2024秋高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個(gè)方面，無(wú)處不有數(shù)學(xué)的重大貢獻(xiàn)．”聞名數(shù)學(xué)家華羅庚曾如此精辟地論述了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具是如何在生活中應(yīng)用的呢？已知落在底面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵成正比．現(xiàn)有A，B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，你能找出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低嗎？新知導(dǎo)學(xué)1．在解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中，不僅要留意將問(wèn)題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式賜予表示，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中__自變量__的取值范圍．2．實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中，若只有一個(gè)極值點(diǎn)，則極值就是__最值__.3．解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：預(yù)習(xí)自測(cè)1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為(C)A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件[解析]∵y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9，∴函數(shù)在(0,9)上單調(diào)遞增，在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝9時(shí)，函數(shù)取得最大值．故選C．2．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為(C)A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)[解析]如圖，設(shè)底面邊長(zhǎng)為x(x>0)，則底面積S＝eq\f(\r(3),4)x2，∴h＝eq\f(V,S)＝eq\f(4V,\r(3)x2).S表＝x·eq\f(4V,\r(3)x2)×3＋eq\f(\r(3),4)x2×2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′表＝0得x＝eq\r(3,4V)，因?yàn)镾表只有一個(gè)極值，故x＝eq\r(3,4V)為最小值點(diǎn)．3．從邊長(zhǎng)為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為_(kāi)_144__cm3.[解析]設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x，則盒子的容積為V＝x(10－2x)(16－2x)，即V＝4(x3－13x2＋40x)，(0<x<5)，V′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，令V′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝eq\f(20,3)(不符合題意，舍去)，x＝2是唯一極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)，所以，x＝2時(shí)，盒子容積的最大值為144cm3.4．一張1.4m高的圖片掛在墻上，它的底邊高于視察者的眼睛1.8m，要使視察者視察得最清楚，他與墻的距離應(yīng)為(視角最大時(shí)最清楚，視角是指視察圖片上底的視線與視察圖片下底的視線所夾的角)__2.4_m__.[解析]如圖所示，設(shè)OD＝x，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，α為視角，則α＝γ－β，tanγ＝eq\f(3.2,x)，tanβ＝eq\f(1.8,x)，tanα＝tan(γ－β)＝eq\f(tanγ－tanβ,1＋tanγtanβ)＝eq\f(\f(3.2,x)－\f(1.8,x),1＋\f(3.2×1.8,x2))＝eq\f(1.4x,x2＋5.76)(x>0)，令(tanα)′＝eq\f(1.4x2＋5.76－2x×1.4x,x2＋5.762)＝0，解得x＝2.4或x＝－2.4(舍去)，在x＝2.4旁邊，導(dǎo)數(shù)值由正到負(fù)，所以在x＝2.4時(shí)，tanα取得最大值，α也取得最大值．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?面積、容積最大問(wèn)題典例1有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？[思路分析]設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)為x，用x表示出長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)，依據(jù)題意列出關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．[解析]設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)為x，容器容積為V(x)，則做成的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器底面邊長(zhǎng)為a－2x，高為x，V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq\f(a,2).即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq\f(a,2).實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為求V(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值點(diǎn)．為此，先求V(x)的極值點(diǎn)．在開(kāi)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．當(dāng)0<x<x1時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)x1<x<eq\f(a,2)時(shí)，V′(x)<0.因此x1是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，x1是唯一的極值點(diǎn)，所以x＝eq\f(1,6)a是V(x)的最大值點(diǎn)．即當(dāng)截下的小正方形邊長(zhǎng)為eq\f(1,6)a時(shí)，容積最大．『規(guī)律總結(jié)』面積、體積(容積)最大，周長(zhǎng)最短，距離最小等實(shí)際幾何問(wèn)題，求解時(shí)先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?