2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)宜川中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)宜川中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.古人云“一屋不掃，何以掃天下”，這句諺語(yǔ)說(shuō)明古人認(rèn)為“能掃一屋”的一個(gè)(????)條件是“能掃天下”．A.充分條件 B.必要條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2.已知a，b，c∈R且a≠0，那么關(guān)于x的不等式log12(aA.R B.(?2,?1)∪(2,3) C.(?2,?1) D.?3.對(duì)任意實(shí)數(shù)a和正整數(shù)k，定義集合M={a+0k?2π,a+1k?2π,a+2k?2π,a+3k?2π,?,a+A.5 B.6 C.7 D.84.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)于給定集合A，若對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1?x2∈A時(shí)都有f(x1)?f(x2)∈A，則稱f(x)是“A封閉”函數(shù).已知給定兩個(gè)命題：

P：若f(x)是“{1}封閉”函數(shù)，則f(x)是“{2023}封閉”函數(shù)．

Q：若f(x)A.P是真命題，Q是真命題 B.P是假命題，Q是真命題

C.P是真命題，Q是假命題 D.P是假命題，Q是假命題二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.已知全集U=(?∞,1)?[2，+∞)，集合A=(?1,1)?[3，+∞)，則A?=______．6.不等式|xx+1|>7.化簡(jiǎn)：sin(π2+α)8.已知a∈Z，關(guān)于x的函數(shù)y=ax+1x+2在區(qū)間[1,+∞)上是嚴(yán)格減函數(shù)，且在該區(qū)間函數(shù)值不恒為負(fù)，則實(shí)數(shù)a=______．9.用cotα和cotβ表示cot(α+β)=______．10.已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是16，面積是12，則其圓心角的弧度=______．11.已知a∈R，關(guān)于x的函數(shù)y=1?2a2x+a不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，那么12.下列關(guān)于x的函數(shù)中，在其定義域上是增函數(shù)的是(填序號(hào))：______．

①y=?1x；②y=[x]；③y=x1.25；④y=213.若不等式?x2+mx?2≥0對(duì)x∈[1,3]恒成立，則實(shí)數(shù)m14.已知角α，β均為銳角，且α≠β，滿足sinα?sinβ=3cosβ?3cosα，cos(α+β)的值為_(kāi)_____．15.已知函數(shù)f(x)=x2?5x+7，若對(duì)于任意的正整數(shù)n，在區(qū)間[1,n+5n]上存在m+1個(gè)實(shí)數(shù)a0、a1、a216.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，若存在常數(shù)T>0，使得對(duì)任意的x∈(0,+∞)，都有f(Tx)=f(x)+T，且y=f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)開(kāi)_____．三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)

在△ABC中，已知a=2．

(1)若3sinAcosA+sin2A?1=0，求該三角形的外接圓半徑R；

(2)18.(本小題12分)

已知cos(α?β2)=?277,sin(α219.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=log3(3x+1)+ax(a∈R)是偶函數(shù)．

(1)求a的值；

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=12x+b(b∈R)的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(3)若函數(shù)g(x)=9f(x)+20.(本小題12分)

為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位：小時(shí))變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=169?2x?1,0≤x≤316?2x?3,3<x≤7.若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．

(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間約達(dá)幾小時(shí)？(結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg15≈1.17)

(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，3小時(shí)后再噴灑2個(gè)單位的凈化劑，設(shè)第二次噴灑t小時(shí)后空氣中凈化劑濃度為g(t)(毫克/立方米)，其中0<1≤3．

①21.(本小題12分)

已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，現(xiàn)有下面兩種對(duì)y=f(x)變換的操作：

φ變換：y=f(x)→y=f(x)?f(x?t)，其中t>0．

ω變換：y=f(x)→y=|f(x+t)?f(x)|，其中t>0．

(1)若f(x)=3x，t=1，對(duì)y=f(x)進(jìn)行φ變換后得到函數(shù)y=g(x)，解方程g(x)=2．

(2)若f(x)=x2，對(duì)y=f(x)進(jìn)行ω變換后得到函數(shù)y=?(x)，解不等式f(x)≥?(x)．

(3)若函數(shù)y=f(x)在(?∞,0)上是嚴(yán)格增函數(shù)，對(duì)函數(shù)y=f(x)先作φ變換，再作ω變換，得到函數(shù)y=?1(x)，對(duì)函數(shù)y=f(x)先作ω變換，再作φ變換，得到函數(shù)y=?2(x).對(duì)任意參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.(?∞,1]∪[2,3)

6.{x|?1<x<0}

7.?cos8.?1或0

9.cotα?cotβ?1cot10.6或2311.(?∞,?1)∪(?1,1)∪(1,+∞)

12.③⑤

13.[1114.4515.6

16.R

17.解：(1)因?yàn)?sinAcosA+sin2A?1=0，

所以32sin2A+1?cos2A2?1=0，即sin(2A?π6)=12，

因?yàn)?<A<π，所以?π6<2A?π6<5π6，

所以2A?π6?π6或5π6，即A=π6或π2，

所以2R=asinA18.解：(1)cos(α?β2)=?277，且α∈(π2,π)，β∈(0,π2)，α?β2∈(π4,π)，

∴sin(α?β2)=1?cos2(α?β2)=217，

sin19.解：(1)∵函數(shù)f(x)=log3(3x+1)+ax是偶函數(shù)，

∴f(x)=f(?x)，即log3(3x+1)+ax=log3(3?x+1)?ax恒成立，

∴2ax=log3(3?x+1)?log3(3x+1)=log33?x+13x+1=?x，∴a=?12；

(2)若函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)y=12x+b的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，

則方程log3(3x+1)?12x=12x+b無(wú)解，即log3(3x+1)?x=b無(wú)解，

令?(x)=log3(3x+1)?x=log3(3x+1)3x=log3(1+13x)，20.解：(1)根據(jù)已知可得，一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，濃度f(wàn)(x)=4y=649?2x=4,0≤x≤3,4(16?2x?3),3<x≤7，

則當(dāng)0≤x≤3時(shí)，由649?2x?4≥4，可得x≥0，所以0≤x≤3；

當(dāng)3<x≤7時(shí)，由4(16?2x?3)≥4，可得2x?3≤15，(x?3)lg2≤lg15，解得x≤6.9，所以3<x≤6.9．

綜上所述，0≤x≤6.9，

所以一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間約達(dá)6.9小時(shí)；

(2)①由題意可知，第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，

3小時(shí)后的濃度為2×[169?23?1]=30(毫克/立方米)，

21.解：(1)由f(x)=3x，t=1，對(duì)y=f(x)進(jìn)行φ變換后，

得y=g(x)=f(x)?f(x?1)=3x?3x?1=2×3x?1=2，

即3x?1=1，解得x=0；

(2)由f(x)=x2，對(duì)y=f(x)進(jìn)行ω變換后得到函數(shù)y=?(x)=|f(x+t)?f(x)|

=|(x+t)2?x2|=|2xt+t2|，

又f(x)≥?(x)，即x2≥|2xt+t2|，t>0，

則當(dāng)2xt+t2≥0，即x≥?t2時(shí)，x2≥2xt+t2，

解得x≤(1?2)t或x≥(1+2)t，即?t2≤x≤(1?2)t或x≥(1+2)t；

當(dāng)2xt+t2<0，即x<?t2時(shí)，x2≥?2xt?t2，即(x+t)2≥0，不等式恒成立，即x<?t2；

綜上所述，