2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第9章平面解析幾何第2講兩直線的位置關(guān)系學(xué)案含解析北師大版

PAGE1-第2講兩直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)學(xué)問整合1．兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直①兩條直線平行(ⅰ)對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?eq\x(\s\up1(01))k1＝k2.(ⅱ)當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.②兩條直線垂直(ⅰ)假如兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?eq\x(\s\up1(02))k1k2＝－1.(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2.(2)兩條直線的交點直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組eq\x(\s\up1(03))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．2．幾種距離(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\x(\s\up1(04))eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\x(\s\up1(05))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．三種常見的直線系方程(1)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)；(2)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋C0＝0；(3)過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，這個直線系不包括直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解題時，留意檢驗l2是否滿意題意，以防漏解)．2．四種常見的對稱(1)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(2)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y(3)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y(4)點(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．3．點到直線、兩平行線間的距離公式的運用條件(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式．(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．1．(2024·廣東惠陽模擬)點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為()A．2eq\r(5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\r(5) D．eq\f(2\r(5),5)答案C解析點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5).故選C．2．過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案A解析因為所求直線與直線x－2y－2＝0平行，所以設(shè)直線方程為x－2y＋c＝0，又直線經(jīng)過點(1,0)，得出c＝－1，故所求直線方程為x－2y－1＝0.3．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若兩直線平行，則a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或－2，故a＝1是兩直線平行的充分不必要條件．4．若直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則實數(shù)n的值為()A．－12 B．－2C．0 D．10答案A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直線mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.解得p＝－2.又因為垂足(1，－2)在直線2x－5y＋n＝0上，解得n5．(2024·重慶模擬)光線從點A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B(2,10)，則光線從A到B的距離為()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案C解析點B(2,10)關(guān)于x軸的對稱點為B′(2，－10)，由對稱性可得光線從A到B的距離為|AB′|＝eq\r(－3－22＋[5－－10]2)＝5eq\r(10).故選C．6．(2024·云南師大附中適應(yīng)性月考)已知傾斜角為α的直線l與直線m：x－2y＋3＝0垂直，則cos2α＝________.答案－eq\f(3,5)解析直線m：x－2y＋3＝0的斜率是eq\f(1,2)，∵l⊥m，∴直線l的斜率是－2，故tanα＝－2，∴eq\f(π,2)<α<eq\f(2π,3)，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).核心考向突破考向一平行與垂直問題例1(1)已知經(jīng)過點A(－2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，－1)和點Q(a，－2a)的直線l2相互垂直，則實數(shù)答案1或0解析l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－－2)＝a.當(dāng)a≠0時，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－－1,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.當(dāng)a＝0時，得P(0，－1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(－2,0)，B(1,0)，直線l1為x軸，明顯l1⊥l2.綜上可知，實數(shù)a的值為1或0.(2)已知兩直線l1：x＋ysinα＋1＝0和l2：2xsinα＋y＋1＝0.若l1∥l2，則α＝________.答案kπ±eq\f(π,4)，k∈Z解析解法一：當(dāng)sinα＝0時，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，明顯l1不平行于l2；當(dāng)sinα≠0時，k1＝－eq\f(1,sinα)，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－eq\f(1,sinα)＝－2sinα，即sinα＝±eq\f(\r(2),2).所以α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z，此時兩直線的斜率相等，且兩直線不重合．綜上，α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z時，l1∥l2.解法二：由A1B2－A2B1＝0，得1－2sin2α＝0，所以sinα＝±eq\f(\r(2),2).又B1C2－B2C所以sinα－1≠0，即sinα≠1.所以α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z.故當(dāng)α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z時，l1∥l2.兩直線位置關(guān)系的判定方法(1)已知兩直線的斜率存在①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等；②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1.(2)已知兩直線的斜率不存在若兩直線的斜率不存在，當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時，兩直線平行；否則兩直線重合．(3)已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的狀況，也要考慮到斜率不存在的狀況，同時還要留意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．[即時訓(xùn)練]1.“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要條件．2．(2024·寧夏模擬)若直線l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則實數(shù)m答案0或eq\f(1,6)解析因為直線l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則斜率相等或者斜率不存在，－eq\f(1,2m)＝eq\f(3m－1,m)或者m＝0，所以m＝eq\f(1,6)或0.考向二距離公式的應(yīng)用例2(1)(2024·四川綿陽模擬)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上隨意一點，則|PQ|的最小值為()A．eq\f(9,5) B．eq\f(18,5)C．