現(xiàn)代控制工程原理-華中科技大學(xué)-易孟林-第6章

第6章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間綜合內(nèi)容提要：

控制系統(tǒng)的分析和綜合是控制系統(tǒng)研究的兩大課題。系統(tǒng)分析包括：狀態(tài)方程式的求解；能控性和能觀測(cè)性分析；能控性和能觀測(cè)性分解；穩(wěn)定性分析；化成各種標(biāo)準(zhǔn)型等。系統(tǒng)綜合包括：設(shè)計(jì)控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律，以保證系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)要求都得到滿足。知識(shí)要點(diǎn)：

串聯(lián)解耦和反饋解耦的可解耦性條件，解耦控制的設(shè)計(jì)方法步驟；理解分離定理，分別獨(dú)立設(shè)計(jì)矩陣K

和L

，以構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)。

利用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn);

利用輸出反饋任意配置觀測(cè)器的極點(diǎn)；目錄6.1反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)6.2反饋控制與極點(diǎn)配置6.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題6.4狀態(tài)觀測(cè)器及設(shè)計(jì)6.5狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器的應(yīng)用6.6多變量解耦控制系統(tǒng)的綜合6.7利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器

小結(jié)習(xí)題

6.1反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)

無(wú)論是在經(jīng)典控制理論中，還是在現(xiàn)代控制理論中，反饋都是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要方式。經(jīng)典控制理論是用傳遞函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的，因此，只能從輸出引出信號(hào)作為反饋量?，F(xiàn)代控制理論使用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)來(lái)描述系統(tǒng)，所以除了可以從輸出引進(jìn)反饋信號(hào)外，還可以從系統(tǒng)的狀態(tài)引出信號(hào)作為反饋量以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。

采用狀態(tài)反饋不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，而且它也是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦和構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的主要手段。

6.1.1狀態(tài)反饋和輸出反饋的結(jié)構(gòu)形式

狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的狀態(tài)向量通過(guò)線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進(jìn)行比較，然后產(chǎn)生控制作用，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)。

狀態(tài)反饋系統(tǒng)框圖如圖6-1所示。圖6-1多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)圖

1狀態(tài)反饋圖6-1中被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-1）

式中，—n維狀態(tài)向量，—r維輸入向量，

—m維輸出向量，—n

n矩陣，

—nr矩陣，—mn矩陣，

—mr矩陣。

狀態(tài)反饋控制律為

（6-2）

式中,—r維參考輸入向量，—r

n狀態(tài)反饋矩陣。對(duì)于單輸入系統(tǒng)，—1n行矩陣。

把式（6-2）代入式（6-1）中整理后，可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-3）

若，則

（6-4）

簡(jiǎn)記為。

經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為

由此可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后:

輸入矩陣B和輸出矩陣沒(méi)有變化，僅僅是系統(tǒng)矩陣發(fā)生了變化，變成了；狀態(tài)反饋陣的引入，沒(méi)有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但通過(guò)的選擇可以有條件自由改變系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。

圖6-2多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋結(jié)構(gòu)圖

2輸出反饋

輸出反饋就是將系統(tǒng)的輸出向量通過(guò)線性反饋陣反饋到輸入端，與參考輸入向量進(jìn)行比較，然后產(chǎn)生控制作用，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)。

圖5-2中被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為（6-5）

式中，—n維狀態(tài)向量，—r維輸入向量，

—m維輸出向量，—n

n矩陣，

—nr矩陣，—mn矩陣，

—mr矩陣。

輸出反饋控制律為

（6-6）

式中,—r維參考輸入向量，—r

m輸出反饋矩陣。把式（6-5）的輸出方程代入式（6-6）中整理后，得

再將上式代入（6-5），可得輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-7）

若，則

（6-8）

簡(jiǎn)記為

。

經(jīng)過(guò)輸出反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

若原被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為

則和有如下關(guān)系

由此可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)輸出反饋后:

輸入矩陣B和輸出矩陣C沒(méi)有變化，僅僅是系統(tǒng)矩陣變成了；閉環(huán)系統(tǒng)同樣沒(méi)有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)。由于系統(tǒng)輸出所包含的信息不是系統(tǒng)的全部信息，即m<n，所以輸出反饋只能看成是一種部分狀態(tài)反饋。

6.1.2反饋控制的特點(diǎn)

定理6-1狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀測(cè)性。

證明因?yàn)樵豢叵到y(tǒng)和狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性判別陣分別為

和

由于，這表明的列向量可以由的列向量的線性組合來(lái)表示。同理，的列向量可以由的列向量的線性組合來(lái)表示。依次類推，于是就有的列向量可以由的列向量的線性組合表示。因此，可看作是由經(jīng)初等變換得到的，而矩陣做初等變換并不改變矩陣的秩。所以與的秩相同，能控性不變，得證。

關(guān)于狀態(tài)反饋不保持系統(tǒng)的能觀測(cè)性可做如下解釋：

例如，對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋會(huì)改變系統(tǒng)的極點(diǎn)，但不影響系統(tǒng)的零點(diǎn)。這樣就可能會(huì)出現(xiàn)把閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在原系統(tǒng)的零點(diǎn)處，使傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，因而破壞了系統(tǒng)的能觀測(cè)性。

