《自動控制理論》第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法

第5章線性系統(tǒng)的頻域分析法

，重點與難點

一、基本概念

1.頻率特性的定義

設某穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率

的正弦函數(shù)，其振幅與輸入正弦信號的振幅之比4⑦）稱為幅頻特性，其相位與輸

入正弦信號的相位之差火口）稱為相頻特性。系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)之間有著以

下重要關系：

G（網(wǎng)=G（s）島。

2.頻率特性的幾何表示

用曲線來表示系統(tǒng)的頻率特性，常使用以下幾種方法：

（1）幅相頻率特性曲線：又稱奈奎斯特（Nyquist）曲線或極坐標圖。它是以切為

參變量，以復平面上的矢量表示G（，G）的一種方法。

（2）對數(shù)頻率特性曲線：又稱伯德（Bode）圖。這種方法用兩條曲線分別表示幅

頻特性和相頻特性。橫坐標為,，按常用對數(shù)Iga分度。對數(shù)相頻特性的縱坐標表

示以⑼，單位為”（度）。而對數(shù)幅頻特性的縱坐標為L（G）=201gA（G）,

單位為dBo

（3）對數(shù)幅相頻率特性曲線：又稱尼柯爾斯曲線。該方法以3為參變量，叭①）為

橫坐標，〃①）為縱坐標。

3.典型環(huán)節(jié)的頻率特性及最小相位系統(tǒng)

（1）慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G（s）=—-

其頻率特性G(ja))=G(s)

Tsi+i

1

對數(shù)幅頻特性La)=201g

Jl+T2G2

(5.1)

其漸近線為

0Tco<l

L(<y)=s(5.2)

八[—201g(TMTCD>\

在丁@=1處，漸近線與實際幅頻特性曲線相差最大，為3dB。

對數(shù)相頻特性

。(⑼=-arctg(T。)(5.3)

其漸近線為

0Teo<0.1

心(8)=<〃+blg(T。)0.1<Teo<10(5.4)

-90°Ta)>10

當TG=0.1時，有

0=<2+/?lg0.1=a-b(5.5)

當77。=10時，有

-90°=a+b\g\0=a+b(5.6)

由式(5.5)、式(5.6)得

Q=T5。b=45°

因此：

0Teo<0.1

心3)二—45。聯(lián)107切0.1<T6y<10(5.7)

-90°TCD>\Q

(2)振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G($)=2c2…—0<<1

T2S2+2切+1

其頻率特性

1

G(jco)=G(s)|“2J△所+(1-72。2)

對數(shù)幅頻特性

L((v)=-201gJ(l-72G2)2+4鏟7202(5.8)

其漸近線為

0T①<1

(5.9)

一401g(ny)Tco>1

當《＜0.707時，在①T=J-2針處漸近線與實際幅頻特性曲線相差最大，為

1

201g

2Mz二

/、2&ofT

對數(shù)相頻特性夕⑷二-arctg匚行

(3)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)：不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=—!—

Ts-\

其頻率特性G(js)=G(s)上Z=7*_1

L(^)=201g^2=

對數(shù)幅頻特性

gT?①2

其漸近線為

0Ta)<\

4(。)=

-201g(T6y)Tco>\

對數(shù)相頻特性為0(。)=-180°+arctJT。)

其漸近線為

-180°Teo<0.1

(ty)=,-180°+45°lg(lOTty)0.1<T^<10

-90°Ta)>10

(4)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)：不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=)2--------------------------

T2S2-2^TS+1

其頻率特性

G(那)=G(s)|~二-----二--------

"川(T-T?①2)_21時

1

對數(shù)幅頻特性L(。)=201g

7(l-T2ey2)2+4^2T26y2

其漸近線為

0TCD<\

L0(①)=,

-401g(Tty)TG)>\

對數(shù)相頻特性(p{co)=-360°+arctgjiq

各典型環(huán)節(jié)的奈奎斯特圖，零極點分布圖及伯德圖分別如圖5-1、圖5-2及圖5-3

所示。表5T給出了典型環(huán)節(jié)頻率特性的匯總。

(5)最小相位系統(tǒng)：開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。

4.奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)極點在s的右半平面的個數(shù)

