四川省瀘州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

瀘州市高2023級(jí)高一學(xué)年末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)．共150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題的答案標(biāo)號(hào)涂黑．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.若集合，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.3設(shè)，則（）A. B. C. D.4.已知，則（）A. B. C. D.5.平面與平面平行的充分條件可以是（）A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行B.直線，且C.直線，直線，且D.內(nèi)的任何一條直線都與平行6.如圖，為直角三角形，，，C為斜邊的中點(diǎn)，P為線段的中點(diǎn)，則＝（）A1 B. C. D.7.若圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為其母線長(zhǎng)為2，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的2倍，則該圓臺(tái)的高為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的根，且，則的值為（）A.3 B.0 C.2 D.6二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.任意向量，，若且與同向，則B.若向量，且，則三點(diǎn)共線C.若，則與的夾角是銳角D.已知|，為單位向量，且，則在上的投影向量為10.已知函數(shù)，滿足，且，則（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) B.C.在上單調(diào)遞減 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)11.正方體的棱長(zhǎng)為2，已知平面，則關(guān)于平面α截正方體所得截面的判斷正確的是（）A.截面形狀可能為正三角形 B.平面α與平面ABCD所成二面角的正弦值為C.截面形狀可能為正六邊形 D.截面面積的最大值為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)___________．13.計(jì)算：__________.14.已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，且，當(dāng)該三棱錐的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為_(kāi)___________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15已知向量，且．（1）求向量與的夾角．（2）若向量與互相垂直，求k的值．16.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示．（1）求函數(shù)的解析式．（2）若將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集．17.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）求B；（2）若，且，求．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，平面．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（3）若，四面體體積等于四棱錐體積的，求的值．19.對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)，若成立，則稱(chēng)具有“性質(zhì)”（1）寫(xiě)出一個(gè)數(shù)使之與2具有“性質(zhì)1”，并說(shuō)明理由；（2）若具有“性質(zhì)0”，求的取值范圍；（3）若，且，具有“性質(zhì)”，求實(shí)數(shù)的最大值．瀘州市高2023級(jí)高一學(xué)年末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)．共150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題的答案標(biāo)號(hào)涂黑．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，，所以.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算復(fù)數(shù)，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選：C.3.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，借助于中間值“0”即可判斷三個(gè)值的大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式，結(jié)合正余弦齊次式法求值.【詳解】依題意，.故選：B5.平面與平面平行的充分條件可以是（）A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行B.直線，且C.直線，直線，且D.內(nèi)的任何一條直線都與平行【答案】D【解析】【分析】由直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件的概念依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行，則平行或相交，故充分性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，在正方體中，平面，平面，而平面平面，故充分性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，在正方體中，平面，平面，而平面平面，故充分性不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由面面平行的定義知能推出平面與平面平行，故充分性成立，故D正確.故選：D.6.如圖，為直角三角形，，，C為斜邊的中點(diǎn)，P為線段的中點(diǎn)，則＝（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義、運(yùn)算律以及向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，取中點(diǎn)Q，連接，.故選：B.7.若圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為其母線長(zhǎng)為2，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的2倍，則該圓臺(tái)的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面的圓心為，下底面的圓心為，圓臺(tái)的母線交于點(diǎn)，由已知易求得圓錐的母線，進(jìn)而可求得上下底面的半徑，利用直角梯形的性質(zhì)可求圓臺(tái)的高.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面的圓心為，下底面的圓心為，設(shè)圓臺(tái)的母線交于點(diǎn)，為圓臺(tái)的母線，且，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的2倍，所以，所以，所以，由圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為,所以下底面圓的周長(zhǎng)為，所以，所以，在直角梯形中，易求得.故選：C.8.已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的根，且，則的值為（）A.3 B.0 C.2 D.6【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，由對(duì)稱(chēng)性可知，，，計(jì)算得，再計(jì)算的結(jié)果；【詳解】作出函數(shù)的圖象如下由對(duì)稱(chēng)性可知，，因?yàn)椋蓤D可知，所以則，，故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.任意向量，，若且與同向，則B.若向量，且，則三點(diǎn)共線C.若，則與的夾角是銳角D.