2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練26平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用含解析文新人教版

PAGE專練26平面對(duì)量的數(shù)量積及其應(yīng)用命題范圍：平面對(duì)量的數(shù)量積及其幾何意義、平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，CA＝5，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．15B．9C．－15D．－92．已知向量a＝(2,3)，b＝(x,1)，且a⊥b，則實(shí)數(shù)x的值為()A.eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)3．[2024·全國(guó)卷Ⅱ]已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，則|a－b|＝()A.eq\r(2)B．2C．5eq\r(2)D．504．[2024·全國(guó)卷Ⅱ]已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是()A．a(chǎn)＋2bB．2a＋C．a(chǎn)－2bD．2a－5．已知向量a，b滿意|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1B．2C．3D．56．[2024·山東濟(jì)南高三測(cè)試]已知非零向量m，n滿意4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為()A．4B．－4C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)7．[2024·湖南五校聯(lián)考]已知x>0，y>0，a＝(x,1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為()A．4B．9D．8D．108．[2024·全國(guó)卷Ⅰ]已知非零向量a，b滿意|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)9．[2024·唐山摸底]已知e1，e2是兩個(gè)單位向量，λ∈R時(shí)，|e1＋λe2|的最小值為eq\f(\r(3),2)，則|e1＋e2|＝()A．1B.eq\r(3)C．1或eq\r(3)D．2二、填空題10．[2024·湖北武漢調(diào)研]已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a與b的夾角為45°，若tb－a與a垂直，則實(shí)數(shù)t＝________.11．[2024·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，則m12．[2024·全國(guó)卷Ⅲ]已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，則cos〈a，b〉＝________.[實(shí)力提升]13．[2024·衡水一中高三測(cè)試]△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是()A．|b|＝1B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)·b＝1D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))14．[2024·華中師大附中高三測(cè)試]若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿意(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC肯定是()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形15．[2024·武漢一中高三測(cè)試]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，且eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝－4，則λ的值為_(kāi)_______．16．[2024·江西師大附中高三測(cè)試]已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________.專練26平面對(duì)量的數(shù)量積及其應(yīng)用1．B∵在△ABC中，AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴AB⊥BC∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|·|eq\o(CA,\s\up6(→))|·cosA＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝9.2．B∵a⊥b，∴2x＋3＝0，∴x＝－eq\f(3,2).3．A本題主要考查平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計(jì)算；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－1,1)，∴|a－b|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2)，故選A.4．D要推斷A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中的向量哪個(gè)與b垂直，只需推斷這四個(gè)向量哪個(gè)與b的數(shù)量積為零即可．A．(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝|a||b|cos60°＋2|b|2＝1×1×cos60°＋2×12＝eq\f(5,2)≠0.B．(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos60°＋|b|2＝2×1×1×cos60°＋1C．(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cos60°－2|b|2＝1×1×cos60°－2×12＝－eq\f(3,2)≠0.D．(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝2×1×1×cos60°－15．A∵|a＋b|＝eq\r(10)，∴a2＋b2＋2a·b＝10①，又|a－b|＝eq\r(6)，∴a2＋b2－2a·b＝6②，①－②得4a·b＝4，∴a·b6．B∵n⊥(tm＋n)，∴tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m·n〉＋n2＝0，∴eq\f(3,4)×eq\f(1,3)t＋1＝0，得t＝－4.7．B依題意，得a·b＝x＋y－1＝0?x＋y＝1.eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(4x＋y,y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)時(shí)取等號(hào)．故選B.8．B本題考查向量的運(yùn)算及向量的夾角；考查了運(yùn)算求解實(shí)力和數(shù)形結(jié)合的思想；考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算．解法一：因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因?yàn)閨a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3)，故選B.解法二：如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，因?yàn)?a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，即〈a，b〉＝eq\f(π,3).故選B.9．C設(shè)e1與e2的夾角為θ，(e1＋λe2)2＝eeq\o\al(2,1)＋λ2eeq\o\al(2,2)＋2λe1e2＝λ2＋2λcosθ＋1，又λ∈R，∴當(dāng)λ＝－cosθ時(shí)(e1－λe2)2取得最小值eq\f(3,4)，∴cos2θ－2cos2θ＋1＝1－cos2θ＝eq\f(3,4)，∴cos2θ＝eq\f(1,4)，cosθ＝±eq\f(1,2)，∴|e1＋e2|＝eq\r(e\o\al(2,1)＋e\o\al(2,2)＋2e1·e2)＝eq\r(2＋2cosθ)，當(dāng)cosθ＝eq\f(1,2)時(shí)，|e1＋e2|＝eq\r(3)，當(dāng)cosθ＝－eq\f(1,2)時(shí)，|e1＋e2|＝1.10．2解析：由已知可得a·b＝1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.因?yàn)閠b－a與a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.11．5解析：由a⊥b得a·b＝0，即m＋1－(2m－4)＝0，解得m12．－eq\f(\r(2),10)解析：本題考查平面對(duì)量夾角的計(jì)算，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力，體現(xiàn)運(yùn)算法則與運(yùn)算方法的素養(yǎng)要素．由題意知cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2×－8＋2×6,\r(22＋22)×\r(－82＋62))＝－eq\f(\r(2),10).13．D∵b＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴|b|＝2，故A不正確；又eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×2×cos60°＝2，即：－2a·b＝2，a·b＝－1，故B，C都不正確；∵(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，∴(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，故D正確．14．B因?yàn)?eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，即△ABC是等腰三角形；故選B.15.eq\f(3,11)解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))·(λeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,3)－\f(2,3)))eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(λ－2,3)×3×2×eq\f(1,2)－eq\f(1,3)×9＋eq\f(2,3)λ×4＝eq\f(11,3)λ－5＝－4，∴λ＝eq\f(3,11).16.eq\f(2\r(2),3)解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9ee