2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第8章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖課時作業(yè)含解析北師大版

PAGE1-空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖課時作業(yè)1．給出下列命題：①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱肯定是正棱柱；②對角面是全等矩形的六面體肯定是長方體；③長方體肯定是正四棱柱．其中正確的命題個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案A解析①底面是菱形的直平行六面體，滿意條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿意條件但不是長方體；③明顯錯誤．2．(2024·河北唐山五校聯(lián)考)如圖是一個空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()答案A解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A.3．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形答案D解析由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后如圖AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D.4．(2024·寧德質(zhì)檢)如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖是()答案C解析該幾何體的側(cè)視圖是從左邊向右邊看．故選C.5．如圖所示，從三棱臺A′B′C′－ABC中截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．三棱臺答案B解析剩余部分是四棱錐A′－BB′C′C，選B.6．(2024·湖南長沙模擬)如圖是一個正方體，A，B，C為三個頂點，D是棱的中點，則三棱錐A－BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)()答案A解析正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見，為虛線，故選A.7．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖肯定不行能是()答案D解析幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，則該幾何體從正面看和從側(cè)面看的長度相等，只有等邊三角形不行能．故選D.8．(2024·臨沂模擬)如圖甲，將一個正三棱柱ABC－DEF截去一個三棱錐A－BCD，得到幾何體BCDEF，如圖乙，則該幾何體的正(主)視圖是()答案C解析由于三棱柱為正三棱柱，故側(cè)面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等邊三角形，所以CD在面ABED上的投影為AB的中點與D的連線，CD的投影與底面DEF不垂直．故選C.9．(2024·河北石家莊質(zhì)檢)一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()答案D解析由圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD.故選D.10．(2024·湖北武漢模擬)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②答案D解析在空間直角坐標(biāo)系中構(gòu)建棱長為2的正方體，設(shè)A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，則空間幾何體ABCD即為滿意條件的四面體，得出其正視圖和俯視圖分別為④和②，故選D.11．(2024·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2答案B解析依據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬、圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，故選B.12．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．6答案B解析由多面體的三視圖還原直觀圖如圖所示．該幾何體由上方的三棱錐A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1構(gòu)成，其中側(cè)面CC1A1A和側(cè)面BB1A1A是梯形，則梯形的面積之和為2×eq\f((2＋4)×213．(2024·全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面，其棱長為________．答案26eq\r(2)－1解析先求面數(shù)，有如下兩種解法．解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個面，中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2×9＋8＝26個面．解法二：一般地，對于凸多面體頂點數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2.(歐拉公式)由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點數(shù)為24.故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x，則正八邊形的邊長即為棱長．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，∴eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1.∴x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.14．現(xiàn)有編號為①，②，③的三個三棱錐(底面水平放置)，其俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，則至少存在一個側(cè)面與此底面相互垂直的三棱錐的全部編號是________．答案①②解析編號為①的三棱錐，其直觀圖可能是圖①，側(cè)棱VC⊥底面ABC，則側(cè)面VAC⊥底面ABC，滿意題意；編號為②的三棱錐，其直觀圖可能是圖②，側(cè)面PBC⊥底面ABC，滿意題意；編號為③的三棱錐，頂點的投影不在底面邊上(如圖③)，不存在側(cè)面與底面垂直．故答案為①②.15．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正(主)視圖是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)(左)視圖是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解由正視圖和側(cè)視圖的三角形結(jié)合俯視圖可知該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐，如圖．(1)V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64.(2)四棱錐的兩個側(cè)面VAD，VBC是全等的等腰三角形，取BC的中點E，連接OE，VE，則△VOE為直角三角形，VE為△VBC的邊BC上的高，VE＝eq\r(VO2＋OE2)＝4eq\r(2).同理側(cè)面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高h(yuǎn)＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2)＝5.所以S側(cè)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×4\r(2)＋\f(1,2)×8×5))＝40＋24eq\r(2).16．若已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原△ABC的面積．解如圖所示是△ABC的直觀圖△A′B′C′.作C′D′∥y′軸交x′軸于點D′，則C′D′對應(yīng)△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2×eq\r(2)×C′O′＝2eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(6)a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.17．(2024·合肥模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為eq\r(3)、寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形．S＝2×(1