2024屆廣西欽州市某中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆廣西欽州市第一中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)。力￡尺，是虛數(shù)單位，貝！1“復(fù)數(shù)z=a+4為純虛數(shù)”是“出?=0”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D,充分不必要條件

2.在區(qū)間［-111上隨機取一個數(shù)3使直線丁=41+3）與圓/+），2=1相交的概率為（）

11V2V2

A.-B.-C."D.—

2343

3.在直角坐標(biāo)系中，已知A（1,0）,B（4,0）,若直線x+-1=0上存在點P,使得|"1|二2|P8|,則正實數(shù)6的最

小值是（）

A.-B.3C.—D.G

33

4.函數(shù)二（二）=、=7??土的定義域為（）

A.63)U(3,4-oc)B.(?8,3)U(3,+oo)

C.E+oc）D.（3,+x）

5.雙曲線C：￡一與=1（。＞0,的離心率是3,焦點到漸近線的距離為虛，則雙曲線。的焦距為（）

a~b~

A.3B.372C.6D.6\/2

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）

C.2D.2V2

7.如圖，在棱長為4的正方體ABC。-44G。中，E,尸，G分別為棱ABtBC,CG的中點，時為棱4。的中點,

設(shè)P,。為底面A8C。內(nèi)的兩個動點，滿足RP〃平面EFG,。。二J萬，則PM+PQ的最小值為（）

0.

4E8

A.3V2-IB?3V2-2c.26—1D.26一2

8.已知拋物線/=4），上一點A的縱坐標(biāo)為4,則點A到拋物線焦點的距離為（）

A.2B.3C.4D.5

9.如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ADA.DC,AD=DC=2ABfE為A&的中點，若CA=ACE+〃DBQ,〃eR),

則2+4的值為（）

8

C.2D.

3

10.已知函數(shù)/（x）=sin3x-cos3x,給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)〃力的值域是3］；②函數(shù)/"彳為

奇函數(shù)；③函數(shù)“X）在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對任意X￡R,都有成立，則上一對的

最小值為9；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

11.三棱錐S—48c的各個頂點都在求。的表面上，且AA8C是等邊三角形，S4J_底面A8C,%=4,AB=6,

若點。在線段SA上，且AQ=2SO,則過點。的平面截球。所得截面的最小面積為（）

A.3兀B.44C.84D.134

71

12.已知角。的頂點與坐標(biāo)原點。重合，始邊與.r軸的非負半軸重合，它的終邊過點。（-3,-4）,則tan2a十二的

值為（

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.雙曲線C:1=1的左右頂點為A8,以A3為直徑作圓。，P為雙曲線右支上不同于頂點4的任一點，連

接P4交圓。于點Q,設(shè)直線。氏QB的斜率分別為4，&，若&=獨2,則2=.

14.已知/*）=工+—〃m￡/?）,若存在為,％2，對…，工”￡［：，2］,使得/（xj+yx%）*1—1■/（%,_1）=/（x〃）成立

的最大正整數(shù)〃為6,則。的取值范圍為.

15.已知平行于x軸的直線/與雙曲線C：吞一三二1（〃>0力>0）的兩條漸近線分別交于尸，Q兩點,。為坐標(biāo)原

點，若AOPQ為等邊三角形，則雙曲線。的離心率為.

16.二項式［：一2（|的展開式的各項系數(shù)之和為,含/項的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機抽取了80個零件進行測量，根據(jù)

所測量的零件尺寸（單位：mm）,得到如下的頻率分布直方圖:

麒率

0.750

0.650

0.225

0.200

0.100

0.075

62.062.563.0零件尺寸/mm

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這80個零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；

⑵若從這80個零件中尺寸位于［62.5,64.5）之外的零件中隨機抽取4個，設(shè)X表示尺寸在［64565］上的零件個數(shù),

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；

（3）已知尺寸在［63.0,64.5）上的零件為一等品，否則為二等品，將這80個零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對生產(chǎn)

線上生產(chǎn)的零件進行成箱包裝出售，每箱100個.企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，己

知每個零件的檢驗費用為99元.若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中,

企業(yè)要向買家對每個二等品支付500元的賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了11個，結(jié)果有1個二等品，以整箱檢驗

費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.

18.（12分）如圖，焦點在無軸上的橢圓G與焦點在）'軸上的橢圓都過點中心都在坐標(biāo)原點，且橢圓G

與C,的離心率均為且.

