第1章 整式的乘除章末重難點(diǎn)題型總結(jié)（學(xué)生版）

第1章整式的乘除章末重難點(diǎn)題型總結(jié)【北師大版】【考點(diǎn)1冪的基本運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】掌握冪的基本運(yùn)算是解題關(guān)鍵．同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an=am+n（m，n是正整數(shù)）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n=amn（m，n是正整數(shù)）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)m÷an=am-n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）【例1】（2020春?雨花區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣a3）2＝a6 C．a(chǎn)9÷a3＝a3 D．（﹣bc）4＝﹣b4c4【變式1-1】（2020秋?鹿城區(qū)校級(jí)月考）下列運(yùn)算正確的是（）A．2a2+a＝3a3 B．（2a2）3＝6a6 C．（﹣a）3?a2＝﹣a6 D．（﹣a）2÷a＝a【變式1-2】（2020春?順德區(qū)期末）下列計(jì)算正確的是（）A．（3×103）2＝6×105 B．36×32＝38 C．（-13）4×34＝﹣1 D．36÷32＝【變式1-3】（2020春?葉集區(qū)期末）下列計(jì)算正確的是（）A．（x3）2＝x5 B．x3?x5＝x15 C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3 D．x6÷x3＝x2【考點(diǎn)2冪的混合運(yùn)算】【例2】（2019春?漳浦縣期中）計(jì)算（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2；（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]．【變式2-1】（2019春?海陵區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2【變式2-2】（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2（2）（x﹣y）2?（y﹣x）7?[﹣（x﹣y）3]【變式2-3】（2020春?安慶期中）計(jì)算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）【考點(diǎn)3巧用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】【例3】（2020春?寧遠(yuǎn)縣期中）計(jì)算（-512）2019×（225A．-512 B．-125 C．5【變式3-1】（2020春?市中區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：0.1252020×（﹣8）2021＝．【變式3-2】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于．【變式3-3】（2019春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（23）2014×1.52012×（﹣1）【考點(diǎn)4冪的逆運(yùn)算】【例4】（2019秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）解答下列問題（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x?81y的值．【變式4-1】（2020春?江陰市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m?16n的值．（2）已知n為正整數(shù)，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【變式4-2】（2019春?邗江區(qū)校級(jí)月考）（1）若4a+3b＝3，求92a?27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【變式4-3】（2020?河北模擬）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整數(shù)），則m＝n．利用上面結(jié)論解決下面的問題：（1）如果2÷8x?16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．【考點(diǎn)5巧用冪的運(yùn)算進(jìn)行大小比較】【例5】（2020春?邗江區(qū)校級(jí)期中）若m＝272，n＝348，則m、n的大小關(guān)系正確的是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．大小關(guān)系無法確定【變式5-1】（2020春?淮陰區(qū)期中）比較255、344、433的大?。ǎ〢．255＜344＜433 B．433＜344＜255 C．255＜433＜344 D．344＜433＜255【變式5-2】（2020春?玄武區(qū)期中）233、418、810的大小關(guān)系是（用＞號(hào)連接）．【變式5-3】（2020春?李滄區(qū)期中）閱讀下列兩則材料，解決問題：材料一：比較322和411的大?。猓骸?11＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小結(jié)：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大小材料二：比較28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小結(jié)：底數(shù)相同的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大小【方法運(yùn)用】（1）比較344、433、522的大?。?）比較8131、2741、961的大?。?）已知a2＝2，b3＝3，比較a、b的大?。?）比較312×510與310×512的大小【考點(diǎn)6冪的運(yùn)算中新定義問題】【例6】（2020春?漳州期末）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因?yàn)?2＝9，所以（3，9）＝2．（1）[理解]根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，8）＝，（2，14）＝（2）[說理]記（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．試說明：a+b＝c；（3）[應(yīng)用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．【變式6-1】（2020春?儀征市期中）某學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)了冪的有關(guān)知識(shí)發(fā)現(xiàn)：根據(jù)am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值嗎？他們?yōu)榇诉M(jìn)行了研究，規(guī)定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝；（2）計(jì)算：T(（3）探索T（2，3）+T（2，7）與T（2，21）的大小關(guān)系，并說明理由．【變式6-2】（2020春?濰坊期中）一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘a?a?…?a，記為an，如2×2×2＝23＝8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為lognb（即lognb）．如34＝81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381＝4）．（1）計(jì)算下列各對(duì)數(shù)的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式；（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？（4）根據(jù)冪的運(yùn)算法則：an?am＝an+m以及對(duì)數(shù)的含義說明上述結(jié)論．【變式6-3】（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作【a，b】：如果ac＝b．那么【a，b】＝c例如因?yàn)?3＝8．所以【2，8】＝3（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：【4，16】＝，【7，1】＝【，81】＝4（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象【3n，4n】＝【3，4】小明給出了如下的證明：設(shè)【3n，4n】＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問題：①證明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【，】（結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）【考點(diǎn)7整式的乘法】【例7】（2020春?新邵縣期末）在一次數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，小明回家后，拿出課堂筆記本復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你認(rèn)為“□”內(nèi)應(yīng)填寫（）A．1 B．﹣1 C．3x D．﹣3x【變式7-1】（2019春?灌陽(yáng)縣期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次項(xiàng)，則a的值是（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【變式7-2】（2019春?蜀山區(qū)期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b為整數(shù)，則ab的值為（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【變式7-3】（2019春?渾南區(qū)校級(jí)期中）若不管a取何值，多項(xiàng)式a3+2a2﹣a﹣2與（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，則m、n的值分別為（）A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】【例8】（2020春?建鄴區(qū)期末）根據(jù)需要將一塊邊長(zhǎng)為x的正方形鐵皮按如圖的方法截去一部分后．制成的長(zhǎng)方形鐵皮（陰影部分）的面積是多少？幾名同學(xué)經(jīng)過討論給出了不同的答案，其中正確的是（）①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④【變式8-1】（2019秋?平山縣期末）根據(jù)圖1的面積可以說明多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根據(jù)圖2的面積可以說明多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2【變式8-2】（2020春?鹽都區(qū)期中）如圖，現(xiàn)有正方形卡片A類，B類和長(zhǎng)方形卡片C類若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為（a+3b），寬為（a+2b）的大長(zhǎng)方形，則需要C類卡片（）A．3張 B．4張 C．5張 D．6張【變式8-3】（2020春?漳州期末）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種表示最大長(zhǎng)方形面積的方法：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你認(rèn)為其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】【例9】（2020春?邗江區(qū)校級(jí)期中）若x，y滿足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【變式9-1】（2020春?廣陵區(qū)期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．【變式9-2】（2020春?灌云縣期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代數(shù)式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【變式9-3】（2020春?新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．【考點(diǎn)10乘法公式幾何背景】【例10】（2020春?新昌縣期末）某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：（1）從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是．（2）先剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長(zhǎng)分別為a和b的長(zhǎng)方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形紙片，再剪出三張邊長(zhǎng)分，別為a和b的長(zhǎng)方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？如果可以，請(qǐng)畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式，如果不能，請(qǐng)說明理由．【變式10-1】（2020春?肅州區(qū)期末）如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是（寫成平方差的形式）．（2）如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的寬是，長(zhǎng)是，面積是．（寫成多項(xiàng)式乘法形式）（3）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到公式．（4）請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，則2m﹣n＝．②計(jì)算：20202﹣2018×2022．③計(jì)算：(1-1【變式10-2】（2020春?三明期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．（1）請(qǐng)寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的乘法公式．圖1，圖2，圖3．（2）用4個(gè)全等的長(zhǎng)和寬分別為a，b的長(zhǎng)方形拼擺成一個(gè)如圖4的正方形，請(qǐng)你通過計(jì)算陰影部分的面積，寫出這三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，計(jì)算：當(dāng)x+y＝3，xy＝﹣10時(shí)，求x﹣y的值．【變式10-3】（2020春?東城區(qū)校級(jí)期末）如圖，有足夠多的邊長(zhǎng)為a的小正方形（A類）、長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形（B類）以及邊長(zhǎng)為b的大正方形（C類），發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長(zhǎng)方形來解釋某些等式．比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取圖①中的若干個(gè)（三種圖形都要取到）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為（2a+b）（a+2b），在虛框中畫出圖形，并根據(jù)圖形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干個(gè)（三種圖形都要取到）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為a2+5ab+6b2．根據(jù)你畫的長(zhǎng)方形，可得到恒等式；（3）如圖③，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，若用x，y表示四個(gè)相同形狀的長(zhǎng)方形的兩條鄰邊長(zhǎng)（x＞y），觀察圖案，指出以下正確的關(guān)系式（填寫選項(xiàng)）．A．xy=m2-n24B．x+y＝mC．x2﹣y2＝mnD．【考點(diǎn)11整式乘除的計(jì)算與化簡(jiǎn)】【例11】（2019春?淄川區(qū)期中）（1）計(jì)算：①a5?（﹣a）3+（﹣2a2）4．②-4③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2（2）先化簡(jiǎn)，再求值：①(x+y)2-(②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b滿足2a﹣8b﹣6＝0．【變式11-1】（2020春?鄆城縣期末）計(jì)算：（1）（﹣2ab）2?3b÷（-13ab（2）用整式乘法公式計(jì)算：912﹣88×92（3）先化簡(jiǎn)，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=-1【變式11-2】（2020春?競(jìng)秀區(qū)期末）計(jì)算題：（1）82019×（﹣0.125）2020（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式進(jìn)行計(jì)算）；（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（5）先化簡(jiǎn)，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．【變式11-3】（2019春?南山區(qū)校級(jí)期中）（1）化簡(jiǎn)：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；（2）計(jì)算：20092﹣2010×2008；（3）化簡(jiǎn)：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代數(shù)式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代數(shù)式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m