高三數(shù)學(xué)9-3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：①平面的概念與基本性質(zhì)②空間直線、平面之間的各種位置關(guān)系難點(diǎn)：①應(yīng)用平面基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面等②應(yīng)用公理4及等角定理解決有關(guān)問(wèn)題③異面直線的判定、異面直線所成的角知識(shí)歸納1．平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的公共直線即交線．2．空間兩條直線(1)空間兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行、異面．(2)平行直線①公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．②等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(3)異面直線①定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．②兩條異面直線所成的角：對(duì)于兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角．若兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線互相垂直．異面直線所成的角的范圍是(0，]．3．直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)直線和平面相交或平行統(tǒng)稱直線在平面外．4．平面與平面位置關(guān)系(1)平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)相交——有一條公共直線．誤區(qū)警示1．等角定理是求空間中兩條直線所成角的基礎(chǔ)，運(yùn)用定理時(shí)，應(yīng)注意“這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，只有在“方向相同”時(shí)才相等．2．同一平面內(nèi)兩條直線不平行則必相交，但在空間中則不然，平面幾何中的一些結(jié)論在空間中未必成立．一、共線與共面問(wèn)題證明共線時(shí)，所共的直線一般定位為兩個(gè)平面的交線；證明共面問(wèn)題時(shí)，一般先由已知條件確定一個(gè)平面(有平行直線的先用平行直線確定平面)，再證共它元素在該平面內(nèi)．二、平移轉(zhuǎn)化法求異面直線所成角的關(guān)鍵——平移直線異面直線所成角的大小，是用過(guò)空間任意一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角(或直角)來(lái)定義的．因此，平移直線是求異面直線所成角的關(guān)鍵．這里給出幾種平移直線的途徑．(1)在已知平面內(nèi)平移直線構(gòu)造可解的三角形，或根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造輔助平面，在輔助平面內(nèi)平移直線構(gòu)造可解的三角形，是求異面直線所成角的途徑之一；這種方法常常是取兩條異面直線中的一條和另一條上一點(diǎn)確定一個(gè)平面，在這個(gè)平面內(nèi)過(guò)這個(gè)點(diǎn)作這條直線的平行線，或在兩條異面直線上各選一點(diǎn)連線，構(gòu)造兩個(gè)輔助面過(guò)渡．[例1]如下圖所示，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點(diǎn)，求異面直線AM和CN所成角的余弦值．(2)利用平行平面平移直線構(gòu)成可解的三角形，是求異面直線所成角的途徑之二；這種方法常見于兩條異面直線分別在兩個(gè)互相平行的平面內(nèi)，可利用面面平行的性質(zhì)，將一條直線平移到另一條所在的平面內(nèi)．[例2]

如右圖所示，正方體AC1中，B1E1＝D1F1＝，求BE1與DF1所成角的余弦值．(3)整體平移幾何體，構(gòu)造可解的三角形，是求異面直線所成角的途徑之三．這種方法常常是將原有幾何體上再拼接上同樣的一個(gè)幾何體(相當(dāng)于將原幾何體作了一個(gè)平移)創(chuàng)造平移直線的條件．[例3]

如下圖長(zhǎng)方體AC1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.求BD1與C1N所成角的余弦值．解析：如圖所示，將長(zhǎng)方體AC1平移到BCFE－B1C1F1E1的位置，則C1E∥BD1，C1E與C1N所成的銳角(或直角)就是BD1與C1N所成的角．[例1]如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG

GD＝3∶1，過(guò)E、F、G的平面交AD于H，連結(jié)EH.(1)求AH

HD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn)．∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．設(shè)EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn)．如圖，在四面體ABCD中作截圖PQR，PQ、CB的延長(zhǎng)線交于M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于K.求證M、N、K三點(diǎn)共線．點(diǎn)評(píng)：證明共線問(wèn)題：(1)可由兩點(diǎn)連一條直線，再驗(yàn)證其它各點(diǎn)均在這條直線上；(2)可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上.[例2]如下圖所示正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問(wèn)：(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由．(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．解析：(1)不是異面直線．理由：∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)．∴MN∥A1C1.又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴A1ACC1為平行四邊形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)是異面直線．證明如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)，則B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC?平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，這與ABCD－A1B1C1D1是正方體相矛盾．∴假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線．點(diǎn)評(píng)：(1)見中點(diǎn)，應(yīng)充分構(gòu)造利用中位線性質(zhì)轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系．(2)判定兩條直線異面可用：經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，或用反證法．(3)異面直線的判定高考一般不會(huì)出大題，但在選擇題中可能會(huì)涉及．已知m、n為異面直線，m?平面α，n?平面β，α∩β＝l，則l (