2

（I）求橢圓G與橢圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（II）過點M的互相垂直的兩直線分別與G，g交于點A,△（點A、8不同于點〃），當(dāng)AM48的面積取最大值

時，求兩直線MB斜率的比值.

19.（12分）某企業(yè)現(xiàn)有A.〃兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品，現(xiàn)從A,"兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作

為樣本，檢測某一項質(zhì)量指標(biāo)值，若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從力

設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從3設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.

表1：3設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數(shù)2184814162

（1）請估計A.〃設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標(biāo)值落在［25,30）內(nèi)的定為一等品，每件利潤240

元；質(zhì)量指標(biāo)值落在［20,25）或［30,35）內(nèi)的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120

元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件

相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A,3兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)

整生產(chǎn)規(guī)模，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模?

20.（12分）己知函數(shù)/（X）-sin（ox-（⑦>0）的圖象向左平移g后與函數(shù)g（x）-cos（2八?十°）|同<］圖象

6）2I2

重合.

（1）求0和。的值;

(2)若函數(shù)〃(x)=fx+￡,求〃（司的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.

\o

21.（12分）已知四棱錐?一ABC力中，底面ABC力為等腰梯形，AD||BC,PA=AD=AB=CD=2tBC=4,

%_L底面4BCD

（1）證明：平面QACJ_平面。AM：

（2）過期的平面交BC于點E,若平面七把四棱錐尸—ABC。分成體積相等的兩部分，求二面角A-PE-B的

余弦值.

22.（10分）如圖，在/A3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足asin8+/‘cosA=c,線段8C的中點

為。.

(H)已知sinC=H.,求NAO8的大小.

10

參考答案

一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得〃=0//0,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.

【詳解】

若復(fù)數(shù)z=a+切為純虛數(shù)，則〃=0?￥。，所以?！?0,若出7=0,不妨設(shè)0=1,。=。，此時復(fù)數(shù)z=a+A=l,

不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)”是“ab=0”的充分不必要條件.

故選：D

【點睛】

本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.

【詳解】

因為圓心（0,0）,半徑,?=1,直線與圓相交，所以

二,解得.￥’心乎

夜

所以相交的概率p=2，故選C

【點睛】

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.

3、D

【解析】

設(shè)點尸（1一〃少），），由|%|=2|陽，得關(guān)于丁的方程.由題意，該方程有解，則△、（），求出正實數(shù)，〃的取值范圍,

即求正實數(shù)m的最小值.

【詳解】

由題意，設(shè)點尸（1一陽,y）.

???1％=2|叫|哨=4|哨，

即（1-"P一1J+）,2=4［（1_+y2,

整理得（加2+l）），2+8/ny+12=0,

則△=（M）2-4（/+］）X1220,解得mNG或〃叱―

m>0,.*.m>J5,/./wIllin=V3?

故選：D.

【點睛】

本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點間距離公式，屬于中檔題.

4、A

【解析】

根據(jù)事函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.

【詳解】

因為函數(shù)二八二7+

解得二N汨二W力

*

二函數(shù)二,；二二、二三-=的定義域為三故選A.

【點睛】

定義域的三種類型及求法：（1）已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）對實際問題：由實際

意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解；（3）若已知函數(shù)二二的定義域為:二二:，則函數(shù)二二二的定義域由不

等式二g二〈二4二求出.

5、A

【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離，可得方，然后根據(jù)^二c、2-/,?=￡,可得結(jié)果.

a

【詳解】

由題可知：雙曲線的漸近線方程為云士ay=0

取右焦點尸（。,0）,一條漸近線/：版—"=0

則點/到/的距離為J"，",=6,由〃2+/=/

所以〃=&，

又￡=3n二=9n/=C

aa29

所以c2-J=2nc=3

92

所以焦距為:2c=3

故選：A

【點睛】

本題考杳雙曲線漸近線方程，以及〃,4c,e之間的關(guān)系，識記常用的結(jié)論：焦點到漸近線的距離為6,屬基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計算各棱的長度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：

由三視港知：|AD|=2,\CE\=6,囪=2,

所以忖q=\DC\=2,

所以慟=+網(wǎng)2=2應(yīng)倒=+忸4=2顯,

所以該幾何體的最長棱的長為2a

故選：D

【點睛】

本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

把截面EFG畫完整，可得P在4C上，由〃Q=J/知。在以。為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得

PM+PQ的最小值.

