高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)規(guī)范答題增分專項(xiàng)4高考中的立體幾何含解析

規(guī)范答題增分專項(xiàng)四高考中的立體幾何

1.如圖，在平行四邊形力成W中，AB=AC=^,/和生90°.以脛為折痕將八爪/折起，使點(diǎn)V到達(dá)點(diǎn)〃的

位置,且ABA.DA.

⑴證明：平面力切_L平面ABC;

⑵0為線段力。上一點(diǎn),〃為線段比上一點(diǎn),且BP=DQ郢A,求三棱錐0T分的體積.

2.（2020全國(guó)/,理18）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心為底面直徑，力￡=力〃△力竟是

底面的內(nèi)接正三角形,P為加上一點(diǎn),P理D。.

B

⑴證明：用平面PBC;

⑵求二面角8-匹。-E的余弦值.

3.如圖，己知多面體ABC-ABG,AM&&均垂直于平面ABC,Z

ABC=\2^,449，GC=1,AB=BC=B\B=2.

⑴證明:陽_L平面44G;

⑵求直線AG與平面AB&所成角的正弦值.

4.（2020山東,20）如圖，四棱錐PT頗的底面為正方形,即_L底面ABCD.設(shè)平面以〃與平面PBC的

交線為1.

⑴證明：AL平面故7;

⑵己知PD=AD=\tQ為1上的點(diǎn),求心與平面仇N所成角的正弦值的最大值.

5.圖①是由矩形ADEB,Rt△力比和菱形MGC組成的一個(gè)平面圖形,其中45=1,BE=BF=2,/FBC』。。.

將其沿AB,比折起使得BE與BF重合,連接DGt如圖②.

⑴證明：圖②中的A,C,G。四點(diǎn)共面,且平面4r_L平面BCGE-,

⑵求圖②中的二面角B-CG-A的大小.

6.（2020全國(guó)〃,理20）如圖，已知三棱柱ABC-A\BC的底面是正三角形，側(cè)面陽GC是矩形，機(jī)N分別

為BC,BC的中點(diǎn)，尸為4必上一點(diǎn),過BC和尸的平面交48于E,交力C于F.

⑴證明：力4〃楣且平面44蜘J_平面EB\C\F;

⑵設(shè)0為4ABe的中心,若40〃平面EBCR且A0=AB,求直線合￡與平面44那所成角的正弦值.

7.如圖，在四棱柱ABCD-ABCD中，側(cè)棱44_1_底面ABCD,ABA.AC,ABA,AC=AA2AD=CD/且點(diǎn)M

和N分別為夕。和4〃的中點(diǎn).

⑴求證:楸〃平面力靦；

(2)求二面角〃-力￡的正弦值;

⑶設(shè)￡為棱4笈上的點(diǎn),若直線施和平面力及力所成角的正弦值為;,求線段4E的長(zhǎng).

8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD//BC,/ADC=NPAB40°,BC=C*AD,￡為棱"的中點(diǎn),異面直線PA

與切所成的角為90°.

⑴在平面川8內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線C胴〃平面PBE,并說明理由;

⑵若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面敏所成角的正弦值.

規(guī)范答題增分專項(xiàng)四高考中的立體幾何

1.⑴證明由已知可得/物090°,用LL/1C

又BAUD,所以力凡L平面ACD.

又Alic.平面ABC,所以平面力5_1_平面ABC.

⑵解由已知可得DC=CM=ABA,%=3優(yōu).

又BP=l）Q鄭A,所以BP=2y[2.

如圖，作QEVAC,垂足為￡則QE由己知及（1）可得如J_平面ABC,所以在1平面ABC,QE=\.因

此三棱錐0T陽的體積為%尾?！?8皿弓xlx；X3X2V2-sin45°=1.

2.⑴證明設(shè)DO=a,由題設(shè)可得P04A04a,AB=a,PA=PB二PC當(dāng)a,因此港+PR=AR,從而PALPB.

又PZ+PC=AC、故PAA.PC,所以四_L平面PBC.

