八年級數學下冊第一部分基礎知識篇第16課方程思想的應用例題課件浙教版

重點中學與你有約例1.已知兩個單項式的和仍為一個單項式，則x,y的值是（）A.x=-1,y=-1B.x=-1,y=1C.x=1,y=-1D.x=1,y=1解題技巧一讀關鍵詞：單項式，同類項，求值.二聯重要結論：同類項中相同字母的指數相同.重要方法：方程思想三解解：由題意得：解得：故選D.四悟熟練掌握同類項的定義是解答本題的關鍵.例1.已知兩個單項式的和仍為一個單項式，則x,y的值是（）A.x=-1,y=-1B.x=-1,y=1C.x=1,y=-1D.x=1,y=1舉一反三單項式3ax﹣ybx+y+3和4xa3x+yb2x﹣y的和為一個單項式，則x與y的值分別為（）A．1，﹣1 B．2，1 C．2，﹣2 D．1，﹣2思路分析:由根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同）列出方程，求出x，y的值．答案：根據題意得：

解得：

故選A．失誤防范同類項：如果兩個單項式，它們所含的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同，那么就稱這兩個單項式為同類項。性質：(1)與系數無關;(2)與字母的排列順序無關。例2.已知（2x2+ax-y+b）-(2bx2-3x+5y-1)的值與字母x的取值無關，求3（a2﹣ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）的值.重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：整式，值與x無關，求值.二聯重要結論：整式的加減,合并同類項.重要方法：分析計算三解解：∵（2x2+ax﹣y+b）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）=2x2+ax﹣y+b﹣2bx2+3x﹣5y+1=（2﹣2b）x2+（a+3）x+（b﹣6y+1），由題意，值與字母x的取值無關，∴2﹣2b=0，a+3=0，解得a=﹣3，b=1，∴原式=3a2﹣3ab﹣3b2﹣4a2﹣ab﹣b2=﹣a2﹣4ab﹣4b2．當a=﹣3，b=1時，原式=﹣9﹣4×（﹣3）×1﹣4×12=﹣1．四悟熟知整式的加減實質上是合并同類項是解答此題的關鍵．2.已知（2x2+ax-y+b）-(2bx2-3x+5y-1)的值與字母x的取值無關，求3（a2﹣ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）的值.舉一反三已知多項式x2+ax﹣y與bx2﹣3x+6y差的值與字母x的取值無關，求代數式4（a2+ab+b2）﹣3（a2﹣2ab﹣b2）的值．思路分析:根據已知多項式之差與字母x取值無關，求出a與b的值，原式去括號合并后代入計算即可求出值．答案：根據題意得：（x2+ax﹣y）﹣（bx2﹣3x+6y）=x2+ax﹣y﹣bx2+3x﹣6y=（1﹣b）x2+（a+3）x﹣7y，由差的值與字母x的取值無關，得到1﹣b=0，a+3=0，解得：a=﹣3，b=1，則原式=4a2+4ab+4b2﹣3a2+6ab+3b2=a2+10ab+7b2=9﹣30+7=﹣14．失誤防范合并同類項：合并同類項就是利用乘法分配律，同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和指數不變。合并同類項實際上就是乘法分配律的逆向運用。即將同類項中的每一項都看成系數與另一個因數的積，由于各項中都含有相同的字母并且它們的指數也分別相同，故同類項中的每一項都是系數與相同的另一個因數的積。合并時將分配律逆向運用，用相同的那個因數去乘以各項系數的代數和。例3.某數學學習小組想利用旗桿上的繩子測量校園內旗桿AB的高度（如圖，AB垂直地面BC）．方法如下：先把旗桿繩（AD）垂下，測得繩子底端D距地面剛好1m．然后拉住繩子底端向外走7步（每步距離約為0.6m），剛好能拉住繩子底端放在一高為1.6m的同學頭頂上，求旗桿AB的長．重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：垂直，線段長度，求線段長度二聯重要結論：勾股定理，解直角三角行.重要方法：數形結合三解解：作DQ⊥AB于Q，設AD長為x米，則AQ=（x+1﹣1.6）=（x﹣0.6）米又∵QD=0.6×7=4.2米，在Rt△ADQ中，由勾股定理得（x﹣0.6）2+4.22=x2解得x=15米．∴旗桿AB的長為15+1=16米．四悟善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．3.某數學學習小組想利用旗桿上的繩子測量校園內旗桿AB的高度（如圖，AB垂直地面BC）．方法如下：先把旗桿繩（AD）垂下，測得繩子底端D距地面剛好1m．然后拉住繩子底端向外走7步（每步距離約為0.6m），剛好能拉住繩子底端放在一高為1.6m的同學頭頂上，求旗桿AB的長．舉一反三小智和小慧想知道學校旗桿AB的高度，他們發(fā)現旗桿上的繩子從頂端垂到地面還多了1米（圖1），即BC=1米，當他們往外把繩子拉直，發(fā)現繩子下端剛好接觸地面時，觸點D離旗桿下端B的距離為5米（圖2），于是，小智和小慧很快算出了旗桿的高度，你能推算出旗桿的高度嗎？請寫出過程．思路分析:旗桿、繩子、地面正好構成直角三角形，設旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據勾股定理即可求得旗桿的高度．答案：能推算出旗桿的高度；設旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，解得，x=12．答：旗桿的高度為12米．失誤防范勾股定理：1.定理內容：文字形式：直角三角形的兩直角邊的平方和，等于斜邊的平方。幾何形式：如果直角三角形的直角邊分別為a,b，斜邊為c，那么

