2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第11章概率第1講隨機(jī)事件的概率學(xué)案含解析北師大版

PAGE10-第十一章概率第1講隨機(jī)事務(wù)的概率基礎(chǔ)學(xué)問整合1．概率(1)在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率會在某個(gè)常數(shù)旁邊搖擺，即隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率具有eq\o(□,\s\up1(01))穩(wěn)定性．我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事務(wù)A的eq\o(□,\s\up1(02))概率，記作eq\o(□,\s\up1(03))P(A)．(2)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而eq\o(□,\s\up1(04))概率是一個(gè)確定的值，因此，人們用eq\o(□,\s\up1(05))概率來反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用eq\o(□,\s\up1(06))頻率作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計(jì)值．(3)概率的幾個(gè)基本性質(zhì)①概率的取值范圍：eq\o(□,\s\up1(07))0≤P(A)≤1.②必定事務(wù)的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up1(08))1.③不行能事務(wù)的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up1(09))0.④概率的加法公式假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(10))P(A)＋P(B)．⑤對立事務(wù)的概率若事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，則A∪B為必定事務(wù)．P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(11))1，P(A)＝eq\o(□,\s\up1(12))1－P(B)．2．事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算名稱定義符號表示包含關(guān)系若事務(wù)Aeq\o(□,\s\up1(13))發(fā)生，則事務(wù)Beq\o(□,\s\up1(14))肯定發(fā)生，這時(shí)稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)eq\o(□,\s\up1(15))B?A(或eq\o(□,\s\up1(16))A?B)相等關(guān)系若B?A，且eq\o(□,\s\up1(17))A?B，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相等eq\o(□,\s\up1(18))A＝B并事務(wù)(和事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生eq\o(□,\s\up1(19))當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))eq\o(□,\s\up1(20))A∪B(或eq\o(□,\s\up1(21))A＋B)交事務(wù)(積事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(□,\s\up1(22))事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))eq\o(□,\s\up1(23))A∩B(或eq\o(□,\s\up1(24))AB)互斥事務(wù)若A∩B為eq\o(□,\s\up1(25))不行能事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對立事務(wù)若A∩B為eq\o(□,\s\up1(26))不行能事務(wù)，A∪B為eq\o(□,\s\up1(27))必定事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)A∩B＝?且A∪B＝Ω1．從集合的角度理解互斥事務(wù)和對立事務(wù)(1)幾個(gè)事務(wù)彼此互斥，是指由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事務(wù)A的對立事務(wù)eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．2．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事務(wù)包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1答案C解析設(shè)“從中隨意取出2粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中隨意取出2粒都是白子”為事務(wù)B，“從中隨意取出2粒恰好是同一色”為事務(wù)C，則C＝A∪B，且事務(wù)A與B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(17,35).2．(2024·寧夏固原檢測)抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事務(wù)A為“至少有2件次品”，則事務(wù)A的對立事務(wù)為()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品答案B解析∵“至少有n個(gè)”的反面是“至多有n－1個(gè)”，又事務(wù)A“至少有2件次品”，∴事務(wù)A的對立事務(wù)為“至多有1件次品”．3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參與演講競賽，事務(wù)“至少有一名女生”與事務(wù)“全是男生”()A．是互斥事務(wù)，不是對立事務(wù)B．是對立事務(wù)，不是互斥事務(wù)C．既是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)D．既不是互斥事務(wù)，也不是對立事務(wù)答案C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種狀況，這兩種狀況加上“全是男生”構(gòu)成全部基本領(lǐng)件，且不能同時(shí)發(fā)生，故事務(wù)“至少有一名女生”與事務(wù)“全是男生”互為對立事務(wù)，且是互斥事務(wù)，故選C.4．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)狀況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03，則抽檢一件是正品(甲級品)的概率為()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案C解析記抽檢的產(chǎn)品是甲級品為事務(wù)A，是乙級品為事務(wù)B，是丙級品為事務(wù)C，這三個(gè)事務(wù)彼此互斥，因此所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一個(gè)地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892則這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是________(保留四位小數(shù))．答案0.5173解析男嬰誕生的頻率依次約是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于這些頻率特別接近0.5173，因此這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是0.5173.6．在一次班級聚會上，某班到會的女同學(xué)比男同學(xué)多6人，從這些同學(xué)中隨機(jī)選擇一人表演節(jié)目．若選到女同學(xué)的概率為eq\f(2,3)，則這班參與聚會的同學(xué)的人數(shù)為________．答案18解析設(shè)該班到會的女同學(xué)有x人，則該班到會的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，解得x＝12，故該班參與聚會的同學(xué)有18人．核心考向突破考向一事務(wù)的概念例1從6件正品與3件次品中任取3件，視察正品件數(shù)與次品件數(shù)，推斷下列每對事務(wù)是不是互斥事務(wù)；假如是，再推斷它們是不是對立事務(wù)．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種狀況：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它們是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3種狀況，它與“全是次品”既不是互斥事務(wù)也不是對立事務(wù)．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2種狀況；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2種狀況，它們既是互斥事務(wù)也是對立事務(wù)．1．精確把握互斥事務(wù)與對立事務(wù)(1)互斥事務(wù)是不行能同時(shí)發(fā)生的事務(wù)，但可同時(shí)不發(fā)生．(2)對立事務(wù)是特殊的互斥事務(wù)，特殊在對立的兩個(gè)事務(wù)不行能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生．2．判別互斥、對立事務(wù)的方法判別互斥、對立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個(gè)事務(wù)，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事務(wù)為對立事務(wù)，對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．