傅立葉光學(xué)習(xí)題與答案

云南師范大學(xué)2005-2006學(xué)年上學(xué)期統(tǒng)一測(cè)試學(xué)院物理與電子學(xué)院專(zhuān)業(yè)光學(xué)工程年級(jí)2005級(jí)班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名一、一個(gè)正復(fù)振幅光柵,振幅透過(guò)率為：/CWo)=g+：cos2*放在一個(gè)直徑為的圓形會(huì)聚透鏡(焦距為f)之前,并且用平面單色波傾斜照射,平面波的傳播方向在平面內(nèi),與軸夾角為8,如圖1所示.(1)求通過(guò)物投射的光振幅分布的頻譜.(2)假定4.=4=27,問(wèn)像平而上會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)度變化的角8是多少⑶[㈣假定用的傾斜角就是這個(gè)最大值,求像平面上的強(qiáng)度分布.它與0=0時(shí)相應(yīng)的強(qiáng)度分布比擬,情況如何(5)假定照明傾角e采用上述極大值,問(wèn)使得像平面上出現(xiàn)強(qiáng)度變化的最大光柵頻率是多少這個(gè)頻率與0=0時(shí)的截止頻率比擬,結(jié)論如何(40%)(1)解：傾斜單色平面波入射,在物平面上產(chǎn)生的入射光為Aexp(j/a°sine),那么物平面的投射光場(chǎng)為:Uo(x.,打)=Aexp(jR、osin0)-r(x0,y0)=Aexp(j7?.v0sin6)?：(1+cos2毋%)

Af…sinC、1 「?c/Sin6八1r_zrsin.、]]=3{exp.2mo )+-exp[j2^v()(——+/)+-exp[-j2^0(/-——)]}Z AZ A Z A它的頻譜為：4(,/)=F{U(x(),yo)=F{U(x°,),o))A°sin0- 1 『 -sin0 1 『 『sin0sin..〕(2)解： 在相干光照明下,系統(tǒng)的截止頻率為￡)=」一,為了取到盡可能大的e,即取最低的兩個(gè)頻率分量〔把它0〕,〔sin..〕ZTOC\o"1-5"\h\z丁白sin6/I口/j『sin./ /于是要求 < ；及一 <-/+ < A2人4 2叫 A2M將4=2/代入上述兩個(gè)不等式,得到滿(mǎn)足兩個(gè)頻率分量通過(guò)系統(tǒng)的條件歹—一<sin^<——,最大值為*^=sin-】(——)；4/ 4/ 4/〔3〕解：直徑為的圓形透鏡相干傳遞函數(shù)為“〔/「/、〕=4,.〔衛(wèi)1士〕,/方出當(dāng)6取最大值,sin6=——：此時(shí)物場(chǎng)的三個(gè)頻率分量中只有一個(gè)較高頻率分量超出系統(tǒng)4/的截止頻的截止頻率,因而〃〔2,/、.〕={0卻、=—Jv=.以如,==0

A A當(dāng).=/+—Jy=0

A像的頻譜為：億/〕=3枇-苧/〕+梟力-〔"苧〕⑷+口力-,-苧〕,加血/〕A〔〔sin0 1 sin6]=不嚴(yán)/「丁?一十丁/」

像平面復(fù)振幅分布為:%(七,尢)=/「{&(/;/)}A

2A

A

2A

2.csin0'1 1 「'c1,72^3——+-exp[72^3-7+人)2x[l+^-exp(-j-2^-37)]sin6lr光強(qiáng)分布為:/3(巧,y3)=卜,3(%3,y3r=2U+Je*(-/2K3/)]X[1+[expO'2K3/)1='t+cos2ml ①當(dāng)8=0時(shí);設(shè)/<A,貝ij/(J)'3)=2.+cos24乂)242/3+2cos2小口+—cos+2cos2小口+—cos4碇%

24I/通過(guò)①②兩式比擬,可看出e=q“ax時(shí),條紋比照度較差,且沒(méi)有倍頻成分.(4)解：照明傾角.為極大時(shí)德學(xué)一一<sin.：/———工——;/?丁或=「夕二.時(shí),光柵頻率不大于系統(tǒng)截止頻率,即——或/^、=—— ④4fA 4歹比擬上式③④,可知e=%皿傾角的平面波照明,系統(tǒng)允許通過(guò)的物光柵的頻率比垂直照明大.x—1二.f(x)=rect(x),h(x)=rect( ).求：f(x)*h(x),并作圖,說(shuō)明其性質(zhì)和意義.(10%)2解:

解:-1/2f(x〞h(-1/2f(x〞h(x)f(x)*h(z))1/2-1/21/21/2xg(x)=f(x)*h(x)=j/(a)h(x-a)cla-X當(dāng)-8<x<-V2時(shí),g(x)=O1當(dāng)一 皿時(shí)6(x)=j"a=x+—TOC\o"1-5"\h\z-1/2 23/2當(dāng)l/ZWxW獎(jiǎng)時(shí),g(X)=卜/0=1-1/2I'2 5 5當(dāng)*時(shí),g(x)=fJ<Z=--x當(dāng)xN二時(shí),g(x)=O\o"CurrentDocument"-L2 20,(工?<1/2)

a+1/Z(-1/2<x<1/2)故：g(x)=/(x)*(x)=JL(l/2<x<3/2)5/2-x,(3/2<x<5/2)0,(x>5/2)圖為:三、在4f系統(tǒng)中,輸入物是一個(gè)無(wú)限大的矩形光柵,設(shè)光柵常數(shù)d=4,線寬a=l,最大透過(guò)率為1,如不考慮透鏡有限尺寸的影響：(1)寫(xiě)出傅立葉平而p2上的頻譜分布表達(dá)式；(2)寫(xiě)出輸出平面復(fù)振幅和光強(qiáng)分布表達(dá)式；(3)在頻譜面上作高通濾波,擋住零頻分量,寫(xiě)出輸出面復(fù)振幅和光強(qiáng)分布表達(dá)式：(4)假設(shè)將一個(gè)"相位濾波器〃⑸,乃)= 孫三2.0其它放在p2平面的圓點(diǎn)上,寫(xiě)出輸出而復(fù)振幅和光強(qiáng)分布表達(dá)式,并用圖形表示.(20%)解：(1)由于是無(wú)限大的矩形光柵,即B不用考慮所以t(x?)=(l/d).rect(x?/a)*comb(x?/d)可以在頻譜而上得到它的傅立葉變換T(fJ=F5{t(x,))=(a/d){sinc(fv)+sinc(a/d).sinc(fv-1/d)+sinc(a/d).sinc(fx+l/d)+ }把a(bǔ)=l,d=4代入上式T(fA)=(裝0{sinc(fv)+sinc(lA)-sinc(fv-(l/4))+sinc(lA)sinc(fx+(l/4))+.....}={sinc(fx)+sinc(l/：l)J(fv-(1A))+sinc(lA)3(fv+(1A))+..…)(2)t(x3)=(lA)rect(x3)*comb(x3A)l(x3)=It(x3)I2=(V16)[rect(x3)*comb(x3⑷]2⑶阻擋零頻分量,可使像發(fā)生寸度反轉(zhuǎn)t(x3)=(lA)[rect(x3)*comb(x3川卜(㈣rect(x3A)l(x3)=|t(x3)|2⑷相位為"的濾波器相當(dāng)于將寸度再次反轉(zhuǎn)t(x3)=(l/4)[rect(x3)*comb(x3A)]-(Wrect(x3A)-(lA)rect(x3A)l(x3)=|t(x3)|2四.以傅里葉變換全息為例,推導(dǎo)并解釋如下概念：〔10%〕〔1〕全息再現(xiàn)像的分辯率〔2〕線模糊〕〔3〕色模糊解：〔1〕傅立葉變換全息圖記錄物的傅立葉譜,記錄過(guò)程中物0〔%.比〕置于透鏡前焦面上,用平行光照明,將全息干板置于后焦面上,用斜入射的平行光作為參考光,設(shè)物光為°〔%,%〕=°o〔Xo.%〕exp［〕.〔/,比〕］,參考光由位于前焦面上的點(diǎn)光源產(chǎn)生的,坐標(biāo)〔-b,o〕,表述為/?〔%,〉,0〕=95〔玉〕+〃,凡〕,經(jīng)變換干板處的光振動(dòng)Un=F{O}+F{R},其中F是傅氏變換,暴光光強(qiáng)為/〔＜JV〕=|U〃『,其中人=力/〔寸〕為空間頻率分量,“,力為透鏡后焦面上的空間坐標(biāo),/為透鏡焦距,經(jīng)線性處理后,全息圖的透過(guò)率/〃a/,再現(xiàn)中,用平行光C〔x,y〕=Coexp〔;Vo〕=l垂直入射到全息圖上,全息圖后的光振動(dòng)為：U'u=C-tH=tH,再現(xiàn)像為U,=pT{U.}.對(duì)記錄介質(zhì)分辨率的要求不受物體本身精細(xì)結(jié)構(gòu)的影響,而取決于全息圖中最精細(xì)的光柵結(jié)構(gòu)因而應(yīng)該滿(mǎn)足RN4A?,其中R為記錄介質(zhì)分辨率,人.表示全息圖的頻譜成分,即空間頻率.再現(xiàn)像的分辨率取決于全息圖的