定理6-2輸出反饋不改變?cè)豢叵到y(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。

證明因?yàn)檩敵龇答佒械牡刃в跔顟B(tài)反饋中的，那么輸出反饋也保持了被控系統(tǒng)的能控性不變。

關(guān)于能觀測(cè)性不變，可由能觀測(cè)性判別矩陣

和

仿照定理5-1的證明方法，同樣可以把看作是經(jīng)初等變換的結(jié)果，而初等變換不改變矩陣的秩，因此能觀測(cè)性不變。

例6-1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試分析系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后的能控性與能觀測(cè)性。

解

容易驗(yàn)證原系統(tǒng)是能控且能觀測(cè)的。引入后，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式根據(jù)式（6-4）可得

不難判斷，系統(tǒng)是能控的，但不是能觀測(cè)的。可見(jiàn)引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)保持能控性不變，而不能保持能觀測(cè)性。實(shí)際上這反映在傳遞函數(shù)上出現(xiàn)了零極點(diǎn)對(duì)消的現(xiàn)象。

6.2反饋控制與極點(diǎn)配置

所謂極點(diǎn)配置：就是通過(guò)選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所期望的動(dòng)態(tài)性能。

本節(jié)重點(diǎn)討論單輸入單輸出系統(tǒng)在已知期望極點(diǎn)的情況下，如何設(shè)計(jì)反饋增益矩陣。

6.2.1極點(diǎn)配置定理

單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋，得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-13）

式中，反饋矩陣為的矩陣。

定理6-4通過(guò)狀態(tài)的線性反饋，可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)任意配置的充分必要條件是被控系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的。

證明：（1）充分性：若被控系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的，那么閉環(huán)系統(tǒng)必能任意配置極點(diǎn)。

利用線性變換，將其化成能控標(biāo)準(zhǔn)型

（6-14）

式中

被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

（6-15）

（6-16）

在能控標(biāo)準(zhǔn)型的基礎(chǔ)上，引入狀態(tài)反饋

式中

將上式代入式（6-14）中，可求得對(duì)的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間式為

因?yàn)榫€性變換不改變系統(tǒng)的特征值，故系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

和陣不變。陣不變表明增加狀態(tài)反饋后，而不能改變傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。

其對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

（6-17）

式中

假如任意提出的n個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)為，期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為

（6-18）

令的同次冪的系數(shù)相等，則有

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

于是得

（5-19）

該結(jié)果表明是存在的。和

可得到原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣的表達(dá)式為

由于為非奇異變換陣，所以陣是存在的（2）必要性：如果被控系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)的線性反饋可實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置，需證明被控系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的。采用反證法，假設(shè)被控系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置，但被控系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能控。將系統(tǒng)分解為能控和不能控兩部分，即

引入狀態(tài)反饋

式中

系統(tǒng)變?yōu)?/p>

由此可見(jiàn)，利用狀態(tài)的線性反饋只能改變系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能改變系統(tǒng)不能控部分的極點(diǎn)，也就是說(shuō)，在這種情況下不可能任意配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)，這與假設(shè)相矛盾，于是系統(tǒng)是完全能控的。必要性得證。

相應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

使兩個(gè)多項(xiàng)式s對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得到n個(gè)代數(shù)方程，即可求出

方法二：：在充分性的證明過(guò)程中，已得

根據(jù)

方法一：

求取狀態(tài)反饋陣的方法

其中，為將系統(tǒng)化成能控標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換陣，即

代入上式，得

即

（6-20）

式中

例6-2已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試求取狀態(tài)反饋陣,使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在-1和-2上。

解因

rankrankrank

所以，被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控，通過(guò)狀態(tài)的線性反饋可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。方法一設(shè)

則

而期望的特征多項(xiàng)式為

比較以上兩式的s同次冪系數(shù)，可求得

方法二

由

得

根據(jù)式（6-20）有

加狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖6-4所示。

圖6-4閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

需要指出：

（1）對(duì)于狀態(tài)能控的單輸入單輸出系統(tǒng)，線性狀態(tài)反饋只能配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，不能配置系統(tǒng)的零點(diǎn)。

（2）當(dāng)系統(tǒng)不完全能控時(shí)，狀態(tài)反饋陣只能改變系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能影響不能控部分的極點(diǎn)。

設(shè)n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-24）

如果n維線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，采用狀態(tài)反饋可以任意配置的n個(gè)極點(diǎn)。這也說(shuō)明，對(duì)于完全能控的不穩(wěn)定系統(tǒng)，總可以求得線性狀態(tài)反饋陣，使系統(tǒng)變?yōu)闈u近穩(wěn)定，即的特征值均具有負(fù)實(shí)部，這就是系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題。

6.3系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題

當(dāng)系統(tǒng)（6-24）狀態(tài)不完全能控時(shí)，其能控性矩陣的秩，可以對(duì)其狀態(tài)方程進(jìn)行能控性分解.

