2024秋高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.1.3四種命題間的相互關系課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-第一章1.11.1.3請同學們仔細完成練案[3]A級基礎鞏固一、選擇題1．給出命題：已知a，b為實數(shù)，若a＋b＝1，則ab≤eq\f(1,4).在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是(C)A．3 B．2C．1 D．0[解析]a，b∈R，則ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴原命題為真，∴逆否命題為真，而ab≤eq\f(1,4)，a＋b不肯定等于1，∴真命題1個．2．以下說法錯誤的是(B)A．假如一個命題的逆命題為真命題，那么它的否命題也必為真命題B．假如一個命題的否命題為假命題，那么它本身肯定為真命題C．原命題、否命題、逆命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)肯定為偶數(shù)D．一個命題的逆命題、否命題、逆否命題可以同為假命題[解析]原命題與其逆否命題有相同的真假性，原命題與其逆命題、否命題的真假性沒有關系，故選B．3．命題“若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數(shù)，則loga2<0”的逆否命題是(A)A．若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內不是減函數(shù)B．若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內不是減函數(shù)C．若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數(shù)D．若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數(shù)4．有下列三個命題：(1)“若x－y＝0，則x、y為相等的實數(shù)”的逆命題；(2)“若x>5，則x2－3x－10>0”的否命題；(3)“若a、b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)”的逆否命題．其中假命題的個數(shù)是(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析](1)逆命題“x、y為相等的實數(shù)，則x－y＝0”是真命題．(2)否命題“若x≤5，則x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.為假命題．(3)命題“若a，b是無理數(shù)，則ab也是無理數(shù)”，假如a＝(eq\r(2))eq\r(2)，b＝eq\r(2)，則ab＝2是有理數(shù)，故其逆否命題為假．二、填空題5．已知命題：“若a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c”，其逆命題為__若2b＝a＋c，則a，b，c成等差數(shù)列__.6．設有兩個命題：①關于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R；②函數(shù)f(x)＝logmx是減函數(shù)(m>0且m≠1)．假如這兩個命題中有且只有一個真命題，則m的取值范圍是__{0}∪[1，＋∞)__.[解析]①中當m＝0時1≥0恒成立，當m≠0時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,Δ≤0))?m>0，∴m≥0.②f(x)為減函數(shù)，則0<m<1.∵兩個命題有且只有一個真命題，∴兩個命題一真一假eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,m≤0或m≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0,0<m<1))∴m＝0或m≥1∴m的取值范圍{0}∪[1，＋∞)．三、解答題7．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別推斷其真假．(1)假如兩圓外切，那么兩圓心距等于兩圓半徑之和；(2)平面內，兩條平行直線不相交．[解析](1)逆命題：假如兩圓心距等于兩圓半徑之和，那么兩圓外切，真；否命題：假如兩圓不外切，那么兩圓心距不等于兩圓半徑之和，真；逆否命題：假如兩圓心距不等于兩圓半徑之和，那么兩圓不外切，真．(2)原命題：在同一平面內，若兩條直線是平行直線，則它們不相交，真；逆命題：在同一平面內，若兩條直線不相交，則它們平行，真；否命題：在同一平面內，若兩條直線不是平行直線，則它們相交，真；逆否命題：在同一平面內，若兩條直線相交，則它們不平行，真．8．寫出命題“已知a、b∈R，且a2－4b>0.若a＋b＋1<0，則方程x2＋ax＋b＝0的兩個實根滿意x1<1<x2”[解析]逆命題：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的兩個實根滿意x1<1<x2，則a＋b＋1<0.否命題：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，則方程x2＋ax＋b＝0的兩個實根不滿意x1<1<x2.逆否命題：已知a、b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的兩個實根不滿意x1<1<x2，則a＋b＋1≥0.下面對真假進行推斷：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的圖象為開口向上的拋物線，∴x2＋ax＋b＝0的兩個實根滿意x1<1<x2，故原命題為真命題．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的兩實根滿意x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命題為真命題．由四種命題的關系可知，否命題和逆否命題都是真命題．B級素養(yǎng)提升1．若命題p的逆否命題q，q的逆命題是r，則p與r是(B)A．互逆命題 B．互否命題C．互逆否命題 D．不確定[解析]設命題p為“若A，則B”，則命題q為“若?B，則?A”，命題r為“若?A，則?B”，由此可見，p與r是互否命題．2．已知命題p：“若a>b>0，則eqlog\s\do8(\f(1,2))a<eqlog\s\do8(\f(1,2))b＋1”，則命題p及它的逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數(shù)為(C)A．0 B．1C．2 D．4[解析]對于命題p，當a>b>0時，有eqlog\s\do8(\f(1,2))a<eqlog\s\do8(\f(1,2))b，則必有eqlog\s\do8(\f(1,2))aeqlog\s\do8(\f(1,2))b＋1，因此原命題正確，逆否命題也正確；但當eqlog\s\do8(\f(1,2))a<eqlog\s\do8(\f(1,2))b＋1時，得eqlog\s\do8(\f(1,2))a<eqlog\s\do8(\f(1,2))eq\f(b,2)，即a>eq\f(b,2)>0，此時不肯定有a>b>0，因此逆命題不正確，則命題p的否命題也不正確．因此一共有兩個正確命題，故選C．3．已知命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]原命題為真命題，則其逆否命題也正確．原命題的逆命題“若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列”，為假命題，故其否命題也為假命題．故選B．4．(多選題)已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，則(BD)A．M中的元素都不是P的元素B．M中有不屬于P的元素C．M中有屬于P的元素D．M中的元素不都是P的元素[解析]由于“M?P”為假命題，故M中至少有一個元素不屬于P，∴BD正確．M中可能有屬于P的元素，也可能都不是P的元素，故AC錯誤，選BD．二、填空題5．命題：在空間中，若四點不共面，則這四個點中任何三點都不共線，其逆命題為__假__(真、假)．[解析]逆命題為：在空間中，若四個點中任何三點不共線，則這四點不共面，假命題．如：正方形ABCD的四個頂點，隨意三點不共線，但這四點共面．6．命題“若實數(shù)a滿意a≤2，則a2<4”的否命題是__若實數(shù)a滿意a>2，則a2≥4__，它為__真__命題．(填“真”或“假”)[解析]原命題的否命題為：若實數(shù)a滿意a>2，則a2≥4，這是一個真命題．三、解答題7．寫出下列命題的逆命題，否命題和逆否命題，并推斷它們的真假．(1)正數(shù)a的立方根不等于0；(2)在同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行．[解析](1)原命題：若a是正數(shù)，則a的立方根不等于0，是真命題．逆命題：若a的立方根不等于0，則a是正數(shù)，是假命題．否命題：若a不是正數(shù)，則a的立方根等于0，是假命題．逆否命題：若a的立方根等于0，則a不是正數(shù)，是真命題．(2)原命題：在同一平面內，若兩條直線平行于同一條直線，則這兩條直線平行，是真命題．逆命題：在同一平面內，若兩條直線平行，則這兩條直線平行于同一條直線，是真命題．否命題：在同一平面內，若兩條直線不平行于同一條直線，則這兩條直線不平行，是真命題．逆否命題：在同一平面內，若兩條直線不平行，則這兩條直線不平行于同一條直線，是真命題．8．證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則