2024-2025學(xué)年湖南省長沙一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A.(0,12) B.(12,0)2.某大學(xué)開設(shè)籃球、足球等5門球類選修課，要求每個(gè)學(xué)生都必須選擇其中的一門課程.現(xiàn)有小明、小強(qiáng)、小豆3位同學(xué)進(jìn)行選課，其中小明不選籃球和足球，則不同的選課方法共有(

)A.36種 B.60種 C.75種 D.85種3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)有最小值

B.函數(shù)f(x)有最大值

C.函數(shù)f(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)4.在等比數(shù)列{an}中，已知a2=2，aA.?2 B.2 C.2 D.5.已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓(x?1)2+(y?4)A.5 B.4 C.3 D.26.已知函數(shù)f(x)=aex?x2(a∈R)A.(0,4e2) B.(0,2e7.已知函數(shù)f(x)=ex(sinx?cosx)，x∈(0,2013π)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為A.e2π(1?e2012π)e2π?1 8.已知某正三棱柱的外接球的表面積為8π，則該正三棱柱的體積的最大值為(

)A.42 B.32 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.以下四個(gè)命題表述正確的是(

)A.直線mx+4y?12=0(m∈R)恒過定點(diǎn)(0,3)

B.圓C：x2+y2?2x?8y+13=0的圓心到直線4x?3y+3=0的距離為2

C.圓C1：D.兩圓x2+y210.已知曲線C：y2=|x|+1，則下列判斷正確的是(

)A.曲線C既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

B.曲線C上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最小距離為32

C.曲線C在第一、四象限的任意一點(diǎn)到點(diǎn)(?34,0)的距離與其橫坐標(biāo)之差為定值32

D.直線l：y=kx+b11.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2(aA.{1an}是等差數(shù)列 B.a2025=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若曲線y=f(x)=lnx+32x在x=2處的切線的傾斜角為α，則sinα+cosαsin13.若不等式(?1)na<2+(?1)n+1n14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作雙曲線的一條漸近線的垂線l，垂足為M，若直線l與雙曲線C的另一條漸近線交于點(diǎn)N四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，AB=3，AC=2，D為BC邊上一點(diǎn)，且AD平分∠BAC．

(1)若BC=3，求ADCD；

(2)若∠BAC=π3，求線段AD16.(本小題15分)

如圖，三棱錐P?ABC由三個(gè)以C為公共直角頂點(diǎn)的直角三角板拼成，其中直角三角板ABC和PAC為兩個(gè)全等的直角三角板，且∠BAC=π6，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，平面BEF與平面ABC的交線為l．

(1)證明：l⊥平面PBC；

(2)點(diǎn)Q在直線l上，直線PQ與直線EF的夾角為α，直線PQ與平面BEF的夾角為β，是否存在點(diǎn)Q，使得α+β=π217.(本小題15分)

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公差為d(d≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，bn=anan+1?2Sn．

(1)求證：數(shù)列18.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)(3,0)為雙曲線C1：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，以F為圓心，1為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切．

(1)求C1的方程；

(2)記C1的左、右頂點(diǎn)為A，B.弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB交點(diǎn)為M，其軌跡為曲線C2．

(Ⅰ)求C2的方程；

(Ⅱ)直線l1，l219.(本小題17分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x2?ax?a2lnx.(a∈R)

(1)當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性；

(2)曲線y=f(x)與直線y=m交于A(x1,y1)參考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.AD

11.ACD

12.3

13.?2≤a<314.615.解：(1)設(shè)∠BAD=∠CAD=θ,θ∈(0,π2)，

因?yàn)锳D平分∠BAC，AB=BC=3，故∠C=∠BAC=2θ，

在△ADC中，由正弦定理，可得ADCD=sin∠ACDsin∠DAC=sin2θsinθ=2cosθ，

又由余弦定理有cos2θ=cosC=CA2+CB2?BA22CA?CB=3216.解：(1)證明：∵E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，∴EF/?/AC，

∵EF?平面ABC，AC?平面ABC，

∴EF/?/平面ABC，

又EF?平面BEF，平面BEF∩平面ABC=l，

∴l(xiāng)//EF//AC，

∵AC⊥BC，PC⊥AC，且PC∩BC=C，

PC，BC?平面PBC，

∴AC⊥平面PBC，∴l(xiāng)⊥平面PBC．

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=2，則A(23,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,0,1)，

∵AC//BQ，設(shè)Q(a,2,0)，則PQ=(a,2,?2)，F(xiàn)E=12CA=(3,0,0)，F(xiàn)B=(0,2,?1)，

設(shè)平面BEF的法向量n=(x,y,z)，

則FE?n=3x=0FB?n17.(1)證明：由題知，bn+1?bn=an+1an+2?2Sn+1?(anan+1?2Sn)，

又{an}是公差為d的等差數(shù)列，

故bn+1?bn=2d?an+1?2an+1=2an+1(d?1)，

(bn+2?bn+1)?(bn+118.解：(1)由題知，取C1的一條漸近線y=bax，設(shè)以F為圓心1為半徑的圓與y=bax相切于T，

則Rt△OFT中，tan∠TOF=ba，且|OF|=c，

所以b=|FT|=1，a=|OT|=2，

故所求雙曲線C1的方程為x22?y2=1；

(2)(Ⅰ)設(shè)P(x0,y0)，則Q(x0,?y0)，設(shè)點(diǎn)M(x,y)，又A(?2,0)，B(2,0)，

所以直線PA的方程為y=y0x0+2(x+2)①，

直線QB的方程為y=?y0x0?2(x?2)②，

①×②得y2x2?2=?y02x02?2，

又P(x0,y0)在雙曲線x22?y2=119.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x2?2x?4lnx，

f′(x)=2x?2?4x=2(x+1)(x?2)x，

x∈(0,2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；x∈(2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

(2)證明：f(x)=?a2lnx+x2?ax，則f′(x)=?a2x+2x?a，

由題意，知f(x)=m有兩解x1，x2，不妨設(shè)