高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義空間向量的應(yīng)用學(xué)生

課題：空間向量的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)

1.空間直角坐標(biāo)系以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

(1)空間直角坐標(biāo)系：以空間一點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：X地，y軸，Z軸.這時(shí)建立了一

個(gè)空間直角坐標(biāo)系0町％其中點(diǎn)。叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸，y軸，z軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸.由每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸確定的平

面叫做坐標(biāo)平面.

(2)右手直角坐標(biāo)系的含義：當(dāng)右手拇指指向x軸的正方向，食指指出)，軸的正方向時(shí)，中指指向z軸的

正方向.

(3)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)用有序?qū)崝?shù)組G,y,z)來(lái)表示，記作y,z),其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),

y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).

2.空間兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)點(diǎn)力(xi，y\,zi),B(X2,加Z2),貝—(xi-X2)24-(yi-yi)2+(z\~Z2)2.

【注1】

1.在空間適當(dāng)選取三個(gè)不共面向量作為基向量，其它任意一向量都可用這一組基向量表示.

2.中點(diǎn)向量公式麗7=；(近+無(wú))，在解題時(shí)可以直接使用.

3.證明空間任意三點(diǎn)共線的方法：對(duì)空間三點(diǎn)P,4,8可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線.

(1)~PA=XPB,

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=OA^t'AB}

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=xOA+yOB(x^y=\).

4.證明空間四點(diǎn)共面的方法：對(duì)空間四點(diǎn)尸，M,A,8可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面

(1)MP=xMAIyMB；

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=OM+xMA+yMB；

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=\)i

(4)PM//AB(或蘇〃麗或麗〃萬(wàn)7).

【注2】

1.當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用；

2.當(dāng)異面直線所成的角為。時(shí),常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角。來(lái)進(jìn)行計(jì)算.應(yīng)該注意的是

a€(0,—]?0e[0,7c],所以cosa=|cos81=L"

2⑷?|b|

3.立體幾何中求線段的長(zhǎng)度可以通過(guò)解三角形，也可依據(jù)同=。2轉(zhuǎn)化為向量求解.

【注3】

1.求向量的數(shù)量積的方法：

(1)設(shè)向量0,。的夾角為仇則aS=|o||b|cos仇

(2)若。=(xi,y\tzi),b=(X2>及，Z2)?貝(Ja，b=RX2+w+ziZ2.

根據(jù)已知條件，準(zhǔn)確選擇上述兩種方法，可簡(jiǎn)化計(jì)算.

2.求向量模的方法：

(1)?|=\'?2；

(2)若Q=(x,yfz),則同=仙^+)+/.

3.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)八j、A為兩兩垂直的單位向量，如果方=x7+v7+zE,貝IJ(X,乂2)叫做向量的坐標(biāo).

(2)設(shè)。=(X|,Z|),b=(X2，及，Z2)?那么

①。劫=3士工2,必土力，4±Z2)?

?ab=x}x2+yyy2+2仔2,

?cosQ,心=-1…%產(chǎn)——

后+必2+Z：.&2+%2+Z22

?\a\=4a=&+y；+Z[2,

⑤=(2x”義必,％Z1),

⑥o〃bo玉=4々，乂=4?2，Z1=初2(2ER),

⑦。_Lb=X]X2+yxy2+z,z2=0.

(3)設(shè)點(diǎn)Mi(xi，y\,ZI)NMi(必/，Z2),貝U|必必1=>/(X2-玉產(chǎn)+(%-必產(chǎn)+g-zj)

【注4】

1.兩條異面直線所成的角

①定義：設(shè)。，6是兩條異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)0作直線a'Ha,b1//b,則/與所夾的銳角或直

角叫做。與6所成的角.

②范圍：兩異面直線所成角。的取值范圍是(0,、].

n?h

③向量求法：設(shè)直線a,b的方向向量為。，力，其夾角為°,則有cos0=|cos8|=|r———|.