（6-25）

方陣的個(gè)特征值為能控因子，而方陣的個(gè)特征值為不能控因子。

其中的維能控子系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋，可以配置的個(gè)特征值。而維不能控子系統(tǒng)的個(gè)特征值是不能控的，顯然不能采用狀態(tài)反饋配置其特征值。

定理6-9假如不穩(wěn)定的線性系統(tǒng)（6-24）是狀態(tài)完全能控的，則一定存在線性狀態(tài)反饋陣，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。假如線性系統(tǒng)（6-24）的狀態(tài)是不完全能控的，則存在線性狀態(tài)反饋陣，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)

鎮(zhèn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的不能控部分為漸近穩(wěn)定的。

例6-5被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

（6-27）

被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對(duì)角型，中第三行的元素為0，可直接得出的狀態(tài)是不完全能控.被控系統(tǒng)中的2維能控子系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

（6-28）

由于不穩(wěn)定的特征值，是2維能控子系統(tǒng)的特征值，而不能控子系統(tǒng)的特征值是穩(wěn)定的，因此，被控系統(tǒng)（5-27）是可鎮(zhèn)定的。

設(shè)指定的期望特征值為，則2維能控子系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式為

（6-29）

引入狀態(tài)反饋

狀態(tài)反饋矩陣為

（6-30）

兩特征多項(xiàng)式的同次冪項(xiàng)系數(shù)相等，得到

求解得到

于是，狀態(tài)反饋矩陣為

本例中的能控子系統(tǒng)是直接從原狀態(tài)方程分解得來(lái)的，因此所得就是。如果能控子系統(tǒng)是經(jīng)過(guò)線性變換后分解得來(lái)的，對(duì)能控子系統(tǒng)加狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置和鎮(zhèn)定后，再把不能控子系統(tǒng)和鎮(zhèn)定后的能控子系統(tǒng)合起來(lái)，進(jìn)行線性反變換，求得從原狀態(tài)變量反饋的和閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

定理6-10假如不穩(wěn)定的線性系統(tǒng)（6-24）是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，則一定存在從輸出到狀態(tài)向量線性反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。假如線性系統(tǒng)（6-24）的狀態(tài)是不完全能觀測(cè)的，則從輸出到狀態(tài)向量線性反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的不能觀測(cè)部分為漸近穩(wěn)定的。

應(yīng)用輸出至輸入的線性反饋，不一定能實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置，同樣，也只能在一定條件下對(duì)某些系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定.下面舉例說(shuō)明。

例6-6有單輸入雙輸出系統(tǒng)

其特征多項(xiàng)式為

系統(tǒng)顯然是不穩(wěn)定的。

但系統(tǒng)是完全能控的，因?yàn)槟芸匦跃仃?/p>

其秩為3，同時(shí)，能觀測(cè)性陣

其為秩為3，系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控和完全能觀測(cè)。

加入輸出至輸入的反饋，，反饋陣，系統(tǒng)矩陣為

閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

它缺項(xiàng)，所以無(wú)論怎么選擇，均不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，更談不上極點(diǎn)的任意配置。

6.4狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)

當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控時(shí)，可以通過(guò)狀態(tài)的線性反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置.

系統(tǒng)狀態(tài)變量的物理意義有時(shí)很不明確，不是都能用物理方法量測(cè)得到的，有些根本無(wú)法量測(cè)，給狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)造成了困難。提出所謂狀態(tài)觀測(cè)或狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題，就是想辦法構(gòu)造出一個(gè)系統(tǒng)來(lái)，這個(gè)系統(tǒng)是以原系統(tǒng)的輸入和輸出為輸入，輸出就是對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)。用來(lái)估計(jì)原系統(tǒng)狀態(tài)的系統(tǒng)就稱作狀態(tài)估計(jì)器或狀態(tài)觀測(cè)器。

6.4.1狀態(tài)重構(gòu)的方法設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-57）

將輸出方程對(duì)逐次求導(dǎo)，代入狀態(tài)方程并整理可得

即

若系統(tǒng)完全能觀測(cè)，上式中的才能有惟一解。即只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)時(shí)，其狀態(tài)向量可以由它的輸入，輸出以及輸入、輸出的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合構(gòu)造出來(lái)。

從理論上看，這種狀態(tài)重構(gòu)思想是合理的，而且是可行的，但是從工程實(shí)際觀點(diǎn)出發(fā)，這種重構(gòu)狀態(tài)的辦法是不可取的，因?yàn)樗鼘⒂玫捷斎搿⑤敵鲂盘?hào)的微分，而當(dāng)其輸入、輸出信號(hào)中包含有噪聲時(shí)，將會(huì)使?fàn)顟B(tài)向量的計(jì)算值產(chǎn)生很大的誤差，這是不允許的。

為了避免使用微分器，一個(gè)直觀的想法就是人為地構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)和參數(shù)與原系統(tǒng)相同的系統(tǒng)，將原系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)出來(lái)，如圖6-10所示。

