2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)模擬檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)模擬檢測試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知命題，；命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.43.某學(xué)校對100名學(xué)生的身高進行統(tǒng)計，得到各身高段的人數(shù)并整理如下表：身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]頻數(shù)10203025105根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.100名學(xué)生身高的中位數(shù)小于160cmB.100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例超過C.100名學(xué)生身高的極差介于20cm至30cm之間D.100名學(xué)生身高的平均值介于160cm至165cm之間4.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C.1 D.25.已知曲線：，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足，點滿足，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.6.設(shè)函數(shù)，，若當時，曲線與恰有一個交點，則a取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知正四棱臺的體積為，底面邊長，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為（）A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于函數(shù)和，下列說法錯誤的是（）A.與的定義域相同 B.與的值域相同C.與在其定義域內(nèi)都是偶函數(shù) D.與的最小正周期相同10.拋物線的準線為l，P為C上的動點，過P作圓M：的兩條切線，A，B為切點，過P作l的垂線，垂足為Q，則（）A.當時，l與圓M相切B.當時，最小值為C.當時，為定值D.存在點P，使得為等邊三角形11.設(shè)函數(shù)，則（）A當時，有三個零點B.當時，是的極大值點C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸D.存在a，使得點為曲線的對稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列an的前n項和為，數(shù)列滿足，且，，則的值為______．13.已知角為第二象限角，，角為第四象限角，，則值為______．14.在一個正六邊形的六個頂點上放置數(shù)字，要求每個頂點上放置一個數(shù)字，且任意相鄰兩個頂點上的數(shù)字之和不能為5或7.若已經(jīng)在三個相鄰頂點上放置了數(shù)字1、2、3，則共有______種不同的放置方法（數(shù)字可以重復(fù)使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六個頂點上的數(shù)字之和的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，且這些邊和角的關(guān)系滿足．（1）求角的大??；（2）若的面積為，且，求的周長．16.已知函數(shù)，函數(shù)圖像在點處的切線方程為，且當時，函數(shù)取得極值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．17.如圖，在長方體中，，點在棱上移動.（1）當點在棱的中點時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18.在一個摸球游戲中，有一個裝有許多彩色球的盒子.盒子中的球分為三種顏色：紅色、藍色和綠色.每次游戲，參與者需要從盒子中隨機取出兩個球.已知盒子中紅色球、藍色球和綠色球的數(shù)量分別為a個、b個和c個，且總球數(shù)為N個.（1）若第一次取出的球是紅色，第二次取出的球是藍色的概率為；第一次取出的球是藍色，第二次取出的球是紅色的概率為．求；（2）若規(guī)定每次取球后都將球放回盒子中，且連續(xù)取球三次.設(shè)三次中恰好有兩次取出球顏色相同的概率為，當時，求；（3）在（2）的條件下，若游戲組織者規(guī)定，當三次取球中出現(xiàn)紅色球的次數(shù)大于等于兩次時，參與者獲勝；否則，游戲組織者獲勝.已知參與者獲勝的概率為，游戲組織者獲勝的概率為，求，并判斷這個游戲是否公平．2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)模擬檢測試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知命題，；命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱命題和存在性命題的真假判定方法，命題為真命題，命題為假命題，結(jié)合命題否定的概念，即可求解.【詳解】對于任意，可得恒成立，所以命題為真命題，則為假命題；由，可得，所以不存在，使得，所以命題為假命題，則為真命題，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.4【正確答案】A【分析】計算出后結(jié)合模長定義即可得.【詳解】，則.故選：A.3.