第26講 二元一次不定方程（教師版）

第26講二元一次不定方程（教師版）一、第26講二元一次不定方程1.解方程2x-3y=8．【答案】解：由原方程易得

2x=8+3y，x=4+．因此，對(duì)y的任意一個(gè)值，都有一個(gè)x（=4+）與之對(duì)應(yīng)，此時(shí)x與y的值滿足原方程，是原方程的一組解．即原方程的解可表示為

(k為任意數(shù))．【解析】【分析】由y取值的任意性，可知上述不定方程有無窮多組解。一般地，二元一次不定方程總有無窮多組解．將其中的一個(gè)未知數(shù)看作常數(shù)，解出另一個(gè)未知數(shù)：看作常數(shù)的未知數(shù)取為任意數(shù)．對(duì)二元一次不定方程，我們通常研究它的整數(shù)解．只需取k為偶數(shù)，則x、y都是整數(shù).2.求方程2x+6y=9的整數(shù)解．【答案】解：∵2x+6y=2(x+3y)，

∴不論x和y取何整數(shù)，都有2|2x+6y，

又∵29，

∴不論x和y取什么整數(shù)，2x+6y都不可能等于9．

即原方程無整數(shù)解．

【解析】【分析】并非所有的二元一次方程都有整數(shù)解．二元一次方程什么時(shí)候有整數(shù)解，什么時(shí)候沒有整數(shù)解呢?

我們有下面的定理：定理1整系數(shù)方程ax+by=c有整數(shù)解的充分而且必要條件是a與b的最大公約數(shù)d能整除c．定理1告訴我們，若d|c，則原方程有整數(shù)解；若dc,則原方程沒有整數(shù)解．3.求方程4x+10y=34的整數(shù)解．【答案】解：因?yàn)?與10的最大公約數(shù)為2，而2|34，

由定理1得原方程有整數(shù)解．兩邊約去2后，得2x+5y=17，故．因此，要使y為整數(shù)，必須2(1-x)是5的倍數(shù)，因?yàn)?與5互質(zhì)，所以x-1是5的倍數(shù)，即x=1+5k，k為任意整數(shù)．代入得y=3-2k．即原方程的整數(shù)解為

(k為任意整數(shù))．【解析】【分析】由定理1整系數(shù)方程ax+by=c有整數(shù)解的充分且必要條件是a與b的最大公約數(shù)d能整除c，我們知道，若ax+by=c有解，則a與b的最大公約數(shù)d|c．這時(shí)，我們可以在原方程的兩邊同時(shí)約去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一個(gè)同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．這時(shí)a1與b1的最大公約數(shù)為1．因此，只要討論d=1的情況即可．我們有如下的定理：

定理2若a與b的最大公約數(shù)為1(即a與b互質(zhì))，x0、y0為二元一次整系數(shù)不定方程ax+by=c的一組整數(shù)解(也稱為特解)，則ax+by=c的所有整數(shù)解(也稱通解)為(k為任意整數(shù))．因此，當(dāng)d=1時(shí)，ax+by=c有解，并且解這個(gè)二元一次方程的關(guān)鍵在于找它的一組特解x0、y0.4.求方程2x+3y=5的整數(shù)解．【答案】解：我們很容易發(fā)現(xiàn)，x=1，y=1是方程的一組解，

又因?yàn)?2，3)=1，由定理2，若a與b的最大公約數(shù)為1(即a與b互質(zhì))，x0、y0為二元一次整系數(shù)不定方程ax+by=c的一組整數(shù)解(也稱為特解)，則ax+by=c的所有整數(shù)解(也稱通解)為，

(k為任意整數(shù))．方程的所有整數(shù)解為，(k為任意整數(shù))．【解析】【分析】通過觀察，容易發(fā)現(xiàn)一組解．但有時(shí)，不定方程的特解是不容易獲得的，如不定方程1999x+105y=1就很難直接找到一組整數(shù)解．5.求方程3x+5y=12的整數(shù)解?！敬鸢浮拷猓河?x+5y=12得