設(shè)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-58）

式中變量上的符號(hào)“Λ”表示估計(jì)值。

圖6-10開環(huán)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖

分析估計(jì)偏差

其解為

討論：（1）理想情況，新構(gòu)造出系統(tǒng)的A、B和原系統(tǒng)的A、B完全一樣，且設(shè)置時(shí)，觀測(cè)器的輸出才能嚴(yán)格等于系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)。這一點(diǎn)是很難作到的，尤其是將和設(shè)置完全一致，實(shí)際上是不可能的。

（2）當(dāng)時(shí)，和的變化就取決于的情況：如果的特征值都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，的每一項(xiàng)都是衰減的，當(dāng)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后；如果的特征值只要有一個(gè)是正實(shí)部時(shí)，就是發(fā)散的，和什么時(shí)候都不會(huì)相等。

利用輸出對(duì)狀態(tài)誤差進(jìn)行校正，便可構(gòu)成漸近狀態(tài)觀測(cè)器，其原理結(jié)構(gòu)如圖5-11所示。

圖5-11多變量系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器

觀測(cè)器的方程就變?yōu)?/p>

(6-59)

這個(gè)觀測(cè)器通過(guò)對(duì)原系統(tǒng)的輸入和輸出的檢測(cè)，估計(jì)出原系統(tǒng)的狀態(tài)，這就是狀態(tài)觀測(cè)器。

下面分析觀測(cè)器存在的條件。兩式相減，得

（6-60）

齊次方程式的解

（6-61）

要選擇觀測(cè)器的系數(shù)矩陣的特征值都具有負(fù)實(shí)部，觀測(cè)器就是穩(wěn)定的，估計(jì)誤差就會(huì)逐漸衰減到零，即所謂的漸近狀態(tài)觀測(cè)器?，F(xiàn)在觀測(cè)器的反饋就是到的反饋，這種反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的條件是原系統(tǒng)的狀態(tài)必須是完全能觀測(cè)的。

定理如果系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能觀測(cè)，狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件是不能觀測(cè)子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。因?yàn)橥ㄟ^(guò)結(jié)構(gòu)分解之后，能觀子系統(tǒng)的極點(diǎn)可以通過(guò)陣的選擇實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置。不能觀子系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置，最低要求它是漸近定的。這種情況下只能保證觀測(cè)器存在，但不能保證觀測(cè)器極點(diǎn)的任意配置。觀測(cè)器逼近的速度將受到不能觀子系統(tǒng)的限制。6.4.2狀態(tài)觀測(cè)器存在的條件

根據(jù)前面的分析，可得構(gòu)造觀測(cè)器的原則是：6.4.3全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

根據(jù)前面的分析，可得構(gòu)造觀測(cè)器的原則是：（1）觀測(cè)器應(yīng)以的輸入和輸出為其輸入量。

（2）為滿足，或?yàn)橥耆苡^測(cè)，或其不能觀測(cè)子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。（3）的輸出應(yīng)以足夠快的速度漸近于，即應(yīng)有足夠?qū)挼念l帶。全維觀測(cè)器的狀態(tài)方程式

（6-62）

觀測(cè)器狀態(tài)的維數(shù)和原系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù)相同，因此稱全維觀測(cè)器。

其特征多項(xiàng)式為

觀測(cè)器的設(shè)計(jì)：當(dāng)觀測(cè)器的極點(diǎn)給定之后，依據(jù)到的反饋配置極點(diǎn)的方法，即可確定陣。

在選擇觀測(cè)器的極點(diǎn)時(shí)，人們總是希望越快地逼近越好，即希望觀測(cè)器的極點(diǎn)配置在s平面的很負(fù)的地方。但是，逼近太快了，也是不恰當(dāng)?shù)?。因?yàn)檎`差衰減的太快了，觀測(cè)器的頻帶加寬，抗高頻干擾的能力會(huì)下降，也會(huì)造成陣實(shí)現(xiàn)上的困難。所以陣的選擇使觀測(cè)器比被估計(jì)系統(tǒng)稍快一些就可以了。

下面利用對(duì)偶原理根據(jù)求單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋陣的設(shè)計(jì)方法，介紹確定單輸入單輸出系統(tǒng)全維觀測(cè)器的反饋陣的設(shè)計(jì)方法。

若系統(tǒng)

是完全能觀測(cè)的，那么它的對(duì)偶系統(tǒng)

便是完全能控的，這時(shí)采用狀態(tài)反饋陣，有

閉環(huán)后的狀態(tài)方程是

根據(jù)式(6-20)，可得反饋陣的解為

由上面類比，可得觀測(cè)器的反饋陣為(6-63)

式中，——將期望的特征多項(xiàng)式中的換成后的矩陣多項(xiàng)式。

另一種比較實(shí)用的求陣的方法是根據(jù)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式

和期望的特征多項(xiàng)式

使其多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得到個(gè)代數(shù)方程，即可求出反饋陣

例6-9已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，使其極點(diǎn)為-10,-10。

解(1)判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性。因

rankrank

系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，可構(gòu)造能任意配置極點(diǎn)的全維狀態(tài)觀測(cè)器。

(2)觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式為

(3)計(jì)算。

(4)求觀測(cè)器的反饋陣。根據(jù)式(6-63)，可得(5)帶觀測(cè)器的狀態(tài)變量圖如圖5-12所示。

圖6-12帶觀測(cè)器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

6.4.4降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)實(shí)際上，系統(tǒng)的輸出量總是能夠量測(cè)的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出量來(lái)直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)。只要系統(tǒng)是能夠觀測(cè)的，若輸出為維，待觀測(cè)的狀態(tài)為維，當(dāng)時(shí)，則觀測(cè)器狀態(tài)的維數(shù)就可以減少為維。定理6-5

已知線性定常系統(tǒng)

（6-64）式中，—n維狀態(tài)向量，—r維輸入向量，—m維輸出向量，

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)，且，則存在維降維觀測(cè)器為此時(shí)，狀態(tài)的漸近估計(jì)為其中，

為且保證前提下任選。

證明對(duì)原系統(tǒng)，為了構(gòu)造維狀態(tài)觀測(cè)器，首先將和個(gè)輸出量相當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分離出來(lái)。令其中，和分別為和矩陣，和分別為和矩陣。令非奇異線性變換矩陣具有和相同分塊形式，即為則：取線性變換則式(6-64)可變換為(6-65)

式中

或(6-66)

狀態(tài)能夠直接由輸出量獲得；將維狀態(tài)變量由觀測(cè)器進(jìn)行重構(gòu)。如令（6-67）則有

（6-68）

式(6-68)是維系統(tǒng)(6-66)的維子系統(tǒng)，其中為輸入量，為輸出量。根據(jù)全維觀測(cè)器的方程，可寫出子系統(tǒng)的觀測(cè)器的方程為將式(6-67)代入上式，得（6-69）為了消去等式右邊的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，作變換

則式（6-69）可寫成

(6-70)

即有

以上兩式為在下，降維觀測(cè)器的計(jì)算公式。首先對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)，在得到之后，就可根據(jù)得到，即狀態(tài)變量的估計(jì)值。

經(jīng)變換后系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值可表示成而原系統(tǒng)的狀態(tài)變量估計(jì)值為討論狀態(tài)變量的估計(jì)值趨向的速度。

令

則：

因?yàn)樽酉到y(tǒng)是能觀測(cè)的，便可以用觀測(cè)器的反饋陣任意配置特征值，例6-10

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試求降維觀測(cè)器，并使它的極點(diǎn)位于-5處。

解

因系統(tǒng)完全能觀測(cè)和，且，所以只要設(shè)計(jì)一個(gè)一維觀測(cè)器即可。(1)系統(tǒng)的輸出矩陣為(2)求線性變換陣。由

得(3)求和陣。

將和分塊得

(4)求降維觀測(cè)器的反饋陣。降維觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為

期望特征多項(xiàng)式為比較以上兩式，而可以任意選，

如取，則有(5)求降維觀測(cè)器方程。(6)求狀態(tài)變量估計(jì)值。因變換后系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值為則原系統(tǒng)的狀態(tài)變量估計(jì)值為(7)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖5-13帶降維觀測(cè)器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

6.5狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器的應(yīng)用

狀態(tài)觀測(cè)器解決了被控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題，為那些狀態(tài)變量不能直接量測(cè)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。

6.5.1采用狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)

帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，由三部分組成，即被控系統(tǒng)、觀測(cè)器和控制器。1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖6-14帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)設(shè)能控能觀測(cè)的被控系統(tǒng)為狀態(tài)反饋控制規(guī)律為

狀態(tài)觀測(cè)器方程為

由以上三式可得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

將它寫成分塊矩陣的形式

(6-71)或

(6-72)

2帶狀態(tài)觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)的特性

1）分離特性

由于式(6-71)和式(6-72)的狀態(tài)變量之間的關(guān)系為

將式(6-71)作非奇異線性變換，就能得到式(6-72)，而非奇異線性變換并不改變系統(tǒng)的特征值。因此根據(jù)式(6-72)便可得到組合系統(tǒng)式(6-71)的特征多項(xiàng)式為

以上結(jié)果表明，由觀測(cè)器構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式等于狀態(tài)反饋部分的特征多項(xiàng)式和觀測(cè)器部分的特征多項(xiàng)式的乘積，而且兩者相互獨(dú)立。因此，只要系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣和觀測(cè)器反饋陣可分別根據(jù)各自的要求，獨(dú)立進(jìn)行配置。這種性質(zhì)被稱為分離特性。

2）傳遞函數(shù)矩陣的不變性

因非奇異線性變換同樣不改變系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關(guān)系，所以根據(jù)分塊矩陣的求逆公式

有

上式表明，帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣等于直接狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。3．觀測(cè)器反饋與直接狀態(tài)反饋的等效性

由式(6-61)可看出，通過(guò)選擇陣，可使的特征值均具有負(fù)實(shí)部，所以必有，因此，當(dāng)時(shí)，必有成立。這表明，帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，只有當(dāng)，進(jìn)入穩(wěn)定時(shí)，才會(huì)與直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)完全等價(jià)。