已知|，為單位向量，且，則在上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】舉反例判斷A，C，利用向量共線定理判斷B，利用投影向量的定義判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，向量且時(shí)，由向量共線定理的推論，知三點(diǎn)共線，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)同向共線時(shí)，，此時(shí)夾角不是銳角，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由題意得，由投影向量定義得投影向量為，故D正確.故選：BD10.已知函數(shù)，滿足，且，則（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) B.C.在上單調(diào)遞減 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】BD【解析】【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性可先求出，即可判斷A，B；然后結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性檢驗(yàn)選項(xiàng)C，D即可判斷．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)，滿足，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；所以，所以，所以，因?yàn)?，，即，所以，所以，故B正確；則，由，可得，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；由，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D正確．故選：BD．11.正方體的棱長(zhǎng)為2，已知平面，則關(guān)于平面α截正方體所得截面的判斷正確的是（）A.截面形狀可能為正三角形 B.平面α與平面ABCD所成二面角的正弦值為C.截面形狀可能為正六邊形 D.截面面積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】借助正方體，畫(huà)出截面圖形，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷．【詳解】如圖，在正方體中，連接，

因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，又因?yàn)椋矫?，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，同理可證，因?yàn)?，平面，則平面，所以平面與平面平行或重合，所以平面與正方體的截面形狀可以是正三角形，故A正確；平面與平面所成二面角正弦值為即為平面與平面所成的角，設(shè)與交于，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，又平面，又平面，所以，又，平面，又平面，所以，所以是平面平面與平面所成二面角的平面角，由題意可得，進(jìn)而可得，所以，所以，所以平面與平面所成二面角的正弦值為，故B錯(cuò)誤；當(dāng)分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊形，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，同理可得平面，又因?yàn)?，平面，則平面平面，所以，平面，此時(shí)截面為正六邊形，故C正確；如圖設(shè)截面為多邊形，設(shè)，則，則，所以多邊形的面積為兩個(gè)等腰梯形的面積和，所以，因?yàn)?，，所?，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間幾何體的截面問(wèn)題，求解時(shí)要注意從動(dòng)態(tài)的角度進(jìn)行分析問(wèn)題和求解問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)思想求解最值.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可以求值.【詳解】根據(jù)題意，是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，所以.故答案為：13.計(jì)算：__________.【答案】4【解析】【詳解】14.已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，且，當(dāng)該三棱錐的體積取得最大值時(shí)，其外接球的表面積為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】先分析得三棱錐的體積取得最大值時(shí)，有平面平面，分別求得，的外接圓的半徑，進(jìn)而可求外接球的半徑，由此得解.【詳解】依題意，三棱錐的底面面積是個(gè)定值，側(cè)面是等邊三角形，頂點(diǎn)到邊的距離也是一個(gè)定值，所以當(dāng)該三棱錐的體積取得最大值時(shí)，平面平面，取的中點(diǎn)，連接，分別為正三角形，的中心，所以，所以為二面角平面角，可得，過(guò)分別作平面，平面的垂線，兩垂線交于，則為外接球的球心，由正三角形的性質(zhì)可求得，進(jìn)而可得，，易得四邊形是正方形，所以，由勾股定理可得，其外接球的表面積為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知向量，且．（1）求向量與的夾角．（2）若向量與互相垂直，求k的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算得出，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解即可；（2）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件代入求解即可．【小問(wèn)1詳解】由，得，設(shè)向量與的夾角為，由，，又，所以，所以，解得，所以向量與的夾角為．【小問(wèn)2詳解】由向量向量與互相垂直，得，所以，即，解得或．16.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示．（1）求函數(shù)的解析式．（2）若將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象求出，和的值即可求出函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)函數(shù)圖象變換求出的解析式，進(jìn)而解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】由圖象知，，即，又，所以，所以，則又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，解得.又，所以，即．【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，可得函數(shù)，再將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，所以，由，可得，所以，所以，所以，所以不等式的解集為．17.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）求B；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理定理化簡(jiǎn)等式，再根據(jù)余弦定理的推論和角的范圍解出答案；（2）利用正弦定理公式結(jié)合已知條件求出，再由余弦定理求出答案【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橛嘞叶ɡ砜傻?，所以，因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)檎叶ɡ淼?，所以又，所以，即，由余弦定理得，即，因?yàn)椋?18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，平面．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（3）若，四面體的體積等于四棱錐體積的，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)與交于，連接，易得，由已知可證，進(jìn)而可證，利用線面垂直的判定定可證平面，可證結(jié)論成立；（2）連接交于點(diǎn)，連接，連接，則為的中點(diǎn)，利用相似比證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（3）由題意可得，可求得值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與交于，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，且為的中點(diǎn)，又平面，又平面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，