2024高考數(shù)學一輪復習統(tǒng)考第11章概率第3講幾何概型學案含解析北師大版

PAGE1-第3講幾何概型基礎(chǔ)學問整合1．幾何概型(1)幾何概型的定義假如每個事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的eq\o(□,\s\up1(01))長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．(2)幾何概型的兩個基本特點2．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up1(04))eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)．(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題．(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．1．(2024·大連模擬)在長為6m的木棒上任取一點P，使點P到木棒兩端點的距離都大于2m的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析將木棒三等分，當P位于中間一段(不包括兩個三等分點)時，點P到木棒兩端點的距離都大于2m，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．(2024·湖南長沙統(tǒng)一檢測)某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機，想聽電臺的整點報時，則他等待的時間不多于5分鐘的概率為()A.eq\f(1,20)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)答案B解析設(shè)距離電臺的整點報時還有x分鐘，由題意可得，0≤x≤60，等待的時間不多于5分鐘的概率為P＝eq\f(5,60)＝eq\f(1,12)，故選B.3．(2024·湖南株洲二模)如圖，在邊長為1的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形Ω，由電腦隨機從正方形中抽取10000個點，若落在圖形Ω內(nèi)和圖形Ω外的點分別為3335,6665，則圖形Ω面積的估計值為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C解析設(shè)圖形Ω的面積為S，則由幾何概型及題意，得eq\f(S,S正方形)＝eq\f(S,1×1)≈eq\f(3335,10000)，所以S≈eq\f(3335,10000)＝0.3335≈eq\f(1,3)，即圖形Ω面積的估計值為eq\f(1,3).故選C.4．(2024·衡水中學調(diào)研)已知正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取點M，點M在球A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)答案C解析設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))3＝eq\f(1,6)πa3，故點M在球O內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,6)πa3,a3)＝eq\f(π,6).5．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.答案3解析由題意，知m>0，當0<m<2時，－m≤x≤m，此時所求概率為eq\f(m－－m,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝eq\f(5,2)(舍去)；當2≤m<4時，所求概率為eq\f(m－－2,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝3；當m≥4時，概率為1，不符合題意，故m＝3.6．(2024·保定調(diào)研)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)隨機取兩個實數(shù)x，y，則滿意y≥x－1的概率是________．答案eq\f(7,8)解析點(x，y)分布在如圖所示的正方形區(qū)域內(nèi)，畫出x－y－1≤0表示的區(qū)域(圖中陰影部分)，可知所求的概率為1－eq\f(\f(1,2),4)＝eq\f(7,8).核心考向突破考向一與長度有關(guān)的幾何概型例1(1)(2024·上海模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，則直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個交點的概率為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)答案D解析圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，圓心到直線y＝k(x－2)的距離為eq\f(|2k|,\r(k2＋1)).要使直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個交點，需eq\f(|2k|,\r(k2＋1))<1，解得－eq\f(\r(3),3)<k<eq\f(\r(3),3)，所以在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，使直線y＝k(x－2)與圓x2＋y2＝1有兩個交點的概率P＝eq\f(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3))),1－－1)＝eq\f(\r(3),3).故選D.(2)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是________．答案eq\f(3,5)解析本題可以看成向區(qū)間[0,5]內(nèi)勻稱投點，設(shè)A＝{某乘客候車時間不超過3分鐘}，則P(A)＝eq\f(區(qū)間[2，5]的長度,區(qū)間[0，5]的長度)＝eq\f(3,5).求解與長度有關(guān)的幾何概型應(yīng)留意的問題(1)求解幾何概型問題，解題的突破口為弄清是長度之比、面積之比還是體積之比．(2)求與長度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后求解，應(yīng)特殊留意精確表示所確定的線段的長度．[即時訓練]1.(2024·河南濮陽模擬)在[－6,9]內(nèi)任取一個實數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率等于()A.eq\f(2,15)B.eq\f(7,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(11,15)答案D解析∵f(x)＝－x2＋mx＋m的圖象與x軸有公共點，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]內(nèi)取一個實數(shù)m，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率P＝eq\f([－4－－6]＋9－0,9－－6)＝eq\f(11,15).故選D.2．(2024·湖北武漢調(diào)研)在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)答案A解析設(shè)MP＝xcm,0<x<16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選A.精準設(shè)計考向，多角度探究突破考向二與面積有關(guān)的幾何概型角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))與平面圖形面積有關(guān)的問題例2(2024·安徽淮北、宿州其次次質(zhì)量檢測)古希臘雅典學派算學家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出已知線段的黃金分割點，詳細方法如下：取線段AB＝2，過點B作AB的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取BC＝eq\f(1,2)AB＝1，連接AC；以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點D；以A為圓心，AD為半徑畫弧，交AB于點E，則點E即為線段AB的黃金分割點．如圖所示，在Rt△ABC中，扇形區(qū)域ADE記為Ⅰ，扇形區(qū)域BCD記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為P1，P2，P3，(參考數(shù)據(jù)：eq\r(5)≈2.236)則()A．P1>P2 B．P1<P2C．P1＝P2＋P3 D．P2＝P1＋P3答案B解析由題意可知S△ABC＝eq\f(1,2)×2×1＝1，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝2>eq\r(3).故∠ACB>eq\f(π,3).所以S扇形BCD>eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×12＝eq\f(π,6)>eq\f(1,2).又因為S△ABC＝1，所以S扇形BCD>S扇形ADE，即P2>P1，且P2>P1＋P3.故B正確，A，C，D錯誤，故選B.