例6-11被受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用狀態(tài)反饋將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為，并設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)這個(gè)反饋的全維及降維觀測(cè)器。

解(1)由傳遞函數(shù)可知，此系統(tǒng)能控又能觀測(cè)，因而存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測(cè)器。(2)求狀態(tài)反饋陣。用能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，即令

將閉環(huán)特征多項(xiàng)式與期望特征多項(xiàng)式比較的同次冪系數(shù)，得即(3)求全維觀測(cè)器。一般取觀測(cè)器的極點(diǎn)離虛軸的距離比閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)的位置大2~3倍為宜。本例取觀測(cè)器的極點(diǎn)位于-10處。則觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為

與期望特征多項(xiàng)式

比較的同次冪系數(shù)，得全維觀測(cè)器方程為

即閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

圖6-15全維觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖

(4)求降維觀測(cè)器。，

設(shè)降維觀測(cè)器的極點(diǎn)。因?yàn)?/p>

降維觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為

與期望特征多項(xiàng)式比較得即降維觀測(cè)器方程為閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖6-16降維觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖6.6多變量解耦控制系統(tǒng)的綜合

對(duì)于一個(gè)多輸入多輸出的系統(tǒng)

（6-31）

假設(shè)輸入向量和輸出向量的維相同（即r=m），且。則輸出和輸入之間的傳遞關(guān)系為

（6-32）

將其展開后有

（6-33）

上式可見(jiàn)，每一個(gè)輸出都受著每一個(gè)輸入的控制，每一個(gè)輸入都對(duì)每一個(gè)輸出會(huì)產(chǎn)生控制作用。我們把這種輸入和輸出之間存在相互耦合關(guān)系的系統(tǒng)稱作耦合系統(tǒng)。

耦合系統(tǒng)要想確定一個(gè)輸入去調(diào)整一個(gè)輸出，而不影響其它輸出，幾乎是不可能的。設(shè)法消除這種交叉耦合，以實(shí)現(xiàn)分離控制。即；實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入的控制，每一個(gè)輸入也僅能控制相應(yīng)的一個(gè)輸出，這樣的問(wèn)題就稱為解耦控制。

系統(tǒng)達(dá)到解耦后，其傳遞函數(shù)矩陣就化為對(duì)角矩陣，即

（6-34）

在對(duì)角矩陣中，系統(tǒng)只有相同序號(hào)的輸入輸出之間才存在傳遞關(guān)系.

多輸入多輸出系統(tǒng)達(dá)到解耦后，就可以認(rèn)為是由多個(gè)獨(dú)立的單輸入單輸出子系統(tǒng)組成.

圖5-6解耦系統(tǒng)

要完全解決上述解耦問(wèn)題，必須

解決兩個(gè)基本點(diǎn)方面的問(wèn)題，一是確定系統(tǒng)能解耦的充要條件；二是確定解耦控制規(guī)律和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。這兩個(gè)問(wèn)題因解耦方法不同而不同。

線性系統(tǒng)解耦常用的方法有兩種。一種方法是在被解耦系統(tǒng)中串聯(lián)一個(gè)解耦器，稱為串聯(lián)解耦，這種方法會(huì)增加系統(tǒng)的維數(shù)。另一種方法是狀態(tài)反饋解耦，這種方法不增加系統(tǒng)的維數(shù)。

對(duì)于具有耦合關(guān)系的多輸入多輸出系統(tǒng)，其輸入和輸出的維數(shù)相同。串聯(lián)解耦就是采用輸出反饋加補(bǔ)償器的方法來(lái)使其得到解耦，其結(jié)構(gòu)如圖5-7所示。

6-7串聯(lián)解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

圖中，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)矩陣，串聯(lián)解耦器的傳遞函數(shù)矩陣。

6.6.1串聯(lián)解耦

，，

（6-35）

為控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到解耦以后，就是一個(gè)非奇異的對(duì)角陣，求解出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

（6-36）

閉環(huán)系統(tǒng)有下列關(guān)系

為對(duì)角陣，則也是對(duì)角陣，是兩個(gè)對(duì)角陣的乘積，它必然是對(duì)角陣。

開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣

當(dāng)存在時(shí)，則通過(guò)

（6-37）

即可解出串聯(lián)解耦器的傳遞函數(shù)矩陣。

例6-7已知雙輸入雙輸出系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)矩陣為。根據(jù)題意，要求閉環(huán)傳遞函數(shù)陣為。

，

試求解耦器的傳遞函數(shù)矩陣．

解由式（5-36）可得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

由式（6-37）可得解耦器的傳遞函數(shù)矩陣為

上式所求出的解耦器的傳遞函數(shù)矩陣中，和是比例積分（PI）控制器，是

是比例積分微分（PID）控制器．串聯(lián)解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖6-8所示．

圖6-8串聯(lián)解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖6.6.2反饋解耦

對(duì)于輸入和輸出維數(shù)相同的具有相互耦合的多輸入多輸出系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋結(jié)合輸入變換也可以實(shí)現(xiàn)其解耦。