【詳解】

如圖，分別取GA，AA，AA的中點“J，，連接易證￡F,G,”,/,J共面，即平面EFG為截面

EFGHIJ,連接AR,DC，AC，由中位線定理可得AC//所，4。4平面夕6,EFu平面EFG,則AC//平

面EFG,同理可得A。//平面EFG,由ACIA。=A可得平面ARC//平面耳'G,又平面E尸G,P在

平面A8C。上，???PwAC.

正方體中OR_L平面ABC。，從而有DR工DQ,ADQ=^D^-DD^=1,，。在以。為圓心1為半徑的四

分之一圓(圓在正方形A8CO內(nèi)的部分)上，

顯然M關(guān)于直線AC的對稱點為E,

PM+PQ=PE+PQNPE+PD-DQNED-DQ=F^-1=2^-l，當(dāng)且僅當(dāng)E,P、。,。共線時取等號，

.??所求最小值為2逐-1.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間距離的最小值問題，解題時作出正方體的完整截面求出尸點軌跡是第一個難點，第二個難點是求出Q點

軌跡，第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.

8、D

【解析】

試題分析；拋物線d=4y焦點在1y軸上，開口向上，所以焦點坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,因為點A的縱坐

標(biāo)為4,所以點A到拋物線準(zhǔn)線的距圈為4+1=5,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點A與

拋物線焦點的距離為5.

考點：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學(xué)生的運算求解能力.

點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.

9、B

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示C4,C￡,Q8,利用CA=/ICE十"。8（4〃￡氏），列出方程組求解即可.

【詳解】

建立如座所示的平面直角坐標(biāo)系，則0（0,0）.

不妨設(shè)A3=l,則CQ=AO=2,所以C(2,0),A(0,2),8(1,2),頊0,1),

:.CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

?/CA=ACE+/.iDB

A(-2,2)=2(-2,1)+〃(1,2),

A=—

—22+〃=-2解得'?Q

則A+/;=—.

4+2〃=2

A=?

故選：B

【點睛】

本題主要考查了由平面向量線性運算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.

10、C

【解析】

化/（X）的解析式為夜sin（3x-f可判斷①，求出/仆+?］的解析式可判斷②，由XW得

6［當(dāng),孚］,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由

444

得WfL1可判斷④。

【詳解】

由題意，/(x)=0sin(3xf),所以a,&],故①正確；個+訃

及sin[3(x+￡)—g]=&sin(3x+g)=0cos3x為偶函數(shù)，故②錯誤；當(dāng)人屋py

一—乙L，乙一

時，3X-?4今，亨1，/(X)單調(diào)遞減，故③正確；若對任意X￡R，都有

成立,則占為最小值點，%為最大值點，則歸一到的最小值為

T7T

故④正確.

23

故選：C.

【點睛】

本題考杳三角函數(shù)的綜合運用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的

問題.

11、A

【解析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐SMBC的外接球的半徑，再求出外接球球心到。的距離，利用勾股定理求得過點。的

平面截球。所得截面圓的最小半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖，設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G,貝砂卜接圓半徑4G]X3X/5=2X/5,

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為0,則外接球的半徑R=?2廚+2?=4

取SA中點E,由SA=4,AD=3SDt得OE=1,

B

故選；A

【點睛】

本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.

12、B

【解析】

424

根據(jù)三角函數(shù)定義得到tana=二，^tan2a=--,再利用和差公式得到答案.

37

【詳解】

42tana24

???角。的終邊過點P(-3,-4),???tana=—，tan2e二=一二.

3l—tai?。7

c九24.

/\tan2a+tan------+1

7T\A71/

I4)1-tan2a-tan—1+一xl31

47

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學(xué)生的計算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.二

4

【解析】

23

根據(jù)雙曲線上的點的坐標(biāo)關(guān)系得即7=/二=：，Q4交圓。于點Q，所以以，Q8,建立等

%+2%)-2x0-44

式攵掰《28=7,兩式作商即可得解.