1葉1"

2.直線與平面所成角：直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為e,平面a的法向量為

n,直線/與平面a所成的角為9,兩向量e與〃的夾角為仇則有sin9=|cos6=?"L

|e||〃l

3.二面角：求二面角的大小

①如圖1,AB、是二面角a—/一夕的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=（AB,CD）.

②如圖2、3,晨跑分別是二面角a—/一成的兩個(gè)半平面a,少的法向量，則二面角的大小。=<勺,%>（或

71-<>）?

4.利用向量求空間距離：空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算

（1）數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)4=（內(nèi)，。2,。3），b=（從，b2,心），則

①Q(mào)±b=（<7i±Z>l?。2±力2，。3士臺(tái)3）；

②4。二（xai,&12，XCT3）；

?a-b=a\b\+“262+03加.

（2）共線與垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)0=（ai，。2，。3），b=（b\,Z>2?63）,

貝!）?！ā?"=勸0。|="1，。2=動(dòng)2，。3=?3R）,?力=00〃山1+0262+4383=0

6均為非零向量）.

（3）模、夾角和距離公式：設(shè)。=（。1，。2，。3），b=（61，岳，岳），則|。|=11%=用/+質(zhì)+用，

/八a-b。1加+02a+0363、幾，/,、八/,、

cosb）=---="r~r=.Tx,A（.ano\tc\）?B（a2，bi,ci），

同步I寸山+質(zhì)+山?協(xié)，+慶+房

則力8=1481=J（〃2_4）2+0-6J?+（C,-Ci）?.

點(diǎn)面距的求法：如圖，設(shè)48為平面。的一條斜線段，〃為平面a的法向量，則8到平面a的距高"二曲1.

I川

【注5】

1.求一對(duì)異面直線所成角：一是按定義平移轉(zhuǎn)化為兩相交直線的夾角；二是在異面直線上各取一向量，轉(zhuǎn)

化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角，無(wú)論哪種求法，都應(yīng)注意角的范圍的限定.

2.利用直線的方向向量的夾角求異面直線的夾角時(shí)，注意區(qū)別：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或

直角時(shí)，就是此異面宜線所成的角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線所成的

角.

【注6】

1.利用向量法求線面角的方法

（1）分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；

（2）通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（鈍角時(shí)取其補(bǔ)角），取

其余角就是斜線和平面所成的角.

2.求二面角最常用的方法就是分別求出一面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的

夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

3.點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡(jiǎn)單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題，事實(shí)上，作5"，

平面于H.由函=痢+詞/及司%?=〃?歷。，得|前=?兩=|兩伽|,所以|兩'兩，即〃.扁.

1川I川

4.用向量法求異面直線所成角的一般步驟

(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系：

(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值：

(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.

典型例題

例1已知直三棱柱ABC-A|B|G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CJ=1,則異面直線AB^與BQ

所成角的余弦值為()

A.B.---C.----D.

2553

例2長(zhǎng)方體力88一小囪。。|中，AB=AA\=2,AD=\,E為CG的中點(diǎn)，則異面直線BCj與力￡所成角的

余弦值為()

A遍B.畫(huà)C.蠣D.蜒

10101010

例3如圖，E是以力B為直徑的半圓O上異于48的點(diǎn)，矩形/8C。所在的平面垂直于半圓。所在的平

面，且43=24。=2。。

(1)求證：EA±ECQ

(2)若異面直線ZE和。C所成的角為工，求平面QCE和平面4E8所成的銳二面角的余弦值。

6

例4如圖，已知多面體力AiA,B\B,GC均垂直于平面力3C,N/8c=120。，出力=4,CiC=l,

AB=BC=B、B=2.

(1)證明:平面

(2)求直線4G與平面所成的角的正弦值.

例5婦圖，在三棱錐P—48C中，AB=BC=2也PA=PB=PC=AC=4,。為4c的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面IBC；

(2)若點(diǎn)"在棱AC上，且二面角股一P4一。為20。，求PC與平面P4W所成角的正弦值.

例6在如圖所示的多面體中，四邊形/3CD是平行四邊形，四邊形尸是矩形，EO_L平面ZABD

=-,AB=2AD.