)A．與m、n都相交B．與m、n中至少一條相交C．與m、n都不相交D．與m、n中的一條直線相交解析：若m、n都不與l相交，∵m?α，n?β，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，這與m、n為異面直線矛盾，故l與m、n中至少一條相交．答案：B[例3]

(08·江西)設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直解析：如圖，m是α的斜線，PA⊥α，l?α，l⊥AB，則l⊥m，α內(nèi)所有與l平行的直線都垂直于m，故A錯(cuò)；即可知過(guò)m有且僅有一個(gè)平面PAB與α垂直，假設(shè)有兩個(gè)平面都與α垂直，則這兩個(gè)平面的交線m應(yīng)與α垂直，與條件矛盾，∴B正確；又l′?α，l′∥l，∴l(xiāng)′∥α，∵l⊥m，∴l(xiāng)′⊥m，∴C錯(cuò)；又在平面α內(nèi)取不在直線AB上的一點(diǎn)D，過(guò)D可作平面與平面PAB平行，∴m∥β，∵平面PAB⊥α，∴平面β⊥α.答案：B(文)若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則(

)A．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面解析：若存在過(guò)P的直線a，a∥l，a∥m，則l∥m矛盾，∴A錯(cuò)；若點(diǎn)P與m確定的平面α∥l，則過(guò)P與l、m都相交的直線不存在，故C錯(cuò)；若過(guò)P點(diǎn)的平面α∥l，α∥m時(shí)，在α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條過(guò)P點(diǎn)的直線與l、m都異面，故D錯(cuò)．設(shè)a是與l、m都垂直相交的直線，P不在a上時(shí)，則過(guò)P點(diǎn)與a平行的直線有且僅有一條，P在a上時(shí)，僅有一條．答案：B(理)(09·江蘇)設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：(1)若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β；(2)若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；(3)設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直；(4)直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．上面命題中，真命題的序號(hào)________(寫出所有真命題的序號(hào))．解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正確．由線面平行的判定定理可知，(2)正確．對(duì)(3)來(lái)說(shuō)，l只垂直于α和β的交線l，得不到l是β的垂線，故也得不出α⊥β.對(duì)(4)來(lái)說(shuō)，l只有和α內(nèi)的兩條相交直線垂直，才能得到l⊥α.也就是說(shuō)當(dāng)l垂直于α內(nèi)的兩條平行直線時(shí)，l不一定垂直于α.答案：(1)(2)[例4]已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為 (

)分析：三棱柱中AA1∥CC1，故∠A1AB即所求．由A1在底面射影為BC中點(diǎn)知，△A1AD，△A1BD都是直角三角形，結(jié)合各棱長(zhǎng)都相等，可解△A1AB.答案：D(2009·四川)如圖所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．解析：取BC的中點(diǎn)N，連接AN，則AN⊥平面BCC1B1，∵BM?平面BCC1B1，∴AN⊥BM，又在正方體BCC1B1中，M，N分別為CC1與BC的中點(diǎn)，∴B1N⊥BM，又B1N∩AN＝N，∴BM⊥平面AB1N，∴BM⊥AB1，∴AB1與BM所成的角是90°.答案：90°1．(文)(2010·浙江理，6)設(shè)m，l是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是 (

)A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m[答案]

B[解析]

兩平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面，故選B.一、選擇題(理)設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，給出下列結(jié)論：①a∥b，b?α?a∥α；②α∥β，a∥β，a?α?a∥α；③α∩β＝a，b∥α，b∥β?b∥a；④a∥α，b?α?a∥b.其中正確的有 (

)A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)[答案]

B[解析]

①可能有a?α；④可能有a與b異面，故只有②③正確．2．將正方體紙盒展開如圖所示，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是(

)A．平行B．垂直C．相交成60°角D．異面且成60°角[答案]

D3．(08·浙江)對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得(

)A．a(chǎn)?α，b?α B．a(chǎn)?α，b∥αC．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)?α，b⊥α[答案]

B[解析]

a、b異面時(shí)，A錯(cuò)，C錯(cuò)；若D正確，則必有a⊥b，故排除A、C、D，選B.4．(文)(08·陜西)如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距離分別是a和b.AB與α，β所成的角分別是θ和φ，AB在α，β內(nèi)的射影分別是m和n.若a>b，則(

)A．θ>φ，m>nB．θ>φ，m<nC．θ<φ，