重難點38 平行四邊形綜合題

重難點38平行四邊形綜合題第186天對稱轉(zhuǎn)化便逢春1.如圖，在平行四邊形中，點是對角線的中點，點是上一點，且，連接并延長交于點.過點作的垂線，垂足為，交于點.（1）若，求的面積；（2）若，求證：.1.（1）解：∵，∴，又∵在中，，∴；（2）證明：小鹿給個思路，作輔助線，證明全等，然后求值，輔助線小鹿都幫你們作好了，剩下的，就由鹿寶們完成.過點作于點，過點作于點與交于點，連接，作圖就交給你了.∵，∴.∵，∴.又∵，∴.∵，設交于點，∴.設，則，∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴.在等腰中，，∴，∴.∵是的中點，∴.∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴.第187天構(gòu)造特殊三角形2.如圖①，在等腰中，，點在上(且不與點重合)，在的外部作等腰，使，連接，分別以為鄰邊作平行四邊形，連接.（1）請判斷線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，當點在線段上時，連接，請判斷線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2.解：（1）.理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形，∴；（2）.理由：小鹿在這里保證，不難不難，完全在小寶貝的能力范圍內(nèi).連接，記與的交點為.動動手吧.∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴.怎么樣呢，小鹿是不會誆小可愛們的.第188天隱藏三角有驚喜3.如圖，在平行四邊形中，于點，將平行四邊形沿所在直線折疊，使點落在點的位置，點落在點的位置.(1)求證:;(2)若，求的度數(shù);(3)在（2）的條件下，連接，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.3.(1)證明:全等條件，哪個好用，我們就用哪個.設交于點，∵四邊形是平行四邊形，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，垂直平分，∴，.又∴分別是和的中位線，點分別平分線段，.所以，∵∴（2）解解:理由如下:連接.由折疊的性質(zhì)可知，，，四邊形是平行四邊形，.，由得，，在中，，第189天動點最值情意濃4.如圖①，在平行四邊形中，，，，平分交于點，點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，連接.（1）求證：是等邊三角形；（2）如圖②，當點在線段上運動時，的周長是否存在最小值?若存在，求出周長的最小值;若不存在，請說明理由;(3)如圖③，當點在射線上運動時，是否存在以點，，為頂點的直角三角形?若存在，求出此時的值;若不存在，請說明理由.4.(1)證明:從角出發(fā)證明等邊三角形會更簡單喲.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴為等邊三角形；（2）解：存在，理由如下：平分，∴.在平行四邊形中，，為等邊三角形，.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∴，，∴為等邊三角形，.，∴時，周長最小，當時，，，周長最小為;(3)解:存在.①當點與點重合時，點，，不能構(gòu)成三角形；②時，易得為等邊三角形，∵,又，∴，可能為直角.當時，為等邊三角形，，∵，，③當時，;④當時，，,可能為當時，，，綜上所述，為或時，以點，，為頂點的三角形是直角三角形.第190天坐標遇見四邊形5.如圖①，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，點在軸的負半軸，且.（1）求直線的解析式；（2）如圖②，已知點在直線上，其橫坐標為，點，分別是直線和軸上的動點，當?shù)闹底钚r，求此時點，(2)的結(jié)論下，點，分別是直線，上的動點，若以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點，的坐標.5.解：（1）直線交軸于點，交軸于點，令，則，∴點，令，則點，點在軸的負半軸且，點，點，設直線的解析式為，代入點，，直線的解析式為;(2)由知，點，，是直角三角形，.點，點關(guān)于直線的對稱點，點在直線上，其橫坐標為，∴點，∴點關(guān)于軸的對稱點，如解圖，連接交直線于點，交軸于點，此時，的值最小，直線的解析式為①，令點.直線的解析式為③，聯(lián)立①②解得，，，所以點；(3)由知，直線，設點，直線，設點，由知，點，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，①當為對角線時，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得:，，，，∴點，.②當為對角線時，同理得,,③當為對角線時，同理得，,∴點即:以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，點或，或綜合強化練381.如圖，在等邊中，，動點從點出發(fā)以的速度沿勻速運動.動點同時從點出發(fā)以同樣的速度沿的延長線方向勻速運動，當點到達點時，點，同時停止運動.設運動時間為過點作于點，連接交邊于點，以，為邊作平行四邊形.（1）為何值時，為直角三角形；（2）求的長；（3）取線段的中點，連接，將沿直線翻折，得，連接，當為何值時，的值最小?并求出最小值.解：（1）∵是等邊三角形，∴，∴當時，，∴，解得，