【詳解】

設(shè)P(事,%),4(—2,0)8(2,。)

竽T=L短=3信-1卜*-4)

kk

叢Mx0+2x0-2V-44

必交圓。于點Q,所以尸A,QB

3

易知:《

4

PA.MkB

k.I3

即亡」

4

3

故答案為:

4

【點睛】

此題考查根據(jù)雙曲線上的點的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系，涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論，若能熟記常見二級結(jié)論，此題

可以簡化計算.

一r1519、1321

14、——,——)5—,一］

81()58

【解析】

5/(4"”⑷

由題意得iw,分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.

max

【詳解】

5f(x).<fix)

)\/min'\/max

原問題等價于J

6/(x),>f(x)

v'/mm"\/max

當(dāng)。＜2時，函數(shù)圖象如圖

'72?15,19

貝『5，解得：~8~a<u);

6(2-a)>--aS10

9

當(dāng)"a,時,函數(shù)圖象如圖

此時小)*=°，/(人「|一匹

5xO<--47

9

則；,解得：?G0；

6x0>--^

2

5x()〈。-2

則,cc，解得：4￡0；

6X0>CL2

此時/()加=。一|，"X)a=

5、

5a—<a-2

I2)13

則1，解得:一<a十;

(5、5

6a——>a-2

I2j

綜上，滿足條件。的取值范圍為

81058

u—d」519、1321

故答案為：［三,m)5個學(xué)

o1UJo

【點睛】

本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思

想.

15、2

【解析】

根據(jù)AOPQ為等邊三角形建立。力的關(guān)系式，從而可求離心率.

【詳解】

據(jù)題設(shè)分析知，NPOQ=60。,所以2=tan6()。，得b=瓜(,

a

所以雙曲線。的離心率u=￡==卜~3⑴=2.

aaa

【點睛】

本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立。為工?之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素

養(yǎng).

16、1240

【解析】

將戈=1代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和，寫出二項展開式通項，令K的指數(shù)為2,求出參數(shù)的值，代入通項即可

得出犬項的系數(shù).

【詳解】

將x=1代入二項式f1-2x1可得展開式各項系數(shù)和為(1-2)6=1.

二項式(，一2x］的展開式通項為(討=。CT'?(-2x),=C(2)3一,

㈠7

令2—6=2,解得〃=4,因此，展開式中含/項的系數(shù)為16C；=16x15=240.

故答案為：1;240.

【點睛】

本題考杳了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)63.47；(2)分布列見詳解，期望為多；(3)余下所有零件不用檢驗，理由見詳解.

【解析】

(1)計算［62.0,63.0),［63.0,63.5)的頻率，并且與0.5進行比較，判斷中位數(shù)落在的區(qū)間，然后根據(jù)頻率的計算方法,

可得結(jié)果.

(2)計算位于［62.5,64.5)之外的零件中隨機抽取4個的總數(shù)，寫出X所有可能取值，并計算相對應(yīng)的概率，列出分

布列，計算期望，可得結(jié)果.

(3)計算整箱的費用，根據(jù)余下零件個數(shù)服從二項分布，可得余下零件個數(shù)的期望值，然后計算整箱檢驗費用與賠償

費用之和的期望值，進行比較，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)尺寸在［62.0,63.0)的頻率：

0.5x(0.075+0.225)=0.15

尺寸在［63.0,63.5)的頻率：().5x0.750=0.375

且0.15<0.5v0.15+0.375

所以可知尺寸的中位數(shù)落在［63.0,63.5)

假設(shè)尺寸中位數(shù)為工

所以0.15+(x-63.0)x0.750=0.5=xu63.47

所以這8。個零件尺寸的中位數(shù)63.47

(2)尺寸在［62.0,62.5)的個數(shù)為80x0.075x().5=3

尺寸在［64.5,65.0］的個數(shù)為8()xO.KXIx().5=4

X的所有可能取值為1,2,3,4

貝”(x=i)=等q，尸—2)=等吟

P(X=3)窄=||，P(X=4)=^=±

所以X的分布列為

X1234

418121

P

35353535

砧=l/+2x更+3*+4/=3

353535357

(3)二等品的概率為0.5x(0.075+0.225+0.100)=0.2

如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為

^=100x99=9900(元)

余下二等品的個數(shù)期望值為89x0.2=17.8

如果不對余下的零件進行檢驗,

整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為

^=11x99+500x17.8=9989(元)

所以鳥，所以可以不對余下的零件進行檢驗.