某學(xué)校對100名學(xué)生的身高進行統(tǒng)計，得到各身高段的人數(shù)并整理如下表：身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]頻數(shù)10203025105根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.100名學(xué)生身高的中位數(shù)小于160cmB.100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例超過C.100名學(xué)生身高的極差介于20cm至30cm之間D.100名學(xué)生身高的平均值介于160cm至165cm之間【正確答案】D【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義判斷A選項，求出100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生有的人數(shù)判斷B選項，根據(jù)極差的定義判斷C選項，根據(jù)平均值的定義判斷D選項.【詳解】100名學(xué)生身高的中位數(shù)是第和第名學(xué)生身高的平均值，第名和第名學(xué)生的身高均大于，所以100名學(xué)生身高的中位數(shù)大于160cm，故A錯誤；100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生有名，所以100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例為，故B錯誤；100名學(xué)生身高的極差最大為，最小為，但是“介于”不能準確表示臨界值能否取到，故C錯誤；100名學(xué)生身高的平均值為，故D正確.故選：D.4.已知向量，滿足，，且，則（）A B. C.1 D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)向量模的運算、向量垂直的表示等知識列方程，從而求得.【詳解】由兩邊平方得，，由于，所以，所以.故選：D5.已知曲線：，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足，點滿足，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，，由題意可得，代入曲線中即可得.【詳解】設(shè)，則有，設(shè)，則，由，則有，即，故有，即.故選：B.6.設(shè)函數(shù)，，若當時，曲線與恰有一個交點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合計算即可.【詳解】由題意可知y=fx在x∈?1,1上單調(diào)遞減，而y=gx要滿足題意需，即，解之得.故選：B7.已知正四棱臺的體積為，底面邊長，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】取的中點分別為，過點作，證得且，得出為正四棱臺的側(cè)面與底面所成角的平面角，根據(jù)棱臺的體積公式，求得棱臺的高為，在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，取正四棱臺的上下底面中心為，連接，則與正四棱臺的上下底面垂直，即為棱臺的高，設(shè)，取的中點分別為，連接，在直角梯形中，過點作交于點，在等腰中，由，可得，在等腰梯形中，由分別為的中點，可得，所以為正四棱臺的側(cè)面與底面所成角的平面角，因為且正四棱臺的體積為，可得，解得，即，在直角中，可得，所以，即側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為.故選：A.8.設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】將分解成兩個函數(shù)乘積，由函數(shù)圖像分類討論，得出對應(yīng)參數(shù)的關(guān)系及取值范圍，從的得出和的范圍.【詳解】令函數(shù)，（1）?x和與軸的交點都在原點左側(cè)，如圖：此時，當x∈0,+∞時，?x>0，∴，即∴，；（2）?x和與軸的交點不在原點同側(cè)，如圖：或有圖可知，均存在區(qū)間或使得函數(shù)，故舍去；（3）?x和與軸的交點都在原點右側(cè)，①當兩個零點不重合時，如圖：或顯然此時，存在或使得，故舍去；②當兩個零點重合且，時，如圖：此時，當x∈0,+∞時，故，∴∴綜上所述：，故選：B方法點睛：本題函數(shù)可以分解成兩個相乘的函數(shù)的形式，想要乘積大于等于0恒成立，說明在對應(yīng)區(qū)間上兩個函數(shù)值符號相同，從而找到參數(shù)的關(guān)系和范圍，便能得出結(jié)果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于函數(shù)和，下列說法錯誤的是（）A.與的定義域相同 B.與的值域相同C.與在其定義域內(nèi)都是偶函數(shù) D.與的最小正周期相同【正確答案】ABC【分析】分別計算出、的定義域、最小正周期即可得A、D；計算出的值域后，找出在的值域中的數(shù)，但不在的值域中的數(shù)即可得B；分別驗證與是否為偶函數(shù)即可得C.【詳解】，定義域為R，值域為0,1，，即最小正周期為，，故為偶函數(shù)；對，有，即，又即其定義域為，故A錯誤；由，故與的值域不同，故B錯誤；，故不為偶函數(shù)，故C錯誤；對D：，故為的周期，又定義域為，故的周期不小于，故最小正周期為，故D正確.故選：ABC.10.拋物線的準線為l，P為C上的動點，過P作圓M：的兩條切線，A，B為切點，過P作l的垂線，垂足為Q，則（）A.當時，l與圓M相切B.當時，的最小值為C.當時，為定值D.存在點P，使得為等邊三角形【正確答案】CD【分析】對于A，根據(jù)拋物線的準線方程以及圓的圓心坐標和半徑可以判斷是否相切；對于B，因為，所以可使得兩點在點的異側(cè)，根據(jù)兩點之間，線段最短原理可知，當三點共線時，有最小值；對于C，已知可解得和的夾角，從而解得為定值；對于D，當時，為等邊三角形，所以滿足存在性．