6

(1)求證：平面3。上/J_平面/￡￡

(2)若ED=BD,求直線力/與平面力EC所成角的正弦值.

例7如圖1,在高為6的等腰梯形力8CO中，AB//CD,且8=6,48=12,將它沿對(duì)稱(chēng)軸0。1折起，使

平面4。0|0_1_平面8(?。0,如圖2,點(diǎn)尸為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段48上(不同于48兩點(diǎn))，連接

OE并延長(zhǎng)至點(diǎn)0,使40〃08.

(1)證明：0。_1平面4。；

(2)若BE=2AE,求二面角。一8。一4的余弦值.

例8婦圖，四面體力8C0中，△力區(qū)是正三角形，△4。是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD.

(1)證明：平面力COJ■平面力BC；

(2)過(guò)力。的平面交3。于點(diǎn)E,若平面4EC把四面體力88分成體積相等的兩部分，求二面角。一4E-

。的余弦值.

例9如圖，四棱錐尸一48。中，側(cè)面玄。為等邊三角形且垂直于底面48CD,AB=BC=~AD,NBAD=

2

ZABC=90°,E是PO的中點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面R1&

(2)點(diǎn)必在棱尸。上，且直線3M與底面48c。所成角為45。，求二面角股一48一。的余弦值.

例10等邊△49C的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)O,E分別是43,8c上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足獨(dú)=晝=1(如圖(1)),將△力Of

DBEA2

沿。E折起到△小DE的位置，使二面角由一。七一8成直二面角，連接4山，4c(如圖(2)).

(1)求證：4D_L平面8CEO；

(2)在線段8c上是否存在點(diǎn)P,使直線P4與平面小8。所成的角為60。？若存在，求出P8的長(zhǎng)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例11如圖，在四棱錐尸一/8CO中，底面彳5C。為正方形，尸。_L底面43。,用為線段尸C的中點(diǎn)，尸0=

N為線段6c上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面MNQ_L平面P8C

(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段8c的何位置時(shí)，平面MNZ)與平面均8所成銳二面角的大小為30。？指出點(diǎn)N的位置，

并說(shuō)明理由.

例12如圖1,在邊上為4的菱形45CD中，ND43=60。，點(diǎn)M,N分別是邊6C,C。的中點(diǎn)，ACcBDR,

ACcMN=G.沿MV將△◎/可翻折到APWV的位置，連接口，PB,PD，得到如圖2所示的五棱錐

P-ABMND.

(1)在翻折過(guò)程中是否總有平面PMJL平面HG?證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)四棱錐P-MM98體積最大時(shí)，求直線尸8和平面所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，在線段"上是否存在一點(diǎn)。，使得二面角。-MN-尸余弦值的絕對(duì)值為亞？若

10

存在，試確定點(diǎn)。的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例13如圖，在四棱錐力8。七中，底面8CQE為矩形，M為C。中點(diǎn)，連接3M,CE交于點(diǎn)、F,G為AABE

的重心.

(1)證明：GR//平面4BC

(2)已知平面44C_L6C。從平面ZCDJ_平面AC'。/,BC=3,。。=6,當(dāng)平囪GCE與平面所成銳二

面角為60。時(shí)，求G到平面4OE的距離.

例14如圖，在三棱柱ABC-4片G中，“8。為等邊三角形，四邊形5CG4是邊長(zhǎng)為2的正方形，D為AB

中點(diǎn)，且4。二石.

(1)求證：CZ)_L平面43與4；

(2)若點(diǎn)尸在線段8c上，且直線力尸與平面所成角的正弦值為苧，求點(diǎn)尸到平面4。。的距離.

舉一反三

1.如圖，在三棱錐力―8CQ中，平面4BC_L平面58,AA4c與△BCD均為等腰直角三角形，且

NBAC=ZBCD=90°,BC=2.點(diǎn)、P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若線段CD上存在點(diǎn)Q，使得異面直線PQ

與NC成30。的角，則線段刃長(zhǎng)的取值范圍是()

A.唱)B.(0用C.停，可D.停叱

2.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體48CQ—44G2中，E,尸分別是CG，%。的中點(diǎn)，那么異面

直線4七和AXF所成角的余弦值等于.

