第01講-基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積-(精講)(解析版)

第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 6第三部分：高頻考點一遍過 10高頻考點一：基本立體圖形 10高頻考點二：立體圖形的直觀圖 14高頻考點三：空間幾何體的表面積與體積 17角度1：表面積和側(cè)面積 17角度2：體積 20角度3：螞蟻爬行最短問題 23高頻考點四：空間幾何體的外接球 31角度1：補形法 31角度2：對棱相等型 33角度3：借助三角形外心確定球心 35高頻考點五：空間幾何體的內(nèi)切球 41第四部分：數(shù)學(xué)文化題 46溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背知識點一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、多面體的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與底面的公共頂點（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點字母表示棱柱，如圖棱柱1.2棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：各側(cè)面的公共頂點（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點和底面各頂點字母表示，如圖棱錐1.3棱臺（1）棱臺的定義定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點（2）棱臺的圖形（3）棱臺的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……用各頂點字母表示棱柱，如棱臺2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征2.1圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱2.2圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐2.3圓臺（1）圓臺的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體（2）圓臺的圖形（3）圓臺的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺2.4球球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:知識點二：直觀圖1、空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點,畫直觀圖時，把它們分別畫成對應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點,且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄唬?）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.2、斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．知識點三：柱、錐、臺、球的表面積和體積幾何體表面積體積柱體（棱柱，圓柱）椎體（棱錐，圓錐）臺體（棱臺，圓臺）球知識點四：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺圖示側(cè)面積公式常用結(jié)論1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為第二部分：高考真題回歸1．（多選）（2023·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【詳解】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.2．（2023·全國（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．【答案】2【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為直三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.3．（2023·全國（甲卷文）·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是________．【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；

分別取側(cè)棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，連接，則，當(dāng)球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：4．（2023·全國（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．【答案】12【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.故答案為：125．（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.

6．（2023·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．【答案】/【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因為，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：基本立體圖形典型例題例題1．（2023春·黑龍江大慶·高一鐵人中學(xué)?？计谥校┙o出下列說法：①有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱④一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊其中正確說法的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于①中，根據(jù)棱臺的定義，延長棱臺的所有側(cè)棱交于一點，所以有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體不一定是棱臺，所以①不正確；對于②中，根據(jù)棱錐的定義，有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，所以②不正確；對于③中，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面平行，且該多面體的頂點都在這兩個平面上，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱，所以③不正確；對于④中，一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成8塊，所以④不正確.故選：A.例題2．（2023春·山東臨沂·高一?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B．以正方體的頂點為頂點可以構(gòu)成正四棱錐C．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面【答案】D【詳解】選項A：以直角三角形的一個直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐.判斷錯誤；選項B：由正四棱錐定義可得以正方體的頂點為頂點不可以構(gòu)成正四棱錐.判斷錯誤；選項C：用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺.判斷錯誤；選項D：用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.判斷正確.故選：D例題3．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在長方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【詳解】如圖連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，過點作交于點，連接，則五邊形即為平面截該長方體所得的截面多邊形.其中因為，，，所以，則，所以，又，所以，所以，則，顯然，則，所以.故選：C例題4．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，已知正方體中截去一部分，其中，剩下的較大的幾何體是什么？

【答案】直五棱柱【詳解】正方體中截去一部分，其中，剩下的較大的幾何體中，五邊形與五邊形全等且所在平面平行，側(cè)面均為矩形，則該幾何體為直五棱柱.練透核心考點1．（2023春·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列敘述正確的是（

）A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【答案】D【詳解】對于A，當(dāng)截面不平行于底面時，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，A錯誤；對于B，C，如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點，不是棱臺，B，C錯誤；

對于D，由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點，D正確.故選：D.2．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校恼襟w的8個頂點上任取4個頂點，則這4個頂點構(gòu)成的幾何圖形不可能是（

）A．三個面是直角三角形的正三棱錐B．有一個面是鈍角三角形的四面體C．每個面都是等邊三角形的四面體D．每個面都是直角三角形的四面體【答案】B【詳解】如圖是正方體，三棱錐是三個面為直角三角形的正三棱錐，A正確；三棱錐是四個面都是直角三角形的四面體，D正確；三棱錐是四個面都是等邊三角形的四面體，C正確；對于B，先選取A點，與剩下的7個頂點的任意兩個都不可構(gòu)成鈍角三角形，B錯誤；故選：B.3．（多選）（2023春·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺B．以等腰三角形底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面【答案】BCD【詳解】對于A，以直角梯形中垂直于底的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，故A錯誤；對于B，以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，B對；對于C，圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，C對；對于D，用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面，D對.故選:BCD.4．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱B．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行C．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為五棱錐D．各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐【答案】BC【詳解】有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿足選項A條件的幾何體可能是組合體，如圖所示，故A錯誤；由棱柱定義可知棱柱的面中，至少有兩個面互相平行，故B正確；一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形時，頂角之和，即，故C正確；一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐,故D錯誤.故選：BC.高頻考點二：立體圖形的直觀圖典型例題例題1．（2023春·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則是（