a2＋b2＝c22.

相關知識鏈接：1）我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫作勾，較長的直角邊叫作股，斜邊叫作弦；2）漢代數學家趙爽把勾股定理敘述成：勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即弦；3）國外稱之為畢達哥拉斯定理；4）也有人稱勾股定理為千古第一定理。失誤防范勾股定理：3.

勾股定理的作用：1）已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長；2）知道一邊長時，能夠確定直角三角形的其余兩個邊長之間的關系；3）在證明含平方問題時，有時就可以考慮構造直角三角形幫助解決問題。例4.如圖，在3×3的方陣圖中，填寫了一些數和代數式（其中每個代數式都表示一個數），使得每行的3個數、每列的3個數、斜對角的3個數之和均相等．（1）求x，y的值；（2）在備用圖中完成此方陣圖．重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：代數式，表格數字滿足的條件，完成表格.二聯重要結論：二元一次方程組的應用.重要方法：分析計算三解解：（1）由題意，（2）如圖四悟理解題意，正確列出關于x，y的方程組是解題的關鍵舉一反三在3×3的方陣圖中，填寫了一些數和代數式（其中每個代數式表示一個數）使得每行的3個數，每列的3個數，斜對角的3個數之和均相等．（1）求x、y的值；（2）將方陣中的空格部分填上正確的數．思路分析:（1）根據每行3個數、每列3個數和斜對角的3個數之和均相等，可得出方程組，解出即可；（2）根據（1）的結果，填寫表格即可．答案：（1）由題意得：（2）填表如下：失誤防范列二元一次方程組求解簡單問題：解決問題：審題，搞清已知和未知，分析數量關系制訂計劃：考慮如何根據等量關系設元，列出方程組執(zhí)行計劃：列出方程組并求解，得到答案回顧：檢查和反思解題過程，檢驗答案的正確性以及是否符合題意例5.佳佳果店在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用1200元購進若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果暢銷，第二次購買時，每千克的進價比第一次提高了10%，用1452元所購買的數量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出現高溫天氣，水果不易保鮮，為減少損失，便降價50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的進價是每千克多少元？（2）該果品店在這兩次銷售中，總體是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：分式方程，進價，盈利，虧損.二聯重要結論：根據等量關系列出分式方程，總利潤等于兩次利潤之和.重要方法：方程思想三解解：（1）設第一次水果的進價為每千克x元由題意得：解得：x=6，經檢驗，x=6是原方程的解，且符合題意答：第一次水果的進價為每千克6元.

