九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-第23章 解直角三角形全章復(fù)習(xí)與測試（解析版）

第23章解直角三角形全章復(fù)習(xí)與測試【知識梳理】一．銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊＝．（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．二．銳角三角函數(shù)的增減性（1）銳角三角函數(shù)值都是正值．（2）當(dāng)角度在0°～90°間變化時，①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?）當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°間變化時，tanA＞0．三．同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA?cosA．四．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時，正余弦之間的關(guān)系為：①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．五．特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多．六．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）七．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．八．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．十．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．【考點剖析】一．銳角三角函數(shù)的定義（共2小題）1．（2022秋?貴池區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函數(shù)正確的是（）A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)銳角三角函數(shù)得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得，AC＝＝＝5，所以sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，故選：C．【點評】本題考查勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正確解答的前提．2．（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，則tanB的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)正切函數(shù)是對邊比鄰邊，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得BC＝＝4．tanB＝＝，故選：B．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．二．銳角三角函數(shù)的增減性（共1小題）3．（2022秋?金安區(qū)校級期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D沿BC自B向C運動（點D與點B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，則BE+CF的值（）A．不變 B．增大 C．減小 D．先變大再變小【分析】設(shè)∠DCF＝∠DBE＝α，易知BE+CF＝BC?cosα，根據(jù)0＜α＜90°，由此即可作出判斷．【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF∥BE，∴∠DCF＝∠DBE，設(shè)∠DCF＝∠DBE＝α，∴CF＝DC?cosα，BE＝DB?cosα，∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC?cosα，∵∠ABC＝90°，∴O＜α＜90°，當(dāng)點D從B向C運動時，α是逐漸增大的，∴cosα的值是逐漸減小的，∴BE+CF＝BC?cosα的值是逐漸減小的．故選C．面積法：S△ABC＝?AD?CF+?AD?BE＝?AD（CF+BE），∴CF+BE＝，∵點D沿BC自B向C運動時，AD是增加的，∴CF+BE的值是逐漸減小．故選：C．【點評】本題考查三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的增減性等知識，利用三角函數(shù)的定義，得到BE+CF＝BC?cosα，記住三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．三．同角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）4．（2022秋?宣城月考）在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanA等于．【分析】根據(jù)cosA＝，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達式即可推出tanA的值．【解答】解：∵cosA＝知，設(shè)b＝3x，則c＝5x，根據(jù)a2+b2＝c2得a＝4x．∴tanA＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用，利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．四．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）5．（2021秋?懷寧縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則sinB＝．【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝．故答案為：．【點評】本題考查互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，一個角的余弦等于它余角的正弦．五．特殊角的三角函數(shù)值（共8小題）6．（2023春?蚌埠月考）計算2sin30°的值為（）A．1 B． C．2 D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答．【解答】解：2sin30°＝2×＝1，故選：A．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?