，將待求解最值的?wèn)題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最終檢驗(yàn)．┃┃跟蹤練習(xí)1__■請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形態(tài)的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．[解析]設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)，由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′>0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′<0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).命題方向?平面幾何中的最值問(wèn)題典例2(1)如圖所示，半徑為2的⊙M切直線AB于O，射線OC從OA動(dòng)身圍著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為S＝f(x)，那么f(x)的圖象是下圖中的(A)(2)在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開(kāi)_eq\f(3R,2)__時(shí)，它的面積最大．[解析](1)由所給的圖示可得，當(dāng)x≤π時(shí)，弓形PnO的面積為S＝f(x)＝S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sinx，其導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2－2cosx，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，此值越來(lái)越大，即f(x)的圖象上升得越來(lái)越快，由此可以解除B，C；再由所給圖示的對(duì)稱性知，弓形PnO的面積先是增加得越來(lái)越快，然后是增加得越來(lái)越慢，直到增加率為0，由此可以解除D．故選A．(2)設(shè)∠OBC＝θ，則0<θ<eq\f(π,2).OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.令S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0∴cos2θ＝sinθ，∴sinθ＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,6)，即當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)高為OA＋OD＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3R,2).『規(guī)律總結(jié)』1.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路2．關(guān)于平面圖形中的最值問(wèn)題平面圖形中的最值問(wèn)題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要探討與面積相關(guān)的最值問(wèn)題，一般將面積用變量表示出來(lái)后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值．┃┃跟蹤練習(xí)2__■已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這個(gè)矩形面積最大時(shí)的長(zhǎng)和寬．[解析]設(shè)AD＝2x(0<x<2)，則A(x,0)，AB＝y(tǒng)＝4－x2，所以矩形面積為S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝eq\f(2,\r(3))，x2＝－eq\f(2,\r(3))(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(2,\r(3))時(shí)，S′>0；當(dāng)eq\f(2,\r(3))<x<2時(shí)，S′<0，所以，當(dāng)x＝eq\f(2,\r(3))時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S最大值＝eq\f(32\r(3),9).即矩形的長(zhǎng)和寬分別為eq\f(8,3)，eq\f(4\r(3),3)時(shí)，矩形的面積最大．命題方向?實(shí)際生活中的最值問(wèn)題角度1：用料最省費(fèi)用最少問(wèn)題典例3為了在夏季降溫柔冬季供暖時(shí)削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層．某幢建筑物要建立可運(yùn)用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．[思路分析]代入數(shù)據(jù)求k的值，建立費(fèi)用加上20年能源消耗綜合得出總費(fèi)用f(x)，利用導(dǎo)數(shù)求最值．[解析](1)設(shè)隔熱層厚度xcm，由題意建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8得k＝40，故C(x)＝eq\f(40,3x＋5)(0≤x≤10)；又x厘米厚的隔熱層建立費(fèi)用為6x，所以由題意f(x)＝eq\f(40,3x＋5)×20＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)＝eq\f(54x＋\f(25,3)x－5,3x＋52).令f′(x)＝0，得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)，當(dāng)x∈(0,5)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(5,10)時(shí)，f′(x)>0，故x＝5時(shí)，f(x)取得最小值，且最小值f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.因此當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，且最小值為70萬(wàn)元．角度2：利潤(rùn)最大問(wèn)題典例4某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P(元/噸)之間的關(guān)系為P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50000＋200x元．問(wèn)每月生產(chǎn)多少噸該產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)＝收入－成本)．[思路分析]依據(jù)題意，月收入＝月產(chǎn)量×單價(jià)＝Px，月利潤(rùn)＝月收入－成本＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函數(shù)關(guān)系式建立數(shù)學(xué)模型后再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．