eq\f(29,10) D．eq\f(29,5)答案C解析因為eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠－eq\f(12,5)，所以兩直線平行，由題意可知，|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).(2)已知點M(a，b)在直線3x＋4y＝15上，則eq\r(a2＋b2)的最小值為________．答案3解析∵M(jìn)(a，b)在直線3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15，而eq\r(a2＋b2)的幾何意義是a，b坐標(biāo)平面內(nèi)原點到直線3a＋4b＝15上隨意一點的距離，所以(eq\r(a2＋b2))min＝eq\f(15,\r(32＋42))＝3.1．點到直線的距離可干脆利用點到直線的距離公式去求，留意直線方程應(yīng)為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上隨意一點到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式求解，利用公式前需把兩平行線方程化為一般式，且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等，即肯定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．[即時訓(xùn)練]3.點P在直線3x＋y－5＝0上，且點P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則點P的坐標(biāo)為()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)答案C解析設(shè)P(x,5－3x)，則d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化簡得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故點P的坐標(biāo)為(1,2)或(2，－1)．4．已知直線經(jīng)過點(1,2)，并且與點(2,3)和(0，－5)的距離相等，則此直線的方程為____________．答案4x－y－2＝0或x＝1解析若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由題設(shè)有eq\f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.此時直線方程為4x－y－2＝0.若所求直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，滿意題設(shè)條件．故所求直線的方程為4x－y－2＝0或x＝1.精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破考向三對稱問題角度1點關(guān)于點的對稱例3過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，求直線l的方程．解設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.角度2點關(guān)于直線的對稱例4若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________.答案eq\f(34,5)解析由題可知紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).角度3直線關(guān)于直線的對稱例5光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在的直線方程．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∴反射點M的坐標(biāo)為(－1,2)．又取直線x－2y＋5＝0上一點P(－5,0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中點Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，Q點在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)x0－5－y0＋7＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))依據(jù)直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0.解決對稱問題的方法(1)點關(guān)于點的對稱問題．利用中點坐標(biāo)公式易得，如(a，b)關(guān)于(m，n)的對稱點為(2m－a,2n－b(2)點關(guān)于線的對稱點，點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線的斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)(僅指斜率存在的狀況，如斜率不存在時較簡潔)；(3)線關(guān)于線的對稱線．一般要在線上取點，可在所求直線上任取一點，也可在已知直線上取特殊點對稱；(4)特殊地，當(dāng)對稱軸的斜率為±1時，可類比關(guān)于y＝x的對稱問題采納代入法，如(1,3)關(guān)于y＝x＋1的對稱點為(3－1,1＋1)，即(2,2)．[即時訓(xùn)練]5.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程．解(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設(shè)對稱點M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′經(jīng)過點N(4,3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.解法二：∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點到直線的距離公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.解法三：設(shè)P(x，y)為l′上隨意一點，則P(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)．∵點P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2,0)，B(－2，－4)，若直線l上存在點P使得|PA|＋|PB|最小，則點P的坐標(biāo)為()A．(－2，－3) B．(－2,3)C．(2,3) D．(－2,2)答案B解析依據(jù)題意畫出大致圖象，如圖．設(shè)點A關(guān)于直線x－2y＋8＝0的對稱點為A1(m，n)．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)·\f(1,2)＝－1，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8.))故A1(－2,8)．此時直線A1B的方程為x＝－2.所以當(dāng)點P是直線A1B與直線x－2y＋8＝0的交點時，|PA|＋|PB|最小，將x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故點P的坐標(biāo)為(－2,3)．2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P為邊AB上異于A，B的一點，光線從點P動身，經(jīng)BC，CA反射后又回到點P.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于()A．2 B．1C．eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)答案D解析以A為原點，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．設(shè)△ABC的重心為D，則D點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).設(shè)P點坐標(biāo)為(m,0)，則P點關(guān)于y軸的對稱點P1為(－m，0)，因為直線BC的方程為x＋y－4＝0，所以P點關(guān)于BC的對稱點P2為(4,4－m)，依據(jù)光線反射原理，P1，P2均在QR所在的直線上，所以kP1D＝kP2D，即eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋m)＝eq\f(\f(4,3)－4＋m,\f(4,3)－4)，解得m＝eq\f(4,3)或m＝0.當(dāng)m＝0時，P點與A點重合，故舍去．所以AP＝m＝eq\f(4,3).答題啟示1．光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點，這樣就有兩種對稱關(guān)系，一是入射光線與反射光線關(guān)于過反射點且與反射軸垂直的直線(法線)對稱，二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對稱．2．充分利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想，借助直線與直角三角形的相關(guān)學(xué)問，將動點轉(zhuǎn)化到定點上去，將最值轉(zhuǎn)化為定值問題．對點訓(xùn)練1．(2024·淮安調(diào)研)已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________________．答案6x－y－6＝0解析設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以eq\b\lc\{\rc\