）

A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．以上選項都不對【答案】C【詳解】根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點，.因為，所以，則是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如圖所示：

故選：C.例題2．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）

A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形【答案】C【詳解】，所以，故在原圖中，，，所以四邊形為菱形(如圖所示)，，則原圖形面積為.

故選：C.練透核心考點1．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖是水平放置的三角形ABC的直觀圖，是中邊上的一點，且離比離近，軸，軸，那么線段AB，AD，AC中，最長、最短的線段分別是（

）

A．AB，AC B．AC，AD C．AD，AC D．AB，AD【答案】B【詳解】原的平面圖如圖所示．由題意可知，，，所以，所以在線段AB，AC，AD中，最長的是AC，最短的是AD．故選：B．

2．（2023春·高一課時練習(xí)）用斜二測畫法畫出圖中四邊形OBCD的直觀圖．【答案】答案見解析【詳解】分以下三步進(jìn)行作圖：（1）過點C作軸，垂足為E，如圖①所示．（2）畫出對應(yīng)的軸、軸，使，在軸上取點，，使得，；在軸上取一點，使得；過作軸，使，連接，，如圖②所示．（3）擦去軸與軸及其他輔助線，如圖③所示，四邊形就是所求的直觀圖．高頻考點三：空間幾何體的表面積與體積角度1：表面積和側(cè)面積典型例題例題1．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面為正三角形，若它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖作出圓錐的軸截面，依題意，，，所以，易知，則，所以，即圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑，高，所以圓柱的側(cè)面積.故選：C例題2．（2023春·高一課時練習(xí)）已知圓臺的上、下底面圓的半徑分別為1和2，高為1，則圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，由題知，，，則.

故圓臺的表面積，故選：B例題3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校├忾L為1的正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將四點兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為__________．

【答案】【詳解】在原正方體紙盒上，分別將四點兩兩相連，如圖所示，因為為正方體的面對角線，所以，所以為正四面體，所以表面積為：，故答案為：．

例題4．（2023春·黑龍江大慶·高一鐵人中學(xué)校考期中）由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐，其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為，則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為______.【答案】【詳解】如圖，

設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，為的中點，則由題意得：，所以，則設(shè)以該四棱錐的高為邊長的正方形面積為，，設(shè)該四棱錐側(cè)面積為，所以.故答案為：角度2：體積典型例題例題1．（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）圓柱的軸截面是周長為12的矩形，則滿足條件的圓柱的最大體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】圓柱的底面半徑為，高為，則，即，圓柱的體積，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值.故選：A例題2．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某廣場內(nèi)供休閑人員休息的石凳是由一個正方體石塊截去8個相同的四面體得到的，如圖所示，若被截正方體石塊棱長為，則該石凳的體積為（

）（單位）

A．180000 B．160000 C．140000 D．120000【答案】A【詳解】正方體的體積為，切去的每個四面體的體積為，所以該石凳的體積為.故選：A.例題3．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，正方體的棱長為4，點，，分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點的棱錐的體積為___________.

【答案】【詳解】延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接交于點，交于點，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面.因為，則，又因為，所以，即，解得，同理可得，則，，因為，所以，又，則，同理可得；所以，，，，，.故答案為：

例題4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）如圖；在直三棱柱中，，，，點為的中點．

(1)求證；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)8【詳解】（1）在中，因為，，，所以，所以為直角三角形，即，又因為在直三棱柱中，平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以．（2）在中，過C作，F(xiàn)為垂足，

由直三棱柱得平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，在中，，又因為，所以．角度3：螞蟻爬行最短問題典型例題例題1．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2cm，，分別是兩底面的直徑，，是母線.若一只小蟲從點出發(fā)，沿側(cè)面爬行到點處，則小蟲爬行的最短距離是（

）

A． B．2cm C． D．1cm【答案】A【詳解】如圖，在圓柱側(cè)面展開圖中，線段的長度即為所求，

在中，，，∴.故小蟲爬行的最短距離是.故選：A.例題2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）有一個圓錐形鉛錘，其底面直徑為，母線長為．是鉛錘底面圓周上一點，則關(guān)于下列命題：①鉛錘的側(cè)面積為；②一只螞蟻從點出發(fā)沿鉛錘側(cè)面爬行一周、最終又回到點的最短路徑的長度為．其中正確的判斷是（

