內錯角相等.（教材P16思考）前面我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內錯角相等，兩直線平行”.類似地，你能由性質1推出兩條平行線被第三條直線截得的內錯角之間的關系嗎？解：如圖，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∠2=∠3(對頂角相等)，∴∠1=∠3(等量代換).這樣，我們得到平行線的另一個性質：性質2兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.符號語言：如探究點1中圖，如果a∥b，那么∠3=∠5（或∠4=∠6）.【對應訓練】1.如圖，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度數(shù)為（C）A．25°B．30°C．35°D．55°【教學建議】根據探究點1中測得的數(shù)據直接得出結論，類比平行線的判定的探究過程，讓學生以平行線的性質1為條件，獨立推導出平行線中內錯角的數(shù)量關系.教師可要求學生類比性質1歸納出性質2的文字語言和符號語言.通過類比平行線的判定的探究過程，推導出平行線中內錯角的數(shù)量關系，并推理論證.教學步驟師生活動2.如圖，平行線AB，CD被直線EF所截，F(xiàn)G平分∠EFD.若∠EFD=70°，則∠EGF的度數(shù)是35°.設計意圖探究點3兩直線平行，同旁內角互補在前面探究點1的圖中，同旁內角∠4和∠5，∠3和∠6的度數(shù)有什么關系？由此猜想兩條平行線被第三條直線截得的同旁內角的關系，并仿照性質2寫出推理的過程.這兩對同旁內角的和為180°（即互補）.猜想：兩條平行線被第三條直線截得的同旁內角互補.推理：方法一：如圖，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∠2+∠3=180°(鄰補角的定義)，∴∠1+∠3=180°(等量代換).方法二：如圖，∵a∥b（已知），∴∠1=∠4(兩直線平行，內錯角相等）.∵∠3+∠4=180°(鄰補角的定義），∴∠1+∠3=180°(等量代換）.由此，我們得到平行線的第3個性質：性質3兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.符號語言：如探究點1中圖，如果a∥b，那么∠4+∠5=180°（或∠3+∠6=180°）.例1（教材P16例2）如圖是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外兩個角∠D,∠C分別是多少度？解：因為梯形上、下兩底DC與AB互相平行，根據“兩直線平行，同旁內角互補”，可得∠A與∠D互補，∠B與∠C互補.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外兩個角∠D,∠C分別是80°，65°.【對應訓練】1.如圖，直線m∥n，其中∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（B）A．130°B．140°C．150°D．160°2.如圖，直線l1∥l2，l3∥l4.若∠1=70°，則∠2的度數(shù)為110°.【教學建議】根據探究點1中測得的數(shù)據直接得出結論，類比平行線的判定的探究過程，讓學生以平行線的性質1或性質2為條件，獨立推導出平行線中同旁內角的數(shù)量關系.教師可要求學生類比性質1或性質2歸納出性質3的文字語言和符號語言.通過類比平行線的判定的探究過程，推導出平行線中同旁內角的數(shù)量關系，并推理論證.教學步驟師生活動活動三：重點突破，提升探究例2端午節(jié)“賽龍舟，吃粽子”是中華民族的傳統(tǒng)習俗，小青將圖①中的某條龍舟的側面示意圖簡化成圖②，若a∥b∥c，∠1=132°，求∠2+2∠3的度數(shù).解：∵a∥b∥c，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補），∠2=∠4（兩直線平行，同位角相等）.∴∠4=∠2=180°-∠1=180°-132°=48°.∵∠3=∠4，∴∠3=48°，∴∠2+2∠3=48°+2×48°=144°.【對應訓練】1.如圖，AB∥CD∥EF，∠A=54°，∠C=26°，則∠AFC=28°.2.教材P17練習第1,3題.3.如圖，點E在線段AB上，D，F(xiàn)都在線段BC上，并且ED∥AC，EF∥AD.若∠1=20°，則∠2等于多少度？請說明理由.解：∠2=20°.理由如下：∵ED∥AC，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°（兩直線平行，內錯角相等）.∵EF∥AD，∴∠2=∠3=20°（兩直線平行，內錯角相等）.【教學建議】學生獨立思考完成，教師統(tǒng)一答案.教學中應強調本題有多種方法，隨著數(shù)學知識的逐漸積累，解決數(shù)學問題的方法也變得多種多樣，過程要簡潔規(guī)范，依據要引用正確.設計意圖對平行線的性質的運用進行強化訓練，多次運用平行線的性質求角度.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.平行線的性質有哪些？2.如何用平行線的性質1推導出性質2和性質3？在推理中需要注意哪些問題？教學步驟師生活動【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P19習題7.2第3，5，8，9，10，14題.2.相應課時訓練.板書設計第1課時平行線的性質性質1：兩直線平行，同位角相等.性質2：兩直線平行，內錯角相等.性質3：兩直線平行，同旁內角互補.直線的位置關系→角的數(shù)量關系.教學反思本節(jié)課通過度量含有平行線的“三線八