3.如圖，在正方體力BC。-中，E為84的中點(diǎn).

(1)證明：BCJ/平面力DjE

(2)求直線8cl到平面4)f的距離；

4.在四棱錐尸-48C。中，PA=PB,NBAD=90、NPAD=90,AB〃CD,AD=AB=2CD=2,平面尸5O_L平

面產(chǎn)4D.

(1)證明：尸8_1_平面04。；

(2)求二面角8-尸。-力的正弦值.

5.如圖，四棱錐P-/18C。中，底面48c。為矩形，尸4_L平面48c。，點(diǎn)E在線段尸。上.

(1)若石為尸。的中點(diǎn)，證明：P8〃平面4EC；

(2)若4=2,PD=2AB=4,若二面角七一月。一8的大小為學(xué)，試求的值.

6.如圖在四棱錐「一”。。中，側(cè)面P4)J.底面力80側(cè)棱尸4二尸。=應(yīng)，底面力8CZ)為直角梯形，其

中3C〃4D,ABA.AD,AD=2AB=2BC=2,。為40的中點(diǎn).

(1)求證：PO_L平面48CO；

(2)求二面角C-PO-4的正弦值；

(3)線段40上是否存在。，使得它到平面尸8的距離為日？若存在，求出器的值；若不存在，說(shuō)明

理由.

7.如圖，在四棱柱力中，AB//CD,4B=BC=CCi=2CD,E為線段的中點(diǎn)，尸是線段

上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：E尸〃平面BCGBi；

(2)若N8CO=NGCO=60。，且平面DGCD_L平面力88,求平面8CC而與平面。G8i所成角(銳角)

的余弦值.

8.如圖所示的多面體是由底面為力8c。的長(zhǎng)方體被截面力EGF所截而得到的，其中力8=4,BC=2,CC\

=3,BE=\.

(1)求8斤的長(zhǎng)；

(2)求點(diǎn)C到平面4EG尸的距離.

9.如圖，三棱臺(tái)力8C-48iG中，側(cè)面.4歸184與側(cè)面小GC4是全等的梯形，若44_L48,AiA±AiC\,

且AB=2A\B\=^A\A.

(1)若劭=2況i，戲=2曲,證明：OE〃平面BCC山|；

(2)若二面角G-力小一8為:，求平面4由歸/與平面。歸出。成的銳二面角的余弦值.

10.如圖，四棱錐尸一48co的底面43C。是平行四邊形，E4_L底面力BCO,PA=3,AD=2tAB=4,N

ABC=60°.

(1)求證：8C_L平面hC：

(2)E是側(cè)棱尸8上一點(diǎn)，記公=4(0?1),是否存在實(shí)數(shù)九使平面4OE與平面均。所成的二面角為

60°?若存在，求出;I的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，在四棱錐P—/18CO中，側(cè)面P4Q_L底面底面是平行四邊形，ZJBC=45°,AD

=4P=2,AB=DP=22,E為CO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段尸4上.

(1)求證：AD1PC；

(2)試確定點(diǎn)尸的位置，使得直線稗與平面尸QC所成的角和直線E/與平面488所成的角相等.

12.如圖，在四棱錐產(chǎn)一”8中，底面/SCO為直角梯形，4)〃8C,ZADC=90°,平面距O_L底面/BCD,

。為/O的中點(diǎn)，M是棱尸C上的點(diǎn)，PA=PD=2,BC」AD=1,CD=3.

(1)求證：平面尸8C_L平面尸08；

(2)當(dāng)PAZ的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面0A78與平面尸￡＞。所成的銳二面角的大小為60。？

13.婦圖，C是以48為直徑的圓O上異于4,5的點(diǎn)，平面為C_L平面48C,PA=PC=AC=2,BC=4,

E,尸分別是尸C,尸8的中點(diǎn)，記平面力E尸與平面48。的交線為/.