）A．①②都正確 B．①正確、②錯誤C．①錯誤、②正確 D．①②都錯誤【答案】A【詳解】依題意，圓錐的底面圓半徑為，母線長為，所以鉛錘的側(cè)面積為，①正確；沿著過點P的圓錐的母線剪開，把側(cè)面展成平面圖形，如圖，顯然扇形弧長為圓錐底面圓周長，而扇形半徑為母線長，因此扇形圓心角，在中，由余弦定理得，螞蟻從P點出發(fā)沿鉛錘側(cè)面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑即為線段長，②正確.故選：A例題3．（2023春·高一單元測試）如圖，已知圓柱的高為，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線上有一點，且，在母線上取一點，使，則圓柱側(cè)面上、兩點的最短距離為________．

【答案】【詳解】如圖，把圓柱的半個側(cè)面展開，是一個下長為，寬為的矩形，

，，過作，為垂足，所以，即可把放在一個直角邊為和的直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：.故答案為：.例題4．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點，且.現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，下坡路段長為______.【答案】【詳解】由題意，半徑為2km，山高為，則母線,底面圓周長，所以展開圖的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，結(jié)合題意，,由點向引垂線，垂足為點，此時為點和線段上的點連線的最小值，即點為公路的最高點，段即為下坡路段，則，即，得下坡路段長度為.故答案為：練透核心考點1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知等邊三角形SAB為圓錐的軸截面，AB為圓錐的底面直徑，O，C分別是AB，SB的中點，過OC且與平面SAB垂直的平面記為，若點S到平面的距離為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，作于點，因為平面平面，且平面平面，所以平面，，點為的中點，則，且為等邊三角形，則，所以，所以底面半徑，母線，則該圓錐的側(cè)面積

故選：B2．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓臺上下底面的半徑分別為1和2，母線長為3，則圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圖可得，圓臺的高為，故圓臺的體積為.

故選：B3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【詳解】取中點，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A4．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）將邊長為1的正方形紙片繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)弧度，則紙片掃過的區(qū)域形成的幾何體的表面積為______.【答案】【詳解】由已知可得該幾何體為底面半徑為，高為的圓柱的，如下圖：

所以該幾何體的表面積，故答案為：.5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，連接，，，，，，得到一個三棱錐.則三棱錐的體積是_________.

【答案】【詳解】三棱錐，，，是完全一樣的．

且正方體的體積為，故.故答案為：.6．（2023春·高一課時練習(xí)）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是______.【答案】【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則底面圓的周長為，即展開后的扇形弧長為，又扇形的圓心角為，半徑為1，所以，所以，故圓錐的側(cè)面積為，表面積為，所以這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為，即這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是.故答案為：7．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，正三棱柱，，，分別為，的中點．

(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)（2）利用，可求三棱錐的體積．【詳解】（1）在正三棱柱中，側(cè)面為矩形，連接，為的中點，則與交于點，且為的中點，因為，分別為，的中點，則，又平面，平面，故平面；

（2）由已知可得，所以．8．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖是一個圓錐形物體，其母線長為3cm，一只小蟲子從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲子爬行的最短路程為，求圓錐底面圓的半徑.

【答案】1cm.【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示，易知該小蟲子爬行的最短路程為，，，在中，由余弦定理得，因為為三角形的內(nèi)角，所以，設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，解得.故圓錐底面圓的半徑為1cm.

9．（2023春·高一課時練習(xí)）已知圓錐底面圓的半徑為1，高為，要想從底面圓周上一點出發(fā)拉一條細(xì)繩繞圓錐的側(cè)面一周再回到，求該條細(xì)繩的最短長度.【答案】最短長度為.【詳解】如圖所示：

沿剪開，再展開后得到扇形，連接，則由題意得細(xì)繩的最短長度為的長度.∵圓錐底面圓的半徑為1，高為，∴扇形的弧長為，母線.在扇形中，易得，∴，即該條細(xì)繩的最短長度為：.10．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，圓臺上、下底面半徑分別為，，母線長為，從母線AB的中點拉一條細(xì)繩，圍繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)至下底面的點，求BM間細(xì)繩的最短長度.