設(shè)多輸入多輸出系統(tǒng)，如果采用輸入變換的線性狀態(tài)反饋控制，則

（6-38）

式中，－的實(shí)常數(shù)反饋陣，－的實(shí)常數(shù)非奇異變換陣，－維的輸入向量。其結(jié)構(gòu)圖如圖6-9所示

6-9狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

圖中，虛線框內(nèi)待為解耦的系統(tǒng)。

帶輸入變換狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-39）

則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

（6-40）

如果能找到某個(gè)陣和陣，使變?yōu)閷?duì)角陣，就可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的解耦。問(wèn)題是如何求陣和陣，以及在什么條件下通過(guò)狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)解耦。

（1）傳遞函數(shù)矩陣的兩個(gè)特征量

定義5-4若已知待解耦系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，則是0到之間使下列不等式

（6-41）

成立的最小的整數(shù)。式中，是矩陣的行向量。當(dāng)下式

，（6-42）

成立時(shí)，則取

（6-43）

若已知待解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，為的第行傳遞函數(shù)向量，即

（6-44）

再設(shè)為的分母多項(xiàng)式的次數(shù)和的分子多項(xiàng)式的次數(shù)之差，則定義為

，（6-45）

定義6-5若已知待解耦系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，則為

若已知待解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，則為

，（6-46）

，（6-47）

（2）能解耦性判據(jù)

定理5-11待解耦系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋和輸入變換進(jìn)行解耦的充分必要條件，是如下矩陣為非奇異(6-48)

（3）積分型解耦

定理5-12若系統(tǒng)是滿足狀態(tài)解耦的條件，則閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)積分型解耦系統(tǒng)。狀態(tài)反饋陣和輸入變換陣分別為

，

（6-49）

其中，維的矩陣定義如下

(6-50)

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

(6-51)

利用式（6-38）的控制規(guī)律可以使系統(tǒng)解耦。得到的只是積分型解耦。由于積分解耦的極點(diǎn)都在s平面的原點(diǎn)，所以它是不穩(wěn)定系統(tǒng)，無(wú)法在實(shí)際中使用。在積分解耦的基礎(chǔ)上，對(duì)每一個(gè)子系統(tǒng)按單輸入單輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法，用狀態(tài)反饋把位于原點(diǎn)的極點(diǎn)配置到期望的位置上。（4）解耦控制的綜合設(shè)計(jì)

對(duì)于滿足可解耦條件的多數(shù)入多輸出系統(tǒng)，應(yīng)用和的輸入變換和狀態(tài)反饋，已實(shí)現(xiàn)了積分解耦。

系統(tǒng)積分解耦后狀態(tài)空間表達(dá)式為

（6-52）

式中，，。

當(dāng)為完全能控時(shí)，仍保持完全能控性。但要判別系統(tǒng)的能觀測(cè)性，當(dāng)為完全能觀測(cè)時(shí)，一定可以通過(guò)線性非奇異變換將化為解耦標(biāo)準(zhǔn)型，即

其中,,

線性變換陣用下列公式計(jì)算

，（6-53）

，

，

設(shè)狀態(tài)反饋矩陣為

（6-54）

其中

，

對(duì)應(yīng)于每一個(gè)獨(dú)立的單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

仍然是解耦系統(tǒng)，其中

則

當(dāng)依據(jù)性能指標(biāo)確定每一個(gè)子系統(tǒng)期望的極點(diǎn)，即已知時(shí)，各子系統(tǒng)期望的特征方程為

（6-55）

讓和對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即可求出以及。

對(duì)原系統(tǒng)，滿足動(dòng)態(tài)解耦和期望極點(diǎn)配置的輸入變換陣和狀態(tài)反饋陣分別為

當(dāng)為不完全能觀測(cè)時(shí)，先進(jìn)行能觀測(cè)性結(jié)構(gòu)分解，將能控能觀測(cè)子系統(tǒng)化為解耦標(biāo)準(zhǔn)型，再進(jìn)行極點(diǎn)配置。

，（6-56）

例6-8已知系統(tǒng)

,,求使系統(tǒng)解耦并將極點(diǎn)配置在-1，-1，-1，-1上。

解:（1）計(jì)算和

，，則:，

，，則:，

（2）判斷可解耦性

由于

是非奇異陣，該系統(tǒng)可以采用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦。

（3）積分型解耦系統(tǒng)

狀態(tài)反饋陣輸入變換陣為

積分型解耦系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為

（4）判別的能觀測(cè)性

由上式可知是完全能觀測(cè)的。且已經(jīng)是解耦標(biāo)準(zhǔn)型，則（5）確定狀態(tài)反饋陣

基于上述的計(jì)算結(jié)果，設(shè)反饋陣為兩個(gè)分塊對(duì)角陣，其結(jié)構(gòu)形式為

，和，

兩個(gè)期望的特征多項(xiàng)式為

，

加上狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)矩陣為

按照設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣的計(jì)算方法可求得

，，，

（6）計(jì)算原系統(tǒng)的輸入變換陣和狀態(tài)反饋

解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

6.7利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器6.7.1系統(tǒng)的極點(diǎn)配置