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))與線性規(guī)劃交匯的問題例3(2024·西南名校聯(lián)盟適應(yīng)性月考)小明和小波約好在周日下午4：00～5：00之間在某處見面，并約定好若小明先到，最多等小波半小時；若小波先到，最多等小明15分鐘，則小明和小波兩人能見面的概率為()A.eq\f(13,32)B.eq\f(17,32)C.eq\f(19,32)D.eq\f(23,32)答案C解析設(shè)小明到達時間為x，小波到達時間為y，x，y∈(0,1)，則由題意可列出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤\f(1,2)，,x－y≤\f(1,4)，,0<x<1，,0<y<1，))畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，計算得陰影部分的面積與正方形面積的比值為eq\f(19,32)，故選C.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(3))與定積分交匯的問題例4(2024·甘肅武威階段考試)如圖所示的陰影區(qū)域由x軸、直線x＝1及曲線y＝ex－1圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在非陰影區(qū)域的概率是()A.eq\f(1,e) B.eq\f(1,e－1)C．1－eq\f(1,e) D．1－eq\f(1,e－1)答案B解析由題意，陰影部分的面積為eq\i\in(0,1,)(ex－1)dx＝(ex－x)eq\o\al(1,0)＝e－2，∵矩形區(qū)域OABC的面積為e－1，∴該點落在陰影區(qū)域的概率是eq\f(e－2,e－1)，故該點落在非陰影區(qū)域的概率為eq\f(1,e－1).求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對應(yīng)的面積，必要時可依據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．[即時訓練]3.(2024·河南鄭州三模)關(guān)于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法，如聞名的蒲豐試驗，受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計π的值，試驗步驟如下：①先請高一年級n名同學每人在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計上交的卡片數(shù)，記為m；④依據(jù)統(tǒng)計數(shù)n，m估計π的值．那么可以估計π的值約為()A.eq\f(m,n) B.eq\f(n－m,n)C.eq\f(4m,n) D.eq\f(4n－m,n)答案D解析由題意，n個實數(shù)對(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，))構(gòu)成區(qū)域的面積為1，能與1構(gòu)成銳角三角形的實數(shù)對(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x2＋y2>1，,x＋y>1，))構(gòu)成區(qū)域的面積為1－eq\f(π,4)，因為能與1構(gòu)成銳角三角形的實數(shù)對(x，y)的個數(shù)為m，所以eq\f(m,n)≈1－eq\f(π,4)，則π≈eq\f(4n－m,n).故選D.4．(2024·山東鄆城一中三模)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，是由七塊板組成的．而這七塊板可拼成很多圖形，例如：三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動物、建筑物等，清陸以湉《冷廬雜識》寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其改變之式多至千余．在18世紀，七巧板流傳到了國外，至今英國劍橋高校的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》．若用七巧板拼成一只雄雞，在雄雞平面圖形上隨機取一點，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,16)答案C解析設(shè)包含7塊板的正方形邊長為4，其面積為4×4＝16，雄雞的雞尾是標號為6的板塊，其面積為S＝2×1＝2，所以在雄雞平面圖形上隨機取一點，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為P＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).故選C.5．(2024·四川宜賓模擬)向如圖所示的邊長為2的正方形區(qū)域內(nèi)任投一點，則該點落入陰影部分的概率為________．答案eq\f(1,8)解析由題意可知陰影部分的面積為2eq\i\in(0,1,)x3dx＝2×eq\f(1,4)x4eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)，所以所求概率為P＝eq\f(\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,8).考向三與體積有關(guān)的幾何概型例5(1)(2024·廈門模擬)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點A.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)答案B解析正方體的體積為2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，則點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).故選B.(2)如圖，正四棱錐S－ABCD的頂點都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點，則這點取自正四棱錐內(nèi)的概率為________．答案eq\f(1,2π)解析設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝eq\f(V錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\r(2)R×\r(2)R×R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事務(wù)的體積(事務(wù)空間)，對于某些較困難的也可利用其對立事務(wù)去求．[即時訓練]6.已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，則在正三棱錐內(nèi)任取一點P，則點P滿意V三棱錐P－ABC<eq\f(1,2)V三棱錐S－ABC的概率是________．答案eq\f(7,8)解析設(shè)三棱錐P－ABC的高為h.由V三棱錐P－ABC<eq\f(1,2)V三棱錐S－ABC，得eq\f(1,3)S△ABC·h<eq\f(1,2)·eq\f(1,3)S△ABC·3，解得h<eq\f(3,2)，即點P在三棱錐的中截面以下的空間．∴點P滿意V三棱錐P－ABC<eq\f(1,2)V三棱錐S－ABC的概率是P＝1－eq\f(\f(1,3)·\f(1,4)S△ABC·\f(3,2),\f(1,3)S△ABC·3)＝eq\f(7,8).考向四與角度有關(guān)的幾何概型例6(1)如圖所示，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案D解析依題意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活動區(qū)域為與OA，OB構(gòu)成的角均為15°的扇形區(qū)域，可求得該扇形的圓心角為(90°－30°)＝60°.故所求概率P＝eq\f(OC活動區(qū)域的圓心角度數(shù),∠AOB的度數(shù))＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2,3).(2)(2024·鞍山摸底)過等腰Rt△ABC的直角頂點C在∠ACB內(nèi)部隨機作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點D，求AD<AC的概率．解在AB上取一點E，使AE＝AC，連接CE(如圖)，則當射線CD落在∠ACE內(nèi)部時，AD<AC.易知∠ACE＝67.5°，∴AD<AC的概率P＝eq\f(67.5°,90°)＝0.75.與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域角度,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的角度).(2)解決此類問題時留意事務(wù)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事務(wù)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計算．[即時訓練]7.如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率．解因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記事務(wù)N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事務(wù)N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f