所以當(dāng)且僅當(dāng)3|y時(shí)，x為整數(shù)．

取y=3，得=-1．

即x=-1，y=3是原方程的一組解．

因此，原方程的所有整數(shù)解為，(k為任意整數(shù))．【解析】【分析】通過觀察，容易發(fā)現(xiàn)一組解；根據(jù)定理：若a與b的最大公約數(shù)為1(即a與b互質(zhì))，x0、y0為二元一次整系數(shù)不定方程ax+by=c的一組整數(shù)解(也稱為特解)，則ax+by=c的所有整數(shù)解(也稱通解)為，

可得原方程的整數(shù)解.6.求方程3x+5y=31的整數(shù)解．【答案】解：由原方程，得即x=10-2y+，要使方程有整數(shù)解，必須為整數(shù)．取y=2，得x=10-2y+=10-4+1=7；

故x=7，y=2是原方程的一組解．

因此，原方程的所有整數(shù)解為，(k為任意整數(shù))．【解析】【分析】通過觀察、計(jì)算可得原方程的一組解，再由定理：若a與b的最大公約數(shù)為1(即a與b互質(zhì))，x0、y0為二元一次整系數(shù)不定方程ax+by=c的一組整數(shù)解(也稱為特解)，則ax+by=c的所有整數(shù)解(也稱通解)為，

可得原方程的整數(shù)解.7.求方程3x+5y=31的正整數(shù)解．

【答案】解：∵3x+5y=31，

∴x==10-2y+，

要使方程有整數(shù)解，必須為整數(shù)；

取y=2，得x=7；

∴x=7，y=2是原方程的一組解；

∴3x+5y=31的所有整數(shù)解為

，(k為任意整數(shù))．要求原方程的正整數(shù)解，只要使x>0，y>0即可．

即有不等式組，

這個(gè)不等式組的解為．

注意到k為整數(shù)，在這范圍內(nèi)的整數(shù)k只有0或-1．

分別令k=0和k=-1，得到原方程的所有正整數(shù)解為.【解析】【分析】求二元一次不定方程的正整數(shù)解時(shí)，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式組．由不等式組解得k的范圍．在這范圍內(nèi)取k的整數(shù)值，代人通解，即得這個(gè)不定方程的所有正整數(shù)解．8.求方程5x-3y=-7的正整數(shù)解．【答案】解：原方程可化為，即y=4時(shí)，x=1．即為原方程的一組整數(shù)解．

因此，原方程的所有整數(shù)解為,(k為任意整數(shù))．

再令x>0，y>0，即有不等式組解得．

所以原方程的正整數(shù)解為,(k為非負(fù)整數(shù))．【解析】【分析】先將原方程變形，觀察得出原方程的一組整數(shù)解，再由定理：若a與b的最大公約數(shù)為1(即a與b互質(zhì))，x0、y0為二元一次整系數(shù)不定方程ax+by=c的一組整數(shù)解(也稱為特解)，則ax+by=c的所有整數(shù)解(也稱通解)為，

可得原方程的整數(shù)解，從而得出原方程的正整數(shù)解.9.求方程11x+5y=12的正整數(shù)解．【答案】解：如果方程有正整數(shù)解，則x≥1，y≥1．因此11x+5y≥11+5=16．方程的右端為12，所以這個(gè)方程無正整數(shù)解．【解析】【分析】一般地，若方程ax+by=c,a>0，b>0，a+b>c；則這個(gè)方程無正整數(shù)解．10.已知a、b為正整數(shù)，并且、、都是既約真分?jǐn)?shù)．如果、、的分子都加上b，得到的三個(gè)分?jǐn)?shù)的和為6．求這三個(gè)既約真分?jǐn)?shù)的積．

【答案】解：由題意，我們有，整理得

3a+11b=64．

①

問題轉(zhuǎn)化為求3a+11b=64的正整數(shù)解．

由3a+11b=64得，從而a=21-4b+．令b=2，得a=14.

即這個(gè)不定方程有一組整數(shù)解，

從而它的所有整數(shù)解為

，(k為任意整數(shù))．

令a>0，b>0，得不等式組解得．

從而k=0或-1．