當(dāng)系統(tǒng)是完全能控時(shí)，通過(guò)狀態(tài)反饋可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。關(guān)鍵是求解狀態(tài)反饋陣，當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)大于3以后，或?yàn)槎噍斎攵噍敵鱿到y(tǒng)時(shí)，具體設(shè)計(jì)要困難得多。如果采用MATLAB的輔助設(shè)計(jì)問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。

例6-12

已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為采用狀態(tài)反饋，將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到-1,-2,-3，求狀態(tài)反饋陣K。解MATLAB程序?yàn)?Example5_12.mA=[-2–11;101;-101];b=[1;1;1];Uc=ctrb(A,b);rc=rank(Uc);f=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));K=[zeros(1,length(A)-1)1]*inv(Uc)*polyvalm(f,A)執(zhí)行后得K=-124

其實(shí)，在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中就提供了單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置函數(shù)acker()，該函數(shù)的調(diào)用格式為K=acker(A,b,P)式中，P為給定的極點(diǎn)，K為狀態(tài)反饋陣。對(duì)例5-12，采用下面命令可得同樣結(jié)果>>A=[-2-11;101;-101];b=[1;1;1];>>rc=rank(ctrb(A,b));>>p=[-1,-2,-3];>>K=acker(A,b,p)結(jié)果顯示K=-1246.7.2狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)1.全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)對(duì)于系統(tǒng)(6-73)

若系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則可構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器。式(5-59)為狀態(tài)觀測(cè)器的方程，式(5-63)為反饋陣L的計(jì)算公式。

在MATLAB設(shè)計(jì)中，利用對(duì)偶原理，可使設(shè)計(jì)問(wèn)題大為簡(jiǎn)化，求解過(guò)程如下：首先構(gòu)造系統(tǒng)式(5-73)的對(duì)偶系統(tǒng)(6-74)

然后，對(duì)偶系統(tǒng)按極點(diǎn)配置求狀態(tài)反饋陣K

K=acker(AT,CT,P)或

K=place(AT,CT,P)原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K的轉(zhuǎn)置。即

其中，P為給定的極點(diǎn)，L為狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣。例6-13

已知開環(huán)系統(tǒng)其中

設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的閉環(huán)極點(diǎn)為，，-5。解為求出狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，先為原系統(tǒng)構(gòu)造一對(duì)偶系統(tǒng)。

采用極點(diǎn)配置方法對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)的配置，得到反饋陣K，再由對(duì)偶原理得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L。MATLAB程序?yàn)?Example5_13.mA=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];disp('TheRankofObstrabilatyMatrix')r0=rank(obsv(A,C))A1=A';b1=C';C1=b';P=[-2+2*sqrt(3)*j-2-2*sqrt(3)*j-5];K=acker(A1,b1,P);L=K'

執(zhí)行后得TheRankofObstrabilatyMatrixr0=3L=3.00007.0000-1.0000

由于rankr0=3，所以系統(tǒng)能觀測(cè)，因此可設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器。2.降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)已知線性定常系統(tǒng)(6-75)

完全能觀測(cè)，則可將狀態(tài)分為可量測(cè)和不可量測(cè)兩部分，通過(guò)特定線性非奇異變換可導(dǎo)出相應(yīng)的系統(tǒng)方程為分塊矩陣的形式

由上可看出，狀態(tài)能夠直接由輸出量y獲得，不必再通過(guò)觀測(cè)器觀測(cè)，所以只要求對(duì)n-m

維狀態(tài)變量由觀測(cè)器進(jìn)行重構(gòu)。由上式可得關(guān)于的狀態(tài)方程它與全維狀態(tài)觀測(cè)器方程進(jìn)行對(duì)比，可得到兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表5-1所示。

表6-1全維與降維狀態(tài)觀測(cè)器的對(duì)比關(guān)系

由此可得降維狀態(tài)觀測(cè)器的等效方程(6-76)

其中

然后，使用MATLAB的函數(shù)place()或acker()，根據(jù)全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法求解反饋陣L。降維觀測(cè)器的方程為(6-77)

例6-14

設(shè)開環(huán)系統(tǒng)其中設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器，使閉環(huán)極點(diǎn)為。

解由于x1可量測(cè)，因此只需設(shè)計(jì)x2和x3的狀態(tài)觀測(cè)器，故根據(jù)原系統(tǒng)可得不可量測(cè)部分的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中

(6-78)

等效系統(tǒng)為

(6-79)

其中

MATLAB程序?yàn)?Example5_14.mA=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];C=[100];A11=[A(1,1)];A12=[A(1,2:3)];A21=[A(2:3,1)];A22=[A(2:3,2:3)];B1=b(1,1);B2=b(2:3,1);Ac=A22;Cc=A12;r0=rank(obsv(Ac,Cc))P=[-2+2*sqrt(3)*j-2-2*sqrt(3)*j];K=ac