[即時(shí)訓(xùn)練]1.(2024·湖北十市聯(lián)考)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事務(wù)是()A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”答案D解析A中的兩個(gè)事務(wù)是包含關(guān)系，不是互斥事務(wù)；B中的兩個(gè)事務(wù)是對立事務(wù)；C中的兩個(gè)事務(wù)都包含“一個(gè)黑球一個(gè)紅球”的事務(wù)，不是互斥關(guān)系；D中的兩個(gè)事務(wù)是互斥而不對立的關(guān)系．考向二隨機(jī)事務(wù)的概率與頻率例2(2024·北京高考)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的運(yùn)用狀況，從全校全部的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人，樣本中僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生的支付金額分布狀況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅運(yùn)用A27人3人僅運(yùn)用B24人1人(1)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的人數(shù)；(2)從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變更．現(xiàn)從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)覺他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變更？說明理由．解(1)由題知，樣本中僅運(yùn)用A的學(xué)生有27＋3＝30(人)，僅運(yùn)用B的學(xué)生有24＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都運(yùn)用的學(xué)生有100－30－25－5＝40(人)．所以估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的人數(shù)為eq\f(40,100)×1000＝400.(2)記事務(wù)C為“從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于2000元”，則P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.所以從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率為0.04.(3)記事務(wù)E為“從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，該學(xué)生本月的支付金額大于2000元”．假設(shè)樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變更，則由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以認(rèn)為有變更．理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事務(wù)一般不簡潔發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變更．所以可以認(rèn)為有變更．答案示例2：無法確定有沒有變更．理由如下：事務(wù)E是隨機(jī)事務(wù)，P(E)比較小，一般不簡潔發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的．所以無法確定有沒有變更．1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來描述隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義可求事務(wù)的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．[即時(shí)訓(xùn)練]2.(2024·北京高考)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬變更投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變更．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變更，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)解(1)由題意，知樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25＝50，故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)設(shè)“隨機(jī)選取1部電影，這部電影沒有獲得好評”為事務(wù)B.沒有獲得好評的電影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．由古典概型的概率公式，得P(B)＝eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評率，削減其次類電影的好評率．精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向三互斥、對立事務(wù)的概率角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))互斥事務(wù)的概率例3(2024·唐山模擬)某保險(xiǎn)公司利用簡潔隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．解(1)設(shè)A表示事務(wù)“賠付金額為3000元”，B表示事務(wù)“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率，得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事務(wù)“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”．由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率，得P(C)＝0.24.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))對立事務(wù)的概率例4(2024·揚(yáng)州摸底)某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)．解(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡潔隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事務(wù)“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事務(wù)“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).求困難的互斥事務(wù)的概率的一般方法(1)干脆法：將所求事務(wù)的概率分解為一些彼此互斥的事務(wù)的概率的和，運(yùn)用互斥事務(wù)的概率求和公式計(jì)算．(2)間接法：先求此事務(wù)的對立事務(wù)的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運(yùn)用逆向思維，特殊是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡便．[即時(shí)訓(xùn)練]3.某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得，1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事務(wù)分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事務(wù)為M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事務(wù)N，則事務(wù)N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對立事務(wù)，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).(2024·河南洛陽聯(lián)考)某售報(bào)亭每天以每份0.6元的價(jià)格從報(bào)社購進(jìn)若干份報(bào)紙，然后以每份1元的價(jià)格出售，假如當(dāng)天賣不完，剩下的報(bào)紙以每份0.1元的價(jià)格賣給廢品收購站．(1)若售報(bào)亭一天購進(jìn)280份報(bào)紙，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量x(單位：份)的函數(shù)關(guān)系式；(2)售報(bào)亭記錄了100天報(bào)紙的日需求量，整理得下表：日需求量x/份240250260270280290300頻數(shù)10201616151310①假設(shè)售報(bào)亭在這100天內(nèi)每天都購進(jìn)了280份報(bào)紙，求這100天的日平均利潤；②若某天售報(bào)亭購進(jìn)了280份報(bào)紙，以這100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當(dāng)天的利潤不超過100元的概率．解(1)當(dāng)x≥280且x∈N*時(shí)，y＝280×(1－0.6)＝112；當(dāng)x<280且x∈N*時(shí)，y＝(1－0.6)x－0.5×(280－x)＝0.9x－140.綜上，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(112，x≥280且x∈N*，,0.9x－140，x<280且x∈N*.))(2)①由(1)得這100天中，日利潤為76元的有10天，日利潤為85元