【答案】【詳解】如圖所示：圓臺的展開圖，設(shè)，，為最短距離，

則，，解得，，故.故BM間細(xì)繩的最短長度為.高頻考點四：空間幾何體的外接球角度1：補形法典型例題例題1．（湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）很多人的童年都少不了折紙的樂趣，如今傳統(tǒng)意義上的手工折紙已經(jīng)與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，并產(chǎn)生了許多需要縝密論證的折紙問題.有一張矩形紙片，，為的中點，將和分別沿、翻折，使點與點重合于點，若，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】翻折前，在矩形中，，因為為的中點，則，翻折后，如下圖所示：則，設(shè)，由題意知，，，所以，，解得，即，將三棱錐補成長方體，則長方體的外接球直徑為，所以，，故球的表面積為.故選：C.例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在矩形中，平面，則與平面所成的角是_____．四棱錐的外接球的表面積為____．【答案】/【詳解】四棱錐中，平面，則是與平面所成的角，又矩形中，，則，又，，則，，又，則，則與平面所成的角是；四棱錐可以補形為長方體，則四棱錐的外接球的直徑為，又，則四棱錐的外接球的半徑為1，則四棱錐的外接球的表面積為.故答案為：；角度2：對棱相等型典型例題例題1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，，．若三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為______．【答案】【詳解】將三棱錐放入下圖的長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，所以，三式相加可得：，即：，三棱錐的外接球即長方體的外接球，所以，即，球的表面積為.故答案為：.例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將三棱錐放入長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為，如圖所示：則，故，球的半徑，故體積為.故選：D例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，已知，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為三棱錐的對棱相等，所以可以把它看成長方體的面對角線，設(shè)長方體的同一頂點三條棱長分別為,且長方體的面對角線長為，則,長方體體對角線為長方體外接球直徑，即為三棱錐外接球的直徑，，它外接球半徑等于，所以球的表面積為.故選:A.角度3：借助三角形外心確定球心典型例題例題1．（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí)）已知三棱錐的頂點都在球的球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.

例題2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）某兒童玩具的實物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由，，，四條等長的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則=（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接AB，AC，AD、BC，CD，BD，得到正四面體ABCD，則點O為正四面體ABCD外接球的球心，延長AO交底面BCD于G，則G為的中心.設(shè)，外接球的半徑為R，連接BG，在正三角形中，易得，則，故在中有：，解得，則，所以，故選：A.

例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，是邊長為6的等邊三角形，，三棱錐體積的最大值是__________；當(dāng)二面角為時，三棱錐外接球的表面積是__________.【答案】【詳解】當(dāng)二面角為，且時，三棱錐的體積最大，設(shè)線段的中點為，連接，易求得.當(dāng)二面角為時，和的外接圓圓心分別記為和，分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為.過作的垂線，垂足記為，連接，.在中，由正弦定理得：，所以，易知，在Rt中，，在Rt中，，所以三棱錐外接球的半徑，所以，即三棱錐外接球的表面積是.故答案為：27，

練透核心考點1．（2023春·高一課時練習(xí)）正四面體的所有棱長均為12，球O是其外接球，M，N分別是與的重心，求球O截直線MN所得的弦長.【答案】【詳解】

如圖，將正四面體補全為正方體，則正方體的棱長為.易知球O是正方體的外接球，所以球O的半徑.易得，所以.又，所以O(shè)到直線MN的距離為，因此球O截直線MN所得的弦長為.2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知三棱錐中，，若均在半徑為2的球面上，求的范圍_________．【答案】【詳解】由，均在半徑為2的球面上，可將三棱錐放置于長方體中，如圖，

設(shè)棱長分別為，則，故長方體對角線平方為，可設(shè)，，，考慮到是三角形邊長,故，其范圍是．故答案為：3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知三棱錐的四個頂點均在球的球面上，，，，為球的球面上一動點，則點到平面的最大距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，，，可將三棱錐補成如圖所示的長方體，，，，，球的半徑；在中，，則．設(shè)的外接圓半徑為，則，解得：，則球心到平面的距離，點到平面的最大距離為．故選：B．4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）腰長為的等腰的頂角為，且，將繞旋轉(zhuǎn)至的位置得到三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時其外接球面積為（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】在中，因為，可得，所以，當(dāng)三棱錐體積最大時，平面平面，因為，取中點，則，設(shè)為外接圓圓心，為三棱錐外接球心，則，再設(shè)為外接圓圓心，平面，則且，設(shè)三棱錐外接球的半徑為在直角中，可得且，因為，可得所以外接圓半徑，所以，因為，所以的外接圓的半徑，且，在中，可得，可得，所以，所以外接球的表面積為.故選：A.

5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的底面四邊形是邊長為的正方形，且平面，，點M為線段上的動點（不包含端點），則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時，的長為_________．【答案】2【詳解】因為平面，平面，所以，連接MA，由題意可知三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，則當(dāng)三棱錐外接球的體積最小時，四棱錐外接球的半徑最小，設(shè)四棱錐外接球的球心為O，半徑為R，連接AC與BD交于點，當(dāng)O與不重合時，連接，易知平面ABCD，則，連接OC，在中，，

當(dāng)O與重合時，，所以當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時，O與重合，.設(shè)CM的中點為N，連接，易知，則，所以，解得，所以，

故答案為：2高頻考點五：空間幾何體的內(nèi)切球典型例題例題1．（廣西三新聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為四棱錐的各棱長均為2，所以四棱錐是正四棱錐，則，過P作底面垂線，垂足為H，則，所以，則，故其內(nèi)切圓表面積為，故選：B．例題2．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知圓臺的上底半徑為1，下底半徑為3，球與圓臺的兩個底面和側(cè)面都相切，則（

）A．圓臺的母線長為4 B．圓臺的高為4C．圓臺的表面積為 D．球O的表面積為【答案】ACD【詳解】設(shè)梯形ABCD為圓臺的軸截面，則內(nèi)切圓為圓臺內(nèi)切球的大圓，如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，半徑分別為，則共線，且，連接，則分別平分，故，，故，即，解得，母線長為，故A正確；圓臺的高為，故B錯誤；圓臺的表面積為，故C正確；球O的表面積為，故D正確.故選：ACD.例題3．（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，有一個倒圓錐形容器中有部分水，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放入一個半徑為的鐵球，此時水面與球正好相切，則原來容器中水的深度為______．

【答案】【詳解】如圖所示，作出軸截面，可得軸截面是正三角形，根據(jù)切線性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時，水的深度為，水面半徑BC的長為，則容器內(nèi)水的體積，設(shè)原來容器中水的深度為，則水面圓的半徑為，所以容器內(nèi)水的體積，由，即，解得．故答案為：.

練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，由題意知球和正四面體的三個側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，為的中心，易知面，為中點，球和球分別與面相切于和.易得，，，由，可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即小球的最大半徑為.所以小球的表面積最大值為.故選：A2．（多選）（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為6，側(cè)面積為，則下列說法正確的是（

）A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的內(nèi)切球的體積為C．該圓錐的外接球的表面積為 D．該圓錐的內(nèi)接正方體的棱長為【答案】AC【詳解】對于A：設(shè)圓錐底面半徑為，母線為,則側(cè)面積為，則圓錐高為，故圓錐體積為，故A正確；對于B：由于,所以,如圖，內(nèi)切球和圓錐側(cè)面和底面分別切于,,故內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的體積為，故B錯誤；

對于C：外接球的球心為半徑,則滿足：，∴，故C正確；

對于D：以圓錐的頂點以及正方體的一條面對角線作截面如下，設(shè)內(nèi)接正方體的棱長為，則由相似可得，故D錯.

故選：AC3．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將一個圓心角為、面積為的扇形卷成一個圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為______.【答案】/【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長為，依題意，，解得，圓錐內(nèi)半徑最大的球為圓錐的內(nèi)切球，圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，如圖中等腰及內(nèi)切圓，

，點為邊的中點，，因此的面積，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則有，解得，此球的表面積為，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為.故答案為：第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說法正確的是（

）A．四棱錐為“陽馬”B．四面體的頂點都在同一個球面上，且球的表面積為C．四棱錐體積最大值為D．四面體為“鱉臑”【答案】ABD【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，對A選項，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽馬”，對；對C選項，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，故C錯誤；對D選項，由，即，又且，平面，∴平面，平面,∴，則為直角三角形，又由平面，平面，，則為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．∴四面體為“鱉臑”，故D正確；對B選項，由C知為直角三角形，側(cè)棱平面，則易知,為直角三角形，而為直角三角形，則外接球球心位于的中點，則外接球半徑，則球的表面積為，故B正確.故選：ABD．2．（多選）（2023·湖南岳陽·湖南省平江縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）勒洛三角形也被稱為定寬曲線，勒洛三角形的立體版就是如圖所示的立體圖形，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，它是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分組成的，因此它能像球一樣來回滾動.這種立體圖形稱為勒洛四面體，若圖中勒洛四面體的四個頂點分別為P、A、B、C，任意兩個頂點之間的距離為1，則下列說法正確的是（

）A．圖中所示勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為1B．圖中所示勒洛四面體的內(nèi)切球的表面積為C．平面截此勒洛四面體所得截面的面積為D．圖中所示的勒洛四面體的體積是【答案】AB【詳解】對于A中，勒洛四面體能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，所以其表面上任意兩點間距離的最大值，即為其內(nèi)接四面體的