2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題40數(shù)列通項(xiàng)

專題40數(shù)列通項(xiàng)【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、觀察法根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數(shù)列通項(xiàng)．二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式=1\*GB3①疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得=2\*GB3②疊乘法：形如的解析式，可用遞推多式相乘求得=3\*GB3③構(gòu)造輔助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式．常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法．④利用與的關(guān)系求解形如的關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，可依據(jù)，求出【典型例題】例1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)棰?，則當(dāng)時(shí)，②，①―②得：，整理得：，又，解得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則.故選：A.例2．（2024·高三·安徽·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，因此，所以.故選：B例3．（2024·高三·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，即，，，，，所以，即，則，當(dāng)時(shí)也成立，所以，故答案為：．例4．（2024·高二·北京·期中）數(shù)列中，若，，則.【答案】【解析】由題意，，可得，所以，所以.故答案為：.例5．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則．【答案】【解析】令，的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，將代入上式可得，綜上可得，即，所以.故答案為：.例6．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】根據(jù)題意由可得；兩式相減可得，所以，即可得；易知當(dāng)時(shí)，符合上式；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：例7．（2024·高二·陜西西安·期中）在數(shù)列中，，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【解析】，故是等比數(shù)列，，故.故答案為：例8．（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，即，所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.例9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【答案】C【解析】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列，依題意，，歸納得，所以.故選：C例10．（2024·高三·河北張家口·階段練習(xí)）已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第21項(xiàng) B．第22項(xiàng) C．第23項(xiàng) D．第24項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又，解得，所以是這個(gè)數(shù)列的第22項(xiàng)．故選：B．例11．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，且滿足．設(shè)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】（1）∵，，∴，∵，∴，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，.（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，又也滿足上式，所以.例12．（2024·高二·新疆省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）（1）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng)公式．【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得：，所以；?），，．例13．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．【解析】設(shè)，所以，∴，解得：，又，∴是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的最小正周期為，所以有故選：D2．（2024·福建漳州·一模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，則，兩式相減可得：，即，令，可得，且，所以.故選：A.3．（2024·高三·天津和平·期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．9 B．21 C．45 D．93【答案】C【解析】由得，整理得，又得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即所以.故選：C.4．（2024·高一·陜西榆林·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，整理得，又，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，所以.故選：D.二、多選題5．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，知A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故B正確；對(duì)于CD，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題6．（2024·高三·陜西安康·開學(xué)考試）如圖，三角形數(shù)陣由一個(gè)等差數(shù)列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此規(guī)律，則該數(shù)陣中第10行從左至右的第4個(gè)數(shù)是.【答案】146【解析】將三角形數(shù)陣的最左邊的一列數(shù)記為數(shù)列，觀察分析可得：，且.由，故，即第10行從左到右的第一個(gè)數(shù)是137，按照規(guī)律，第4個(gè)數(shù)應(yīng)該是146.故答案為：146.7．（2024·高三·湖南·開學(xué)考試）若數(shù)列滿足，，則的最小值是．【答案】/【解析】由已知，，…，，，所以，又也滿足上式，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故答案為：8．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則的值為.【答案】1【解析】因?yàn)椋芍?，可得，，，，各式相加可得，即，所?故答案為：1.9．（2024·高二·上?！て谀┤魯?shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以.故答案為：.10．（2024·高二·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.【答案】【解析】由可得，由累乘可得.故答案為：11．（2024·高二·黑龍江牡丹江·期末）已知數(shù)列滿足，，，則．【答案】128【解析】由題意知，，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：12812．（2024·高三·廣東江門·階段練習(xí)）數(shù)列中，，且，則等于.【答案】【解析】由題意可知：，顯然有，由累乘法可得.而符合，故答案為：13．（2024·高三·北京·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，，則，即，解得，則等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，所以的通項(xiàng)公式為.故答案為：.14．（2024·廣東廣州·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】3【解析】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足，故；則，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也即時(shí)，取得最小值.故答案為：.15．（2024·高二·寧夏中衛(wèi)·階段練習(xí)）數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【解析】設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，所以為常?shù)，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：16．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，且，則，，以此類推可知，對(duì)任意的，，在等式兩邊取倒數(shù)可得，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公差為，，故對(duì)任意的，.故答案為：.17．（2024·高二·湖南·開學(xué)考試）若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，則，.【答案】64【解析】因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，所以，故.故答案為：；.18．（2024·高三·上海閔行·期中）已知、…是直線上的一列點(diǎn)，且，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【答案】【解析】設(shè)所在直線方程為：，，，解得，直線方程為：，，故答案為：.四、解答題19．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由得，，所以，又，所以.由，得.20．（2024·高二·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，滿足上式，所以；（2）因?yàn)?，所以，所?21．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又當(dāng)時(shí)，也成立，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.22．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為．求數(shù)列的通項(xiàng)公式：【解析】因?yàn)?，所以，得，又由，得，兩式相減，得，即，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.23．（2024·高二·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，則，也適合該式，故；（2）證明：，故，由于，故，則，故.24．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，則，是首項(xiàng)?公比都為的等比數(shù)列，故.（2）由題設(shè)，，，則，所以，所以.25．（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且．設(shè)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）在數(shù)列中，①，②，由①-②得：，即，，所以，即，在①中令，得，即，而，故．則，即，又，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2），，又因?yàn)?，所以，所?26．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）由題知，當(dāng)時(shí)，，則．又．①當(dāng)時(shí)，，②①-②得，所以．當(dāng)時(shí)，也適合．綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）因?yàn)椋?，①，②?②得，整理得，因?yàn)椋?7．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，由，兩式相減，得，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，因此，故，；?）由（1）可知，，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有，，兩式相減，得，即，因此.28．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】解:當(dāng)時(shí)，，所以，則，而，所以，故是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，所以.29．（2024·高二·福建漳州·期中）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，得，即，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；（2），由（1）得，所以，則，所以.30．（2024·高二·寧夏中衛(wèi)·階段練習(xí)）已知數(shù)列，滿足(1)證明：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．【解析】（1）因?yàn)椋詢蛇呁缘茫?，即，又因?yàn)椋缘氖醉?xiàng)，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以（2）由題意知，，所以，，兩式相減得，，所以＝，因?yàn)閿?shù)列中每一項(xiàng)均有，所以為遞增數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).【解析】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，，∴.32．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)