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，掌握中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)的計算方法，中位數(shù)的理解應(yīng)該從中位數(shù)開始左右兩邊

的頻率各為0.5,考驗分析能力以及數(shù)據(jù)處理，屬中檔題.

盧丁=1⑵吃叵

18、(1)—+y2=l

4-

【解析】

分析：⑴根據(jù)題的條件，得到對應(yīng)的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得

相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；

(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，進一步求得向量的坐標(biāo)，將S

表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.

詳解：(I)依題意得對G：b=\,6=6=/=3=。-二"，得c—+y2=l；

24a24-

同理r+—=1

4

(II)設(shè)直線M4,例4的斜率分別為跖他，則MA：)，=人1+1，與橢圓方程聯(lián)立得:

x-2?

,>=1=>X2+4(^,X+1)2-4=0,得(4Z：+D2+8/c,x=0得工八二M-4&?+1

4xt方＞=五寸所以

y=訃+1

A,幽-嵋+1

—2匕4—k；.所以M但—譚［禹）‘八'-2卜-2k；、

同理可得8

4+4'4+&2,、4+&2，4+&2」

882修—2k?-8婷_116%.(《-4)

從而可以求得秋申4+ZJ4+h秋」因為左=-1,

2

.八\冗+k：c”/\—4攵］4一94「+1

，不妨設(shè)—r二還可?。┒滦小?/p>

所以S二

/'（4）=0,「.-4勺4—9勺2十1—0,m一廂一9,所以當(dāng)S最大時，勺2一叵二2,此時兩直線MA,MB斜率的比

88

值&二*=9-797

~S~

k2

點睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點

即為橢圓的上頂點，結(jié)合橢圓焦點所在軸，得到相應(yīng)的參數(shù)的值，再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系，在

研究直線與橢圓相交的問題時，首先設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結(jié)果，注意從函數(shù)的角度研究問題.

19、⑴XA=30.2,焉=29；（2）3設(shè)備

【解析】

（1）平均數(shù)的估計值為組中值與頻率乘積的和；

（2）要注意指標(biāo)值落在［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品才視為合格品，列出4、B設(shè)備利潤分布列，算出期望即可作出決策.

【詳解】

（1）A設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下

質(zhì)量指標(biāo)值

[15,20)120,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數(shù)41640121810

舄二0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2.

B設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下

質(zhì)量指標(biāo)值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

%

頻數(shù)2184814162

以=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為29.

(2)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為X,B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為匕

X240180120

20149

P

434343

Y240180120

\_J_

P

236

E(X)=^(240x20+180x14+120x9)=195.35

￡(/)=240xl+180x1+120x1=2(X)

236

磯x)<E(y)

若以生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤作為決策依據(jù)，企業(yè)應(yīng)加大B設(shè)備的生產(chǎn)規(guī)模.

【點睛】

本題考查平均數(shù)的估計值、離散隨機變量的期望，并利用期望作決策，是一個概率與統(tǒng)計綜合題，本題是一道中檔題.

20、(1)69=2,(p=—t(2)k/r―――,kji+—kEZx=—H-----,keZ.

31212t212

【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】

(1)由題意得/=2,

=sin2x+—1[C71

=cos2x+—

-r4I6)I3

式7t

HJ，?."二§

冗71萬c兀71

⑵h[x}=fx+7C—+￡x-4----=si.nc2x+—+cos2x4--

8jI8)I12；I1r2,

二五sin2x+-

I3

,_.7T,_k7T71

由2x十二=4乃+＜，x=——+—,

32212

所以對稱軸為x=,keZ.

212

由2k兀V2.xH—K2k兀4—,

232

解得k兀一區(qū)04版+2,

1212

乃

所以單調(diào)遞增區(qū)間為k?？誫,kwZ

12

【點睛】

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,

屬于基礎(chǔ)題型.

4

21、(1)見證明；(2)-

【解析】

(1)先證明等腰梯形A3CO中AC_LAB,然后證明P4_LAC,即可得到ACJL平面從而可證明平面P4C

_L平面243；(2)由V:.mP-ABE=環(huán)q檢推P-AHC?)?可得到幾、的=S悌形AE6，列出式子可求出3E,然后建立如圖的空

間坐標(biāo)系，求出平面1的法向量為4，平面PBE1的法向量為%,由cc*(%,4)=可得到答案.

【詳解】

(1)證明：