寬度,它所記錄的空間頻率越豐富,分辨率越高.〔2〕線模糊：實(shí)際光源上每一點(diǎn)作為參考光源,會(huì)產(chǎn)生全息圖上不同光柵結(jié)構(gòu),作為再現(xiàn)光源會(huì)產(chǎn)生不同的再現(xiàn)像,一個(gè)物點(diǎn)將對(duì)產(chǎn)生多個(gè)像點(diǎn)也就是說(shuō),用擴(kuò)展光源作為參考光源和再現(xiàn)光源時(shí)會(huì)導(dǎo)致再現(xiàn)像的展窕,這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)做線模糊.設(shè)參考光源和再現(xiàn)光源的現(xiàn)度分別為AR和AC,AL=于+寧,3?r?〔3〕色模糊：對(duì)于像全息,再現(xiàn)光源的光譜寬度對(duì)像清楚程度仍然是有影響,由于實(shí)際上光不能使物上所有點(diǎn)均能滿(mǎn)足IZ0I為最小,這時(shí)一個(gè)物點(diǎn)不是對(duì)應(yīng)一個(gè)像點(diǎn),而是對(duì)應(yīng)一個(gè)線段.這種由于波長(zhǎng)的不同而產(chǎn)生的像的擴(kuò)展叫做像的色模糊,即使Z.足夠小,當(dāng)A/1相當(dāng)大時(shí),仍然回形成不可無(wú)視的色模糊：色模糊〔彌散量〕：AZJ=A-Z0A/l^2五、如圖2所示,邊長(zhǎng)為2a的正方形孔內(nèi)在放置一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形掩模,其中央落在〔岑,〃〕點(diǎn).采用單位振幅的單色平而波垂直照明,求出與她相距為Z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的光場(chǎng)強(qiáng)度分布,畫(huà)出^=〃=0時(shí),孔徑頻譜在x方向上的截而圖,〔20%〕辦〕3晦H勤一時(shí)采用單位振幅平而波垂直照明,孔徑平面透射光場(chǎng)為辦〕3晦H勤一時(shí)采用單位振幅平而波垂直照明,孔徑平面透射光場(chǎng)為2唔Ha它的傅里葉變換式為f5｛|心10〕｝=4〃2sinC〔2afx〕sinc〔2afy〕-a2sinc〔r7/x〕sinc〔q&〕把它代人夫瑯禾費(fèi)衍射方程："〔.,3'0〕=cPCexpljj&J+yo,〕］xJj"〔』,y］〕exp+為丫網(wǎng)為］

jAz2z 」± Az得到孔的夫瑯禾費(fèi)衍射分布：“Go,〕'o〕=lexpU,002+y02〕］x［｛〃〔3,y］〕｝JAZ■\expQMexpU軸2+記詔2曲.等〕由c〔贊卜2sbic佳〕改黝強(qiáng)度分布:/(./(.%,%)=|小0,%)|2六、波長(zhǎng)為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平而上,在孔徑平面上有一足夠大的摸板,其振幅透過(guò)率為心°)=0.5(l+cos2Ko/(3㈤),求緊靠孔徑投射場(chǎng)的角譜.(20%)(五、六題選做一題)解：入射到孔徑的場(chǎng)分布為S(x,y)=1,模板的透過(guò)率為：1(%)=0.5(1+cos2欣0/3A),所以模板后的透射場(chǎng)分布為：cosa~rcos/?丁'S(x,y)=Ucosa~rcos/?丁'設(shè)入射場(chǎng)的角譜和光場(chǎng)的角譜分別為A(:*,和4(AA由傅氏變換的卷積定理可得：zcosacgs/3、.zcosorcos/7、…,cos<zcos/7、A(^)=A(—,AA AA AAcosacos/7「、、―/Cos.cos/7、其中 A(—：—,—：-):F{Uj(x,y))=J(-：—,一：—)AA AA?COS2cos/7、…,、、r(—?「^)二/依x.)}AA1-cosecos/71-cos.1cos/71—O