【詳解】對于A，圓M：的半徑，圓心到準線的距離為，所以，當且僅當，時，l與圓M相切，故A不正確；對于B，如圖所示：當三點共線時，有最小值，最小值為，故B不正確；對于C，因為，，所以由余弦定理得,所以，所以＝，故C正確；對于D，當時，，所以，此時為等邊三角形，故D正確；故選：CD．11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當時，有三個零點B.當時，是的極大值點C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸D.存在a，使得點為曲線的對稱中心【正確答案】AD【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導(dǎo)數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD結(jié)論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列an的前n項和為，數(shù)列滿足，且，，則的值為______．【正確答案】【分析】設(shè)出公差，由題意結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算可得的值，即可得an的通項公式，再借助等差數(shù)列求和公式計算即可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an公差為，由題意可得，則，故，即有，即，故，即，則.故答案為.13.已知角為第二象限角，，角為第四象限角，，則的值為______．【正確答案】【分析】結(jié)合角、所在象限與同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，，再利用兩角和的正切公式計算即可得.【詳解】由角為第二象限角，則，由角為第四象限角，則，故，，則.故答案為.14.在一個正六邊形的六個頂點上放置數(shù)字，要求每個頂點上放置一個數(shù)字，且任意相鄰兩個頂點上的數(shù)字之和不能為5或7.若已經(jīng)在三個相鄰頂點上放置了數(shù)字1、2、3，則共有______種不同的放置方法（數(shù)字可以重復(fù)使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六個頂點上的數(shù)字之和的最小值是______．【正確答案】①.72②.6【分析】分析已知三點的數(shù)字分布，由題意分析出已知三點中兩端的相鄰點的可能得數(shù)字，這兩個點的數(shù)字可能相同也可能不同，所以分類討論出結(jié)果，再相加即得答案；第二個空即可從前面的答案中找到數(shù)字最小的情況再相加即可.【詳解】數(shù)字包含了：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個，∵相鄰兩個頂點數(shù)字之和不能為5或7，∴2和3不相鄰，即三個點分布為3、1、2或2、1、3，∵正六邊形是對軸稱圖形，故上述兩種情況相同，記一種結(jié)果，由題意可知：與2相鄰的另一個點的數(shù)字可能是：0、1、2、4、6、7、8、9，與3相鄰的另一個點的數(shù)字可能是：0、1、3、5、6、7、8、9，1)當這兩個點所選數(shù)字相同時，共有種取法，此時，與剩余點相鄰的數(shù)字相同，只需考慮2種不符合題意的數(shù)字，∴最后一個點共有種取法，∴共計種不同的放置方法；2)當這兩個點所選數(shù)字不同時，則有種取法，此時，與剩余點相鄰的數(shù)字不同，即2、3；2、5；4、3；4、5不存在差為2的情況，所以每種結(jié)果都需排除4個不符合題意的數(shù)字，∴最后一個點共有種取法，∴共計種不同的放置方法；綜上所述，共有種不同的放置方法.在所有符合上述要求的放置方法中，六個點上的數(shù)字分別為2、1、3、0、0、0時和最小，∴最小值為：6故①72；②6.思路點睛：本題的關(guān)鍵在于分析第四和第五個點相同與否會影響到第六個點的取值情況，所以在這里需要分類談?wù)?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，且這些邊和角的關(guān)系滿足．（1）求角的大??；（2）若的面積為，且，求的周長．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理，將已知條件進行轉(zhuǎn)化，即可求得；（2）利用三角形面積公式，以及余弦定理，求得，即可求得三角形周長.【小問1詳解】對，由正弦定理可得：，故，則，又，故，.【小問2詳解】由三角形面積公式，結(jié)合可得：，即，解得：；由余弦定理以及，可得，也即，故，解得；故的周長為.16.已知函數(shù)，函數(shù)圖像在點處的切線方程為，且當時，函數(shù)取得極值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其極值定義計算即可得解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得當時，f′x【小問1詳解】，則有，解得，即；【小問2詳解】由，，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當時，f′x≥0，令，解得或，故或，對，該不等式組無解，對，解得，綜上所述，.17.如圖，在長方體中，，點在棱上移動.（1）當點在棱的中點時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.【正確答案】（1）（2）當時，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為【分析】（1）以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）設(shè)，可求得平面的一個法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，當點在棱的中點時，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個