蚌山區(qū)月考）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠C＝90°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】求出∠A的正切值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【解答】解：∵，∠C＝90°，∴，∴∠A＝60°，故選：D．【點評】本題考查解直角三角形．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義以及特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?蚌山區(qū)月考）△ABC中，∠A，∠B都是銳角，若cosA＝，tanB＝1，則∠C＝105°．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得∠A＝30°，∠B＝45°，然后利用三角形內(nèi)角和定理，進行計算即可解答．【解答】解：∵cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故答案為：105°．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?安徽期末）計算：2sin30°﹣1＝0．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案．【解答】解：原式＝2×﹣1＝0．故答案為：0．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．10．（2022秋?金安區(qū)校級月考）若tan（α+15°）＝且α是銳角，則tanα的值為1．【分析】首先確定α的度數(shù)，然后再利用三角函數(shù)值求答案．【解答】解：∵tan60°＝，∴α+15°＝60°，解得：α＝45°，∴tanα＝1，故答案為：1．【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握tan60°＝，tan45°＝1．11．（2022秋?宣城月考）計算：sin245°﹣6cos60°+2tan45°﹣2sin60°．【分析】先把特殊角銳角三角函數(shù)值代入，再計算，即可求解．【解答】解：原式＝＝＝．【點評】本題考查了特殊角銳角三角函數(shù)值的混合運算，掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是關(guān)鍵．12．（2022秋?天長市月考）計算：2sin60°﹣cos60°﹣sin30°?tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進而計算得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣﹣×1＝﹣﹣＝﹣1．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．13．（2022?無為市校級一模）計算：（1）sin60°?cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．【分析】（1）（2）把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【解答】解：（1）原式＝×﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝2×+3×﹣4×1＝1+﹣4＝﹣．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的計算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．六．解直角三角形（共6小題）14．（2023?金寨縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點N，連接BD，若CD＝6，AD＝10，則tanA的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出BD＝AD，再利用勾股定理求出BC的長，再利用正切的定義即可求解．【解答】解：∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點N，∴BD＝AD＝10，∵∠C＝90°，CD＝6，∴BC＝＝＝8，AC＝AD+CD＝10+6＝16，∴tanA＝＝＝．故選：B．【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及解直角三角形等知識，得出BD＝AD＝10，進而利用勾股定理求出BC的長是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（3，1），則sinα的值為（）A． B． C． D．【分析】過點A作AB⊥x軸，根據(jù)點A的坐標得到OA，再根據(jù)正弦的定義可得答案．【解答】解：過點A作AB⊥x軸，∵點A坐標為（3，1），∴AB＝1，OB＝3，OA＝＝，∴sinα＝＝．故選：B．【點評】本題考查解直角三角形，由勾股定理得到OA的長度是解題關(guān)鍵．16．（2022秋?天長市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB＝．求AC的長及∠A的正切值．【分析】先利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出∠A的正切值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinB＝＝，AB＝13，∴AC＝5．∴BC＝＝＝12．∴tanA＝＝．【點評】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?滁州期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝6，求AB的長．【分析】過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)∠A＝30°，tanB＝，AC＝6可求出AD與BD的長度．【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC?sin30°＝3，AD＝AC×cos30°＝9，在Rt△CDB中，∵tanB＝∴＝∴BD＝4，∴AB＝AD+DB＝9+4．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．18．（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為點E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．