Z=P-2N

式中P為系統(tǒng)開環(huán)極點在s右半平面的個數(shù)；N為開環(huán)幅相曲線(g￡(0,+8))

逆時針包圍點(-1,j0)的圈數(shù)。

N=N十-N一

式中N+為正穿越次數(shù)和正半次穿越的和：N一為負穿越次數(shù)和負半次穿越的和。

判斷：若Z=0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0,則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

正穿越：隨著切的增大，開環(huán)幅相曲線逆時針穿越點（-1,jO）左側(cè)的負實軸，記

為一次正穿越。

負穿越：隨著切的增大，開環(huán)幅相曲線順時針穿越點（-1,jO）左側(cè)的負實軸，記

為一次負穿越。

半次穿越：開環(huán)幅相曲線起始于（或終止于）點（-1,jO）左側(cè)的負實軸。若沿逆

時針方向離開（或終止于）負實軸，記為半次正穿越；若沿順時針方向離開（或終

止于）負實軸，記為半次負穿越。半次穿越次數(shù)應為1/2。

5.穩(wěn)定裕量

當開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性由下述兩個指標來度量：

（1）幅值裕量當系統(tǒng)開環(huán)相頻特性為?180°時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性幅值的

倒數(shù)定義為幅值裕量，所對應的頻率口.稱為相角交界頻率.即

h=-------5-------

（2）相位裕量y：當系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為1時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性相角與

180°的和定義為相位裕量，所對應的頻率稱為系統(tǒng)截止頻率。即

7=180。+/6（血）”（血）

"滿足|GC/M）H（JQ）|=1。

6.對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)

按以下三種情況分別討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

1

(a)G(/O)=1NO。G(joo)=OZ-90°⑷")=日

-\/T

"=0

(b)G(s)=

T2s2+26+1(b)G(JO)=1ZO"G(joo)=0Z-180°

\/T

-x-

(c)G(JO)=1Z-18O°G(joo)=0Z-90°

1

(d)G(yO)=1^-360°G(yoo)=0Z-180°

T2s2-2^Ts+1

圖57奈奎斯特曲線圖圖5-2零極點配置圖

75-1

圖5-3伯德圖

(1)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與OdB線只有一個交點，且開環(huán)傳遞函數(shù)的零點在s

左半平面。假定單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=

u

sB(s)Y\(Tps-l)

P=I

其中，A(s)=0,8(s)=0的根均在s的左半平面，u20,T^0,K20；當u=0

時，K21,A(s),8(s)常數(shù)項為1。這時系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)可描述為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)

定的充分必要條件是穿越OdB線的頻率”所對應的開環(huán)對數(shù)相頻特性大于?1800。

其相位裕量為7=180°+ZG(j7yJ>0°。

表57典型環(huán)節(jié)

幅相頻率特性幅頻特性相位頻率特性

典型環(huán)節(jié)

G(M4⑼

放大環(huán)節(jié)/K*K0°

111j(V)J_

積分環(huán)節(jié)一——=一e2-90°

Sj①0)CO

.乃

微分環(huán)節(jié)Sja)=coe2CD+90"

1

慣性環(huán)節(jié)

Tjco+1]

1一arctan。⑼

'e，l-arctan(/3)J&&①2—

仆+1Jr%?+i

一階微分環(huán)節(jié)

769f+17(<yr)2+larctanfe?r)

75+1

振蕩環(huán)節(jié)

21J—

八2戒

①n

((①十①〃-arctan----------

,2j6r+M%j)1-te)

s+2物〃$+%圖］4百

不穩(wěn)定環(huán)節(jié)]

]

Tjco-\-1800+arctan(T69)

1?d-180'*arcttn(Tn?)l

W77NT%?+1

Ts-\

表57典型環(huán)節(jié)

對數(shù)幅頻特性曲線

幅相頻率

對數(shù)幅頻特性201gA（口）相位頻率特性*（。）201gA（0）

特性曲線

相頻夕（外）特性曲線

1iL

jlm

201cA3

尸<，-------------A

201gK0"0

0

，b

中

―?

0

卜L

3

Re

0

0I-201gty-90°

4叫-~2

3

0

A。，_6-00------------?

-95,

jlm

4。；-

a)=Q

-

201gG+90"3c

0R9

二|?

（2）開環(huán)對數(shù)幅頻特性與OdB線只有一個交點（一般情形），單位反饋系統(tǒng)的

開環(huán)傳遞函數(shù)可描繪為

叫

K「A（s）n（7>-1）

G（5）=-------------------

⑸立（7>一1）

*1

式中匯20；當u=0時，K>1.

這時系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)可描繪為：當州為奇數(shù)時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當明為0

或偶數(shù)時閉環(huán)系環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是穿越OdB線的頻率外所對應的開環(huán)對數(shù)

相頻特性大于180。（叫一1）；其相位裕量為7=180。（-叫+1）+0（叫），幅值裕量

為a=-201g|G（八名）H（八%）|。其中，火編）為開環(huán)相頻特性；3為相頻特性

oaAg

與180。(加一1)線的交點。

(3)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有在s右半平面的復數(shù)零極點的情形。

當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有在s右半平面的復數(shù)零極點時，開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成

叫叫

Ke-srA(s)口(m-1)H(叩/_2&巾+1)

G(Ms)=--------式---------------------------

4s(5)n3s-i)n-2或"+1)

p=\q=\

式中u，0,720；當u=0時，K>1°

判據(jù)如下：當州為奇數(shù)時系統(tǒng)不穩(wěn)定，當叫為零或偶數(shù)時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充

要條件是穿越OdB線頻率。，所對應的開環(huán)對數(shù)相頻特性大于180°(/n1+2嗎-1)；

系統(tǒng)的相位裕量為y=180。(-g-262+1)+0(@)，幅值裕量為

4=-201g|G(/%)”(/%)|。其中，火⑼為開環(huán)相頻特性；叫為相頻特性與

180。(辦+2吠2-1)線的交點。

7.尼柯爾斯曲線

若將開環(huán)頻率特性表示G(jco)=A(G)/。⑷

閉環(huán)頻率特性表示為①(/?)=⑹

則按下式

八…COS69±JCOS2+W2-1

4201g=201g—~~4---------

M-2-1

做等M曲線。

按下式

201g4M=201gSinS(Mi(⑼]

sin〃(。)

做等a曲線。

8.帶寬頻率和帶寬

201g|①(%)|<201g|中(4)|-3(。>%)

對于I型及I型以上的系統(tǒng)

201gl①(9)|<—3(①>①J

則以稱為帶寬頻率。

9.諧振峰值及頻率

若MM）"?⑷

則=M?，）稱諧振峰值，?稱為峰值頻率。

相位裕量/,截止頻率嘰與M,,。％及4的關系為

s1

------工------

Mrsin/

,（iA

cr=0.16+0.4-------1（35°</<90°）

Ism/；

ts=KTU/CDc

式中

1

K=2+1.5—-1+2.5(35°<y<90°)

(siny)(sin/)

10.在動態(tài)誤差系數(shù)確定中的應用

若系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為

①eG)=52+3；

式中中e/（S）的極點均在$左半平面。

系統(tǒng)單位階躍輸入作用下的動態(tài)誤差可寫成

//G)丫%)

包MISCO1人$

將2電2看作輸入的拉氏變換，將色&看作專遞函數(shù)，求相應的正弦響應便

S+QSCOt

可得到動態(tài)誤差。

二、基本要求

（1）運用頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。

（2）確定系統(tǒng)的動態(tài)誤差系數(shù)。

（3）做Nyquist曲線圖，Bode圖。

（4）穩(wěn)定性判據(jù)。

（5）相位裕量、幅值裕量的計算。

（6）閉環(huán)頻率特性的基本知識和有關指標。

（7）系統(tǒng)指標的近似估算。

（8）用實驗數(shù)據(jù)確定傳遞函數(shù)，由Bode圖得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

三、重點與難點

1.重點

（1）開環(huán)頻率特性的繪制（包括極坐標圖和對數(shù)坐標圖）；

（2）奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)；

（3）開環(huán)頻率特性指標；

（4）閉環(huán)頻率特性指標。

2.難點

（1）非最小相位系統(tǒng)相頻特性；

（2）奈奎斯特路徑有變化時奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應用；

（3）截止頻率0c的計算

紜的確定對于計算系統(tǒng)的相位裕量至關重要，是本章計算內(nèi)容的重點和難點?！钡?/p>

計算可按以下步驟進行。

①按分段描述方法，寫出對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線方程表達式。

201gA⑻

COQ<CD<CD{

201gA2(a))<CD<CD2

L(①)二?

201g4-(。)%_2W&<

①之①

201gAm(co)m

②按順序求4（。）=1之解ft/,考查例_］必成立與否；若成立，則”=&",

停止計算；若974?！蠢怀闪ⅲ瑒t令i=i+i,重新解43）=1。

（4）幅值裕量的計算

幅值裕量計算之難點在于的計算。步及了三角方程，求解比較困難，有時只

能采用迭代計算。即先做出相頻特性的漸近線，然后再估計迭代初值的區(qū)間。

。例題解析

例5-1已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(5)=-——~~-

ks(s+3)($+5)

(1)用奈奎斯特判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；

(2)用奈奎斯特判據(jù)確定使全部閉環(huán)極點均位于s左半部，且實部的絕對值都大于

1的條件；

(3)用奈奎斯特判據(jù)確定使全部閉環(huán)極點均位于s左半部且全部復極點的阻尼系數(shù)

都大于走的條件。

2

解：(1)此題是I型系統(tǒng)，取奈奎斯特路徑如圖57所示，即奈奎斯特路徑選取了

由以下各段組成的s平面上的封閉曲線：

①正虛軸：s=js頻率由從0,變化到8；

②半徑為無窮大的右半圓：s=Re，',R78,6由工變化到一?土；

22

③負虛軸：頻率①從一8變化到0;

④半徑為無窮小的右半圓：s=Rg",R-?0,夕由一工變化到工；

22

先求與路徑①對應的奈奎斯特圖，將5=//代入G^s)

K

G?M=

jco{jco+3)(J<y+5)

K

sM+CD?125十護

/\八八。coco

(p(co)=-90-arctan——arctan—

0(0)=—90°;夕(8)=-270°

—8K

?(助二(9+/)(25+〃)

(D-15)K

Q(⑼=

a)(9+a)2)(25+a)2)

圖57

求與實軸的交點，令Q(0)=O,解得刃2=i5,G=±Ji5P±3.87

P(歷=一8KK

(9+15)(25+15)120

與路徑②對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮小。角度從一27()。逆時針轉(zhuǎn)到270。的圓弧,

由于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特曲穩(wěn)定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以圖中略去。

與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑①對應的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。

與路徑④對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮大，角度從90°順時針轉(zhuǎn)到一90。的圓弧。

畫出奈奎斯特圖如5-2所示。要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，要求。>一工>一1，即當

120

0<K<120時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)此時，取奈奎斯特路徑如圖5-3所示，即奈奎斯特路徑選取了由以下各段組成

的s平面上的封閉曲線：

①平行于正虛軸直線：s=jco-\f頻率s由0變化到8；

②半徑為無窮大的右半圓：s=Re",Rf8,a1J2變化到一工；

22

③平行于正虛軸直線：s=jco-\9頻率。由-8變化到0；

先求與路徑①對應的奈奎斯特圖

K

將S=/口一1代入G(5)=…得

ks(s+3)(5+5)

Gk(j①-1)=G*(j①)=----------------------

k①+4)

注意此時的G&*（"y）已不是I型系統(tǒng)形式，而是非最小相位傳遞函數(shù)

=/廠K_

9(①)=一arctan言-arctan?-(180°-arctanty)

ic八。①co

--180+arctmco-arctan---arctan—

24

9(0)=-180°;°(8)=-270°

?八、—K(8+5①2)

r(CO)=-------------------------z--------T-

(1+/)(4+/)(]6+/)

一陰2力-蘇）

。⑻二（1+〃，）（4+。2）（］6+〃）2）

求與實軸的交點，令。（⑼=0,解得。=0,

①3P（0）=-。（揚=-5

olo

畫出奈奎斯特圖如圖5-4所示。

與路徑②對應的奈奎斯特圖是半徑為

無窮小，角度從一270。逆時針轉(zhuǎn)到270。的

圓弧，由于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特穩(wěn)

定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以圖

中略去。

與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑①

對應的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。要使

此圖滿足穩(wěn)定的要求-巴＜-1〈-q，即

818

當8vKvl8時滿足全部閉環(huán)極點均位

于s左半平面且實部絕對值都大于1的條

件。

解二：本題的結(jié)果也可以利用勞斯判據(jù)來獲得，方法是平移坐標軸后再用勞斯判據(jù)

判斷相對穩(wěn)定的條件。令s=x-l代入特征方程

A=53+8S2+15S+K=0

整理得A=x3+5x2+2x-8+K=0

列勞斯陣列如下

X312

X25K-8

18—K

X""5-

x°K—8

要使勞斯陣列第一列都大于零,可解得8vK<18。當8vK<18時滿足全部閉環(huán)

極點均位于s平面左半部且實部的絕對值都大于1的條件，此結(jié)果與應用奈奎斯特判據(jù)

所得結(jié)果完全相同。

（3）此時取奈奎斯特路徑如圖5-5所示，即奈奎斯特路徑選取了由以下各段組成的s

平面上的封閉曲線：

①與負虛軸成45。角的直線：s=-x+jx,頻率x由0變化到8；

33

②半徑為無窮大的右半圓：s=RW,R.8,6由二變化到——；

44

③與負虛軸成45。角的直線：s=x+/x,頻率x由一8變化到0；

3?3兀

④半徑為無窮小的右半圓：s=R0",R'-0,夕由一工到二；

44

K

先求與路徑①對應的奈奎斯特圖，將5=一%+"代入GA（S）=

S(S+3)(54-5)

得

G(-x+jx)=G*(")=

kk(r+jx)(3一x+jx)(5-x+jx)

4⑷=

42X^(3-X)2+X27(5-X)2+X2

XX

(p{co)=-1350-arctan-----arctan----

3-x5-x

e(0)=一135°;火3)=-281.31°;^(5)=一336.8°;08)=-405°

(2/一15水________

P(x)=

24(3-x)2+X2][(5+X)2+X2]

(-2X2+1615)K

O(x)=

24(3-X)2+X2][(5+X)2+X2]

求與實軸的交點，令。*）=0,解得尢=4土叵」他915（與正實軸的交點頻率，與負

21.085（與負實軸的交點頻率

實軸的交占P（4—叵）=（215）K=—』—

2（）22）22V3449734-272

2X[3-X+X][[5+X+X]A=4一,

土欄,。(欄)為與虛軸的交點值。

再求與虛軸的交點，令P(x)=O,解得X=

與路徑②對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮小，角度從-405。逆時針轉(zhuǎn)到405。的弧，由

于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以，圖中略去。

與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑①對應的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。

與路徑④對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮大，角度從135。順時針轉(zhuǎn)到735。的圓弧。

畫出奈奎斯特圖如圖5-6所示，由圖可知，滿足全部閉環(huán)極點均位于s左半部且實

部的絕對值都大于1的條件是

—K

0<<-1

49734-272

即當0<K<49后一272之13.7時滿足要

求。

解二：此題可用根軌跡法來求，畫出根軌跡

如圖5-7所示，滿足題示要求即是要求出根軌跡

與阻尼角為45。的射線所夾部分根軌跡增益的范

圍。

令s=%(1+j),則

/=2x2j,s3=x\-\+j)

代入特征方程

圖5-7

A=?+852+155+7C

可得實部方程

—2d+15尤+K=0

和虛部方程

2X3+16X2+15X=0

市臃汨八知一回卜6.915(與正反饋根軌跡的交點

可解得x=0和％=-4±---=

21-1.085(與負反饋根軌跡的交點

A：=(2X3-15X)|_+叵=49取一272al3.7

結(jié)合根軌跡圖可知，當OVKV13.7滿足使全部閉環(huán)極點均位于s平面左半部且全

部復極點的阻尼系數(shù)都大于正的要求。

2

例5-2已知開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)”(s)=：G+2),畫出與完整的奈奎斯特路徑相

s'+3s+1

對應的奈奎斯特圖。

(1)確定相對于G(s)"(s)平面的原點的MP和Z的值。從而判斷開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)

定。

(2)求取相對于一1點的N,P和Z的值。從而判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解一：(1)首先要確定開環(huán)零，極點的位置，由于本題開環(huán)零點以確定，而分母是

以多項式形式給出，所以只要確定開環(huán)極點的位置。方法由三種：

a)勞斯判據(jù)法對開環(huán)特征方程$3+3s+1=0,列勞斯陣列如下

$313

5201

51-00

5°1

由勞斯判據(jù)可判斷開環(huán)特征方程有一個左根和兩個右根，沒有虛軸上的根。

b)根軌跡法對開環(huán)特征方程1+3s+i=0,可改寫為

1K

1+V—=1+Y—=0于是J+3s+l=0的根可看作在等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

+35(52+3)5

1\=1

G/=——的根軌跡上，取K=1時的點，此時根軌跡如圖5-9所示。由根軌跡可知,

(S2+3)5

當K=1時開環(huán)特征方程i+3s+1=°有一個負實根和一對實部為正的共枕復根。

c）奈奎斯特判據(jù)法此法是題中要求的方法。即畫出完整的奈奎斯特曲線，求出該

曲線對G^s）平面對原點包圍的次數(shù)No,若此時開環(huán)右零點數(shù)及已知，則開環(huán)右極點數(shù)

Po=Zo-No,此法可與閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判別同時進行。

（2）下面畫出與完整的奈奎斯特路徑相對應的奈奎斯特圖。

為了確定奈奎斯特路徑，必須先確定開環(huán)傳遞函數(shù)是否有虛軸上的極點。

設

1=3$+1=($+〃)(/+bs+c)=53+(ab+c)s+QC=O

因為QC=1W0,所以awO,cwO,

因為。+/?=0，所以Z?=—awO

因為〃w0，Z?wO和cwO,所以開環(huán)傳遞函

數(shù)沒有虛軸上的極點。

此題是0型系統(tǒng)，取奈奎斯特路徑如圖5-8

所示，即奈奎斯特路徑選取了由以下各段組成的s

平面上的封閉曲線：

①正虛軸:S=,頻率G由0變化到00；

②半徑為無窮大的右半圓：

,a兀兀

s=Re",/?-8,6由5變化到-不；

③負虛軸：S=j①,頻率S由-8變化到0；

先求與路徑①對應的奈奎斯特圖，將s=

代入Gq（s）得

、3(2+/O)3[2+(3-02)02]+3(24-5)勾

1+(3-蘇=應----------------Z1=+-(--3-----0--2--)---2--。---2------------I--------------------

尸@)=3[2十8-叱)。]

1+(3—①2)2①2

2302—5）①

Q\（o）---------------

1+8-"）202

P（o）=6,。（0）=0,P（8）=0,Q（8）=0

求與實軸的交點，令Q（0）=O,解得0=0和G=±J55；A

解得P（0）=6,P（后）=6再求與虛軸的交點，W

令4-

尸（口）=0,可得方程編4—3。2-2=03-

解得

1-

\/1

圖5-9

71

其次求與路徑②對應的奈奎斯特圖，將S=代入G*(s).其中R—00,夕由不變化到

71

--?

2，

得limG/s)=lim二=0xe-j2G

…28s5=Re〃

這表明與路徑②對應的奈奎斯特圖是連接GK+oo)和GHY。)的半徑為無窮小，角

度從-180。逆時針轉(zhuǎn)到180。的圓弧，如圖5T0中原點附近的虛線小圓弧所示。此段奈奎

斯特圖與用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷無關，但與用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對

開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷有關。

與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑

①對應的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。

畫出極坐標圖如5-10所示。此時，

奈奎斯特曲線對G^s)平面原點的包圍

次數(shù)M)=-2,已知開環(huán)右零點數(shù)Zo=0,于是

開環(huán)右極點數(shù)P=Z)-M)=0-(-2)=2.又由奈

奎斯特圖可知奈奎斯特曲線對(-1,jO)

的包圍次數(shù)N=0,于是Z=N+P=2,閉

環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)。

上面僅根據(jù)實頻特性和虛頻特性畫圖5—10

圖，對終點的相角無法確定。為畫圖準確起見，需求出幅頻特性和相頻特性。這里假設

、/+3s+1=(s+a)(s-Z?+jc)(s-h-jc)

其中a>0,b>0,c>0

于是G(s)"(s)=；"+2)=----------曳主義---------

d+3$+1(s+a)(s-b+jc)(s-b-jc)

3“十02

Jl+(30-tw，/

/\69C)八c八。69+C、八c八c(O-C.

(p(co)-arctan---arctan---(180-arctan-----)-(180-arctan----)

2abb

“八。cococoiccoc

=-360+arctan---arctan—+arctan-----+arctan-----

2abb

^(0)=-360°;^(oo)=-180

這也表明與奈奎斯特路徑中無窮大右半圓對應的奈奎斯特圖是連接GM”)和

G&(-o。)的半徑為無窮小，角度從-180。逆時針轉(zhuǎn)到180。的圓弧。若僅從奈奎斯特圖上看,

可能會認為例0)=0°,8(+8)=180°,因而可能得出與奈奎斯特路徑中無窮大右半圓對應

的奈奎斯特圖是連接G式+8)和GA.(-8)的半徑為無窮小，角度從180。順時針轉(zhuǎn)到-180。

的圓弧的錯誤結(jié)果，如果是這樣的話，就不能正確的應用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷開環(huán)系

統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此可見非最小相位系統(tǒng)的相頻特性的計算很重要。

解二：此題開環(huán)極點位置未知，應用逆奈奎斯特判據(jù)則比較容易。此時

G(s)H(s)-3(s+2)

沒有虛軸上的開環(huán)極點，所以奈奎斯特路徑可以選最簡形式。

廠*/.\1+(3-2+(3—CO2)692+(5—2co2)coj

5徉(j①)=----------------------=----------------------------z-----------------

3(2+?3(4+/)

(5-2O)2)GJ

3(4+d)

求與實軸的交點，令Q*(o)=0,解得0=0和&=±后，于是尸*(0)='；

6

尸x(J51)=_l.再求與虛軸的交點，令尸*(0)=0,可得方程刃4一3/2-2=0

6

解得

2_3±Vn_13.56

一2一—［一0.56(略)

co=±±1.887

Q*(「二)會—0.177

對應奈奎斯特路徑中無窮大右半圓的

映射為

圖5-11

y2

limGk*(5)=lim—=ooe^