(2)第一次購買水果的數量為1200÷6=200(千克).第一次的利潤為200×（8﹣6）=400（元）．第二次購買水果的數量為200+20=220（千克）．第二次的進價為6×(1+10%)=6.6(元)第二次的利潤為100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6.6）=﹣12（元）．兩次總利潤為400﹣12=388（元），答：兩次總體上盈利，盈利388元．四悟找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解題的關鍵舉一反三果品店剛試營業(yè)，就在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用500元購進若干千克水果，并以每千克定價7元出售，很快售完．由于水果暢銷，第二次購買時，每千克的進價比第一次提高了20%，用660元所購買的數量比第一次多10千克．仍以原來的單價賣完．求第一次該種水果的進價是每千克多少元？思路分析:第一次該種水果的進價是每千克x元，第二次該種水果的進價是每千克1.2x元．根據用660元所購買的數量比第一次多10千克，列出方程即可解決問題．答案：第一次該種水果的進價是每千克x元，第二次該種水果的進價是每千克1.2x元．由題意，得解方程得到：x=5，經檢驗：x=5是用方程的解，且符合題意．答：第一次該種水果的進價是每千克5元失誤防范分式方程的應用：等號兩邊至少有一個分母含有未知數的有理方程叫做分式方程。列分式方程解應用題的一般步驟是：找等量關系-設-列-解-檢驗-答。1、審：審清題意，找出相等關系和數量關系；2、設：根據所找的數量關系設出未知數；3、列：根據所找的相等關系和數量關系列方程；4、解：解方程；5、檢：對所解的分式方程進行檢驗，包括兩層，不僅要對實際問題有意義，還要對分式方程有意義；6、答：寫出分式方程的解。例6.為了節(jié)約用水，某水廠規(guī)定，某單元居民如果一個月的用水量不超過x噸，那么這個月該單元居民只交10元水費，如果超過x噸，則這個月除了仍要交10元水費外，超過那部分按每噸x/100元交費．（1）該單元居民8月份用水80噸，超過了規(guī)定的x噸，則超過部分應交水費____元（用含x的式子表示）．（2）下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費情況：根據上表的數據，求該水廠規(guī)定的x噸是多少？重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：分式方程，進價，盈利，虧損.二聯重要結論：根據等量關系列出方程，最后一定要判斷所求的解是否符合題意.重要方法：方程思想三解解：（1）（2）根據表格提供的數據，可以知道x≥50，根據9月份用水情況可以列出方程：解得，x1=60，x2=25，∵x≥50，∴x=60．∴該水廠規(guī)定的x噸是60噸．四悟找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解題的關鍵舉一反三某公司設有單身公寓，每套單身公寓都住有5位單身職工．為了節(jié)約用水，該公司規(guī)定：每套單身公寓如果一個季度的用水量不超過x噸，那么這個季度每套單身公寓需交水費共120元．如果超過x（x＞50）噸，則這個季度每套單身公寓除了交120元的水費外，超過那部分按每噸x/15元交費．（1）某套單身公寓第三季度用水85噸，超過了規(guī)定的x噸，共交水費220元，求該公司規(guī)定的x噸是多少？（2）該公司的單身公寓共有20套，第四季度交水費共3062元，且該季度每套單身公寓用水量均不超過75噸（含75噸），求第四季度用水量不超過x噸的單身公寓最多可能是多少套？舉一反三思路分析:（1）根據交的水費包括120元和超出的按每噸x/15元交費是共交的水費列出方程解決問題；（2）設第四季度用水量不超過60噸的單身公寓最多可能是y套，則有20﹣y套按120元交費，根據交水費3062元列出不等式解決問題即可．答案：（1）由題意得，整理得x2﹣85x+1500=0，解得x1=60，x2=25（不合題意舍去），答：公司規(guī)定的x噸是60噸．（2）設第四季度用水量不超過60噸的單身公寓最多可能是y套，由題意得120×20+（20﹣y）×

≤3062，解得y≥38/5，則y最小取8，用水量不超過60噸的單身公寓最多可能是8套．答：用水量不超過x噸的單身公寓最多可能是8套．失誤防范一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數；(2)未知數的最高次數是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．例7.【背景資料】一棉花種植區(qū)的農民研制出采摘棉花的單人便攜式采棉機(如圖)，采摘效率高，能耗低，綠色環(huán)保，經測試，一個人操作該采棉機的采摘效率為35公斤/時，大約是一個人手工采摘的3.5倍，購買一臺采棉機需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的標準支付雇工工錢，雇工每天工作8小時．[問題解決]（1）一個雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？（2）一個雇工手工采摘棉花7.5天獲得的全部工錢正好購買一臺采棉機，求a的值；（3）在（2）的前提下，種植棉花的專業(yè)戶張家和王家均雇人采摘棉花，王家雇傭的人數是張家的2倍，張家雇人手工采摘，王家所雇的人中有2/3的人自帶采棉機采摘，1/3的人手工采摘，兩家采摘完畢，采摘的天數剛好一樣，張家付給雇工工錢總額為14400元，王家這次采摘棉花的總重量是多少？重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：效率，工作時間，工錢，求解實際問題.二聯重要結論：代數式求解，一元一次方程的應用.重要方法：方程思想三解解：（1）35÷3.5×8=50（公斤）.（2）7.5×80·a=900，解得a=1.5（元）.（3）解法一：設張家雇工有x人，則王家雇工有2x人，其中機器采摘的有x人，手工采摘的有x人，設兩家雇工工作的天數為y天．∵張家付給雇工工資總額為14400元，∴.80×1.5·x·y=14400，∴xy=120.∴王家采摘棉花總重量=8×35×xy+8×10×

xy，當xy=120時，原式=8×35×

×120+8×10×

×120=51200（公斤）.∴這次王家采摘的棉花總重量是51200公斤.四悟找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解題的關鍵解題技巧一讀關鍵詞：效率，工作時間，工錢，求解實際問題.二聯重要結論：代數式求解，一元一次方程的應用.重要方法：方程思想三解解：解法二：設張家雇工有x人，則王家雇工有2x人，其中機器采摘的有x人，手工采摘的有x人，設王家這次采摘的棉花總量為m公斤．由題意得：

解得，m=51200（公斤）.∴這次王家采摘的棉花總重量是51200公斤.四悟找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解題的關鍵舉一反三一棉花種植區(qū)的農民研制出采摘棉花的單人便攜式采棉機，效率高，能耗低．經測試，一個人操作