⑵解以0為坐標(biāo)原點(diǎn),一^勺方向?yàn)閥軸正方向，/―7為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系Oxyz.

由題設(shè)可得點(diǎn)￡、（o,i,o）"（o,T,o）,c（1,；,o）,一（o,0,苧）.所以-?=（1,$0）,—=（0,-

1避）

2,

設(shè)m=（x,y,z）是平面尸四的法向量,

-=0,

即《廠

T=0.

22

可取m《一龍）.

由⑴知—=（0,1,日）是平面”的一個(gè)法向量,記n-\則cos<h,=等.所以二面

角夕-尸。一6的余弦值為害.

V

3.解法一（1）證明：因?yàn)?4氏B,GC均垂直于平面ABC,

所以A\A〃B\B,B\B〃CC卜AHC\C.

由AB244工BR2AAUAB,BRL他

得AR=AiR之戲,

所以4"力\=A彳，故力3_1_/1出.

由BC2B氏2笫=1,BBiLBC,CQLBC得氏C\M.

由AB=BC=2,N49C=120°,得1C=2g.

由CG_L"；得";4n.

所以力什4]=A彳，故陽_L84.

因此月合_1?平面44G.

⑵如圖,過點(diǎn)G作G〃_L4尻交直線小總于點(diǎn)D,連接AD.

由（1）知陽J_平面ABQ,

所以平面48G_L平面ABR,且交線為AB.

所以G〃_L平面月陽.

所以NG4。是/1G與平面力仍所成的角.

由6￡壇,AB%f24。個(gè)歷1,得。。0/044理,從而sinNG44二.

V7V7

所以C\D$,故Sin/G/IZAj=粵

113

因此直線力G與平面力能所成的角的E弦值是察.

13

解法二

X

⑴證明：如圖，以力。的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線0B,%為才軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)

系Oxyz.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:4(0,75,0),6(1,0,0),4(0,75,4),笈(1,0,2),G(0,V3,1).

因此2),—T7=(1,6,-2),—T7=S,2V3,-3).

由if?i得由f,jfR,得45_L4G.

所以45_L平面A出C.

⑵設(shè)直線4G與平面/f防所成的角為0.

由(1)可知—T=(0,2V3,1),--(1,b,0),—f=(0,0,2).

設(shè)平面ABB\的法向量n=(x,y,z).

由［*ZZL=O1BPf="可取n=(75,1,0).

所以sin"=/cos<_f,n>/=粵.

-ZIZZil；lIiIS

因此,直線/IC與平面力防所成的角的正弦值是唱.

4.解(1)因?yàn)槿绲酌鍭BC"所以PDA.AD.

又底面4BCD為正方形,所以ADVDC.

所以力平面帆

因?yàn)锳D//BC,4〃不在平面PBC中,所以49〃平面PBC,又因?yàn)锳Dc.平面PAD,平面四〃n平面PBC=1,

所以1//AD.所以J_L平面PDC.

/B

⑵以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以一；'的方向?yàn)閤軸、y軸、Z軸的正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系Dxyz.

由PD=AD=\,得點(diǎn)以0,0,0),C(0,1,0),8(1,1,0),戶(0,0,1),則一一二(0,1,0),=(1,1,T).

由(D可設(shè)D,則=(a,u,1).

設(shè)n=(x,y,z)是平面Q力的法向量，

則{,—'=JBP{：=°'

(=0,1=0.

可取n=(T,0,a),所以cos<h,'>=-------=—『設(shè)外與平面QO所成角為生則

1+2

1II-11

爭(zhēng)號(hào)=&+-因?yàn)槲?飛，；￡當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)，等號(hào)成立,所以尚與平面

*5

仇》所成角的正弦值的最大值為手.

5.⑴證明由已知得力〃〃儆CG〃儆所以力?！–G,

故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,。四點(diǎn)共面.

由已知得ABLBEyABA.BC,故居_L平面BCGE.

又因?yàn)锳lic平面ABC,所以平面力儀」,平面BCGE.

⑵解作血18G垂足為〃

因?yàn)榉纀平面BCGE,平面比'必J_平面ABC,

所以叫〃_平面ABC.

由已知,菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,NEBC$Q：可求得B//=\,理心.

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn),―>的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系//xyz,

則點(diǎn)/(-I,1,0),C(l,0,0),。(2,0,V3),--(1,0,V3),---=(2,-1,0).

設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x,匕z),

則匚二，=?'即L+6八=°，所以可取n=(3,6,S).

又平面8Q若的法向量可取為m=(0,1,0),

所以cos<h,m>=--——=*

因此二面角a-GGT的大小為30°.

6.⑴證明因?yàn)?％A'分別為BC,趾\的中點(diǎn),所以刷V〃CG.

又由已知得44〃S,故44〃楸：

因?yàn)椤?84是正三角形,所以BxC^AN.

又BC1MN,故笈G_L平面AM1N.

所以平面HMMV_L平面EB\C\F.

(2)解由已知得AMLBC.以必為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，/麗/為單位長(zhǎng),建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系Mxyz,則AB24gZ5.

連接幟則四邊形和快為平行四邊形，故PM專點(diǎn)/竽0).

JJJ

由⑴知平面平面ABC.作NQiAM,垂足為Q,則聞J_平面ABC.設(shè)點(diǎn)Q(a,0,0),則

點(diǎn)1,JK(竽一a))

故g件，-月儀察力/二畔

又n=(0,T,0)是平面力MJ邠的一個(gè)法向量，

故sin(1-V,i>^=cos<h,?>=~--!—:

III1I

所以直線區(qū)￡與平面44郊所成角的正弦值為誓.

7.解如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意可得點(diǎn)4(0,0,0),8(0,1,0),。(2,0,0),。(1,一2,0),4(0,0,2),蛇(0,1,2點(diǎn)G(2,0,2),〃(1,一

2,2).

又因?yàn)镸4分別為6c和〃〃的中點(diǎn),得點(diǎn)-2,1).

⑴證明：依題意,可得n=(0,0,1)為平面力的一個(gè)法向量.--(0,-5,0).

由此可得^n^O,

又因?yàn)橹本€極火平面ABCD,所以JW〃平面ABCD.

(2)>(1,-2,2),--(2,0,0).

設(shè)為平面ACD\的法向量，

n1-(xi,yi,zi)

不妨設(shè)％=1,可得ni=(0,1,1).

設(shè)m=(x2,%,詼)為平面ACBi的法向量，

則，2?二7=0,又一；=(0,1,2),得12+,2=。，

不妨設(shè)Z2=l,可得m=(0,-2,1).

因此有I12>=一--I-=~,于是所以,二面角〃-力的正弦值為騫.

cos<hbsin<hi,m)=*

I11I211。1010

⑶依題意，可設(shè)丁二??；其中4￡[0,口，

則夙0,九2),從而―.二(-1,4+2,1).

又n-（0,0,1）為平面ABCD的一個(gè)法向量，由已知，得cos<一;n>=-----------==

I'llIJ（-l）2+（+2）2+12

整理得閨4-34,又因?yàn)槿恕闧0,1],解得447-2.

所以，線段的長(zhǎng)為近2

8.解（1）在梯形ABCD中"B與必不平行.

如圖,延長(zhǎng)AB,%相交于點(diǎn)玳代平面PAR,點(diǎn)必即為所求的一個(gè)點(diǎn).

理由如下：

由已知,BC〃ED,

且BC=ED.

所以四邊形陽陽是平行四邊形.

從而CM//EB.

又EBci平面PBE,C依平面PBE,

所以O(shè)"平面PBE.

（說明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)、N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)可以是直線郵上任意一點(diǎn)）

⑵（方法一）由已知，CDIPA、CDLAD,PA^AD=A>

所以6P_L平面PAD.從而CD1PD.

所以N加是二面角尸-口入4的平面角，所以/物幺5。.

設(shè)BCA則在Rt△處〃中，PA=AD=2.

過點(diǎn)A作AH1CE,交位的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃連接掰

易知QI_L平面ABCD,從而PAA-CE.

于是區(qū)L平面PAH.

所以平面產(chǎn)區(qū)L平