(1)求證：LL平面B4C；

(2)直線/上是否存在點(diǎn)°,使直線產(chǎn)。分別與平面力叮、直線針?biāo)傻慕腔ビ?？若存在，求出力。的長(zhǎng)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.如圖，在四棱錐尸一48co中，底面/8C。為菱形，/^_L平面48cO,4B=2,ZABC=60°,E,F分

別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)求證：AELPD,

(2)設(shè)，為線段產(chǎn)。上的動(dòng)點(diǎn)，若線段長(zhǎng)的最小值為5,求二面角七一.4產(chǎn)一。的余弦值.

課后練習(xí)

1.點(diǎn)M,N分別是正方體49CQ-44GA的楂3片和棱片G的中點(diǎn)，則異面直線CM與。N所成的

角的余弦值為()

4#cM八64

A.------B.C.D.—

15151515

2.如圖所示，在四棱錐產(chǎn)一/BC。中，四邊形438為菱形，△P40為正三角形，且瓦尸分別為40,45

的中點(diǎn)，PEJ_平面488,8七_(dá)1_平面產(chǎn)力O.

(1)求證：5C_L平面尸￡5；

(2)求ER與平面PQC所成角的正弦值.

3.如圖，在四棱錐一一/8。。中，平面R4Z)_L平面N8C。，PA1PD,P4=PD,ABYAD,AB=\t

AD=2,AC=CD=y/5.

(1)求證：PQJ?平面48；

(2)求直線尸8與平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱尸4上是否存在點(diǎn)M,使得5M//平面PCO?若存在，求生的值；若不存在，說(shuō)明理由.

AP

4.如圖，在斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)[8。一小81G中，側(cè)面44CC_L底面48C,底面△48。是邊

長(zhǎng)為2的正三角形，A}A=AiC,AyAVAxC.

(1)求證：JiCi±^iC；

(2)求二面角Bi-JiC-Ci的正弦值.

5.如圖，在三棱錐產(chǎn)一力BC中，。為棱以上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)凡G,〃分別為所在棱的中點(diǎn).

(1)證明：BD〃平面FGH；

7c

(2)若。產(chǎn)_1_平面/8C,AB1BC,AB=2fN84C=45。，當(dāng)二面角C-G/一〃的平面角為時(shí)，求棱尸C

3

的長(zhǎng).

6.如圖，在四棱錐￡一月88中，底面48co是圓內(nèi)接四邊形，CB=CD=CE=1,AB=AD=AE=3,EC

LBD.

(1)求證：平面平面48cZ＞；

(2)若點(diǎn)尸在平面力BE內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且OP”平面8EC,求直線。戶(hù)與平面力3E所成角的正弦值的最大值.

7.如圖所示，R1J-平面力Of,B,C分別是4E,。上的中點(diǎn)，AE.LAD,AD=AE=AP=2.

(1)求二面角力一尸七一。的余弦值；

(2)點(diǎn)。是線段8尸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線C0與。尸所成的角最小時(shí)，求線段B。的長(zhǎng).

8.如圖，四棱錐P-48C。中，R4_L底面48c。，底面49co是直角梯形，ZJDC=90°,AD//BC,ABV

AC,AB=AC=2,點(diǎn)E在力。上，且力￡=2￡￡＞.

(1)已知點(diǎn)尸在8c上，且CF=2FB,求證：平面PE/LL平面均C；

(2)當(dāng)二面角力一08一七的余弦值為多少時(shí)，直線尸C與平面以3所成的角為45。？

9.如圖，在梯形48co中，AB//CD,AD=DC=CB=l,ZBCD=2\四邊形8尸￡￡＞為矩形，平面5PEO

_L平面力4CO,BF=\.

(1)求證：力￡＞，平面8戶(hù)￡￡)；

(2)點(diǎn)P在線段川上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面R/R與平面4OE所成銳二面角為"試求0的最小值.

10.如圖，在三棱錐尸-45C中，平面為8_L平面48C,AB=6,BC=23,AC=26,D,￡分別為線段48,

8C上的點(diǎn)，且40=208,CE