（1）求AE的長；（2）求tan∠DBC的值．【分析】（1）根據(jù)AE⊥BC，垂足為點E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13，可以求得BE的長，從而可以求得AE的長；（2）根據(jù)在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，可知AE、BD為△ABC的中線，從而可以利用重心定理得到EF的長，由AE⊥BC，從而可以得到tan∠DBC的值．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．∵，AB＝13，∴BE＝5．∵在Rt△BEA中，BE2+AE2＝AB2，∴．（2）∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE是BC邊上的中線．又∵BD是AC邊上的中線，∴F是△ABC的重心．∵AE＝12，∴．∵Rt△BEF中，BE＝5，EF＝4，∴tan∠DBC＝．【點評】本題考查解直角三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是明確直角三角形中邊角的關(guān)系，知道重心定理．19．（2022秋?宣城月考）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點N的坐標為（20，0），點M在第一象限內(nèi)，且OM＝10，sin∠MON＝．（1）求點M的坐標．（2）求cos∠MON的值．【分析】（1）過點M作MP⊥ON，垂足為點P，根據(jù)已知條件得到MP＝6，由勾股定理得到OP＝，于是得到點M的坐標是（8，6）；（2）由（1），知MP＝6，PN＝20﹣8＝12，根據(jù)勾股定理得到MN＝＝6，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）過點M作MP⊥ON，垂足為點P，在Rt△MOP中，由sin∠MON＝，OM＝10，得，即MP＝6，由勾股定理，得OP＝，∴點M的坐標是（8，6）；（2）由（1），知MP＝6，PN＝20﹣8＝12，∴MN＝＝6，∴cos∠MON＝【點評】本題考查了解直角三角形，坐標于圖形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．七．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）20．（2023?蒙城縣三模）蒙城渦河五橋橫跨渦河南北，為蒙改城標志建筑之一，圖1是大橋的實物圖，圖2是建造大橋設(shè)計平面圖一部分，平面圖紙有橋護欄BG＝1.5米，拉索AB與護欄的夾角是26°，拉索ED與護欄的夾角是60°，兩拉索底端距離BD為168m，兩拉索頂端的距離AE＝48m，請求出立柱AH的長（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，≈1.7）．【分析】根據(jù)題意可得：CH＝BG＝1.5m，BC⊥AH，然后設(shè)CD＝xm，則BC＝（x+168）m，在Rt△ECD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC的長，從而求出AC的長，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，從而列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：CH＝BG＝1.5m，BC⊥AH，設(shè)CD＝xm，∵BD＝168m，∴BC＝CD+BD＝（x+168）m，在Rt△ECD中，∠EDC＝60°，∴EC＝CD?tan60°＝x（m），∵AE＝48m，∴AC＝AE+CE＝（48+x）m，在Rt△ABC中，∠ABC＝26°，∴AC＝BC?tan26°≈0.5（x+168）m，∴48+x＝0.5（x+168），解得：x＝30，∴EC＝x＝30（m），∴AH＝AE+EC+CH＝48+30+1.5≈100.5（m），∴立柱AH的長約為100.5m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）近年來，隨著智能技術(shù)的發(fā)展，智能機器人已經(jīng)服務(wù)于社會生活的各個方面．圖1所示是一款智能送貨機器人，圖2是其側(cè)面示意圖，現(xiàn)測得其矩形底座ABCD的高BC為30cm，上部顯示屏EF的長度為30cm，側(cè)面支架EC的長度為100cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，求該機器人的最高點F距地面AB的高度．（參考數(shù)據(jù)sin80°≈0.98，cos80°＝0.17，tan80°≈5.67）【分析】過點E，F(xiàn)分別作EH⊥CD，F(xiàn)N⊥CD，垂足為N，H，過點E作EM⊥FH，垂足為M，分別解Rt△EHC，Rt△EMF，求出EH，F(xiàn)M的長，進而求出最高點F距地面AB的高度即可．【解答】解：過點E，F(xiàn)分別作EH⊥CD，F(xiàn)N⊥CD，垂足為N，H，過點E作EM⊥FH，垂足為M，則：四邊形EMNH為矩形，MN＝EH，EM＝HN，在Rt△EHC中，，∴EH≈98cm，∵∠EHC＝90°，∠HCE＝80°，∴∠CEH＝10°，∴∠FEM＝∠FEC﹣∠MEH﹣∠CEH＝130°﹣90°﹣10°＝30°，∴，∴點F到CD的高度為MN+FM＝EH+FM≈113cm，∵矩形底座ABCD的高BC為30cm，∴點F到底面的高度約為113+30＝143cm．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2023?金寨縣校級模擬）如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點A，又在河的另一岸邊取兩個點B，C，測得∠α＝37°，∠β＝55°，量得BC的長為180m，求河的寬度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.80，cos55°≈0.60，tan55°≈1.40．結(jié)果精確到0.1m）【分析】直接過點A作AD⊥BC于點D，利用tan37°＝＝，進而得出答案．【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，∵∠β＝55°，∠ADC＝90°，∠α＝37°，BC＝180m，∴tan55°＝≈1.40，tan37°＝＝≈0.75，∴AD＝1.40CD，AD＝0.75（180+CD），∴AD≈290.8（m），答：河的寬度為290.8m．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出AD＝1.40CD是解題的關(guān)鍵．23．（2023?安徽三模）如圖1是一臺電腦支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞B，C轉(zