2024秋高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對值不等式1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式課堂演練含解析新人教A版選修4-5

PAGE1-第一講不等式和肯定值不等式1.1不等式1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式[A級基礎(chǔ)鞏固]一、選擇題1．正實(shí)數(shù)x，y，z滿意xyz＝2，則()A．x＋y＋z的最大值是3eq\r(2)B．x＋y＋z的最大值是3eq\r(3,2)C．x＋y＋z的最小值是3eq\r(2)D．x＋y＋z的最小值是3eq\r(3,2)解析：由三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式，得x＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)＝3eq\r(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝eq\r(3,2)時(shí)，x＋y＋z取得最小值3eq\r(3,2).答案：D2．設(shè)x，y，z為正數(shù)，且x＋y＋z＝6，則lgx＋lgy＋lgz的取值范圍是()A．(－∞，lg6) B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)解析：因?yàn)閤，y，z為正數(shù)，所以xyz≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)))eq\s\up12(3)＝23.所以lgx＋lgy＋lgz＝lgxyz≤lg23＝3lg2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝2時(shí)，等號(hào)成立．答案：B3．若a＞b＞0，則a＋eq\f(1,b（a－b）)的最小值為()A．0 B．1C．2 D．3解析：因?yàn)閍＋eq\f(1,b（a－b）)＝(a－b)＋b＋eq\f(1,b（a－b）)≥3eq\r(3,（a－b）·b·\f(1,b（a－b）))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)取等號(hào)，所以a＋eq\f(1,b（a－b）)的最小值為3.答案：D4．函數(shù)y＝x2(1－5x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,5)))的最大值是()A．4 B.eq\f(2,15)C.eq\f(4,675) D.eq\f(5,2)解析：由0<x<eq\f(1,5)得1－5x>0，y＝x2(1－5x)＝eq\f(5,2)·x·x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－2x))≤eq\f(5,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x＋\f(2,5)－2x,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,675).答案：C5．已知x＋2y＋3z＝6，則2x＋4y＋8z的最小值為()A．3eq\r(3,6) B．2eq\r(2)C．12 D．12eq\r(3,5)解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3eq\r(3,26)＝12.當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝3z＝2時(shí)等號(hào)成立．答案：C二、填空題6．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a2＝9，則a1＋a2＋a3的最小值為________．解析：a1＋a2＋a3≥3eq\r(3,a1a2a3)＝3eq\r(3,aeq\o\al(3,2))＝3a2＝27，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3時(shí)取等號(hào)．答案：277．若a，b，c，d為正數(shù)，則eq\f(b,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(d,c)＋eq\f(a,d)的最小值為________．解析：由基本不等式的推廣可得，eq\f(b,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(d,c)＋eq\f(a,d)≥4eq\r(4,\f(b,a)·\f(c,b)·\f(d,c)·\f(a,d))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d時(shí)，等號(hào)成立．答案：48．函數(shù)y＝4sin2x·cosx的最大值為_______，最小值為______．解析：因?yàn)閥2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2x＋sin2x＋2cos2x,3)))eq\s\up12(3)＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64,27)，所以y2≤eq\f(64,27)，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x＝2cos2x，即tanx＝±eq\r(2)時(shí)取等號(hào)．所以ymax＝eq\f(8,9)eq\r(3)，ymin＝－eq\f(8,9)eq\r(3).答案：eq\f(8,9)eq\r(3)－eq\f(8,9)eq\r(3)三、解答題9．θ為銳角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝eq\f(1,2)·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,27).當(dāng)且僅當(dāng)2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝eq\f(\r(3),3)時(shí)取等號(hào)．所以ymax＝eq\f(2\r(3),9).10．已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥6eq\r(3)，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號(hào)成立．證明：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由算術(shù)—幾何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))，①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)－eq\f(1,3).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥9(abc)－eq\f(2,3).②故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq\f(2,3).又3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq\f(2,3)≥2eq\r(27)＝6eq\r(3)，③所以原不等式成立．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立．當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＝9(abc)－eq\f(2,3)時(shí)，③式等號(hào)成立．即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\r(4,3)時(shí)，原式等號(hào)成立．B級實(shí)力提升1．已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列總成立的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π解析：設(shè)圓柱半徑為r，則圓柱的高h(yuǎn)＝eq\f(6－4r,2)，所以圓柱的體積為V＝πr2·h＝πr2·eq\f(6－4r,2)＝πr2(3－2r)≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋r＋3－2r,3)))eq\s\up12(3)＝π.當(dāng)且僅當(dāng)r＝3－2r，即r＝1時(shí)取等號(hào)．答案：B2．若a＞2，b＞3，則a＋b＋eq\f(1,（a－2）（b－3）)的最小值為______．解析：因?yàn)閍＞2，b＞3，所以a－2＞0，b－3＞0，則a＋b＋eq\f(1,（a－2）（b－3）)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,（a－2）（b－3）)＋5≥3eq\r(3,（a－2）×（b－3）×\f(1,（a－2）（b－3）))＋5＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝b－3＝eq\f(1,（a－2）（b－3）)，即a＝3，b＝4時(shí)等號(hào)成立．答案：83.如圖，在一張半徑是2m的圓桌的正中心上空掛一盞電燈．大家知道，燈掛得太高了，桌子邊緣處的亮度就?。粧斓锰?，桌子的邊緣處仍舊是不亮的．由物理學(xué)可知，桌子邊緣一點(diǎn)處的亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角θ的正弦成正比，而和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即E＝eq\f(ksinθ,r2)，這里k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)．那么應(yīng)當(dāng)怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？解：因?yàn)閞＝eq\f(2,cosθ)，所以E＝k·eq\f(sinθcos2θ,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，所以E2＝eq\f(k2,16)·sin2θ·cos4θ＝eq\f(k2,32)·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤eq\f(k2,32)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c