[解析]每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為f(x)＝(24200－eq\f(1,5)x2)x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為：f(200)＝－eq\f(1,5)×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬(wàn)元．『規(guī)律總結(jié)』解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)應(yīng)留意的問(wèn)題(1)列函數(shù)解析式時(shí)，留意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．(2)一般地，通過(guò)函數(shù)的極值來(lái)求得函數(shù)的最值．假如函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則依據(jù)實(shí)際意義推斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較．┃┃跟蹤練習(xí)3__■(2024·海口高二檢測(cè))某工廠利用輻射對(duì)食品進(jìn)行滅菌消毒，現(xiàn)打算在該廠旁邊建一職工宿舍，并對(duì)宿舍進(jìn)行防輻射處理，建房防輻射材料的費(fèi)用與宿舍到工廠距離有關(guān)．若建立宿舍的全部費(fèi)用p(萬(wàn)元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關(guān)系為：p＝eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．為了交通便利，工廠與宿舍之間還要修一條簡(jiǎn)易便道，已知修路每公里成本為5萬(wàn)元，工廠一次性補(bǔ)貼職工交通費(fèi)eq\f(1,2)(x2＋25)萬(wàn)元．設(shè)f(x)為建立宿舍、修路費(fèi)用與給職工的補(bǔ)貼之和．(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用f(x)最小，并求最小值．[解析](1)f(x)＝eq\f(1000,x＋5)＋5x＋eq\f(1,2)(x2＋25)整理得f(x)＝eq\f(1,2)(x＋5)2＋eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．(2)f′(x)＝(x＋5)－eq\f(1000,x＋52)＝eq\f(x＋53－1000,x＋52)由f′(x)≥0得x≥5；所以f(x)在[2,5]上單調(diào)遞減，在[5,8]上單調(diào)遞增；故當(dāng)x＝5時(shí)，f(x)取得最小值150.綜上所述，宿舍應(yīng)建在離工廠5km處，可使總費(fèi)用f(x)最小，最小值為150萬(wàn)元．學(xué)科核心素養(yǎng)利用基本不等式處理優(yōu)化問(wèn)題在解決生活中遇到的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，基本不等式在解決此類問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用．利用基本不等式求最值時(shí)，必需留意運(yùn)用的前提以及等號(hào)成立的條件成立，否則易犯錯(cuò)誤，留意f′(x0)＝0的x0是否在定義域內(nèi)，從而進(jìn)行分類探討．典例5某船由甲地逆水行駛至乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(b>a)，已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，問(wèn)：船在靜水中的航行速度為多少時(shí)，其全程的燃料費(fèi)用最省？[解析]設(shè)船在靜水中的航行速度為xkm/h，全程的燃料費(fèi)用為y元，由題設(shè)可得y＝eq\f(s,x－a)·kx2，x∈(a，b]．∴y＝ks·eq\f(x2,x－a)＝ks·eq\f(x－a2＋2ax－a＋a2,x－a)＝ks[(x－a)＋eq\f(a2,x－a)＋2a]．當(dāng)2a≤b時(shí)，y＝ks[(x－a)＋eq\f(a2,x－a)＋2a]≥ks(2eq\r(a2)＋2a)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2a時(shí)，ymin＝4aks當(dāng)2a>b時(shí)，令t＝x－a，則t∈(0，b－a∴y＝ks(t＋eq\f(a2,t)＋2a)，∴y′＝ks(1－eq\f(a2,t2))＝kseq\f(t－at＋a,t2).令0<t≤b－a，∴－a<t－a≤b－2a∴y′<0，即y＝ks(t＋eq\f(a2,t)＋2a)在(0，b－a]上是遞減的，∴當(dāng)t＝b－a，即x＝b時(shí)，ymin＝ksb2eq\f(1,b－a).綜上可知，當(dāng)b<2a時(shí)，船在靜水中的速度為b當(dāng)b≥2a時(shí)，船在靜水中的速度為2┃┃跟蹤練習(xí)4__■已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x2，0<x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)，x>10.))(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得年利潤(rùn)最大．(注：年利潤(rùn)＝年銷售收入－年總成本)[解析](1)當(dāng)0<x≤10時(shí)，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－eq\f(x3,30)－10，當(dāng)x>10時(shí)，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－eq\f(1000,3x)－2.7x，∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(x3,30)－10，0<x≤10，,98－\f(1000,3x)－2.7x，x>10.))(2)①當(dāng)0<x≤10時(shí)，由W′＝8.1－eq\f(x2,10)＝0，得x＝9.當(dāng)x∈(0,9)時(shí)，W′>0；當(dāng)x∈(9,10]時(shí)，W′<0，∴當(dāng)x＝9時(shí)，W取得最大值，即Wmax＝8.1×9－eq\f(1,30)×93－10＝38.6.②當(dāng)x>10時(shí)，W＝98－(eq\f(1000,3x)＋2.7x)≤98－2eq\r(\f(1000,3x)×2.7x)＝38，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1000,3x)＝2.7x，即x＝eq\f(100,9)時(shí)，W取得最大值38.綜合①②知：當(dāng)x＝9時(shí)，W取得最大值為38.6萬(wàn)元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得年利潤(rùn)最大．易混易錯(cuò)警示含參數(shù)的函數(shù)求最值時(shí)，留意極值與參數(shù)取值的關(guān)系典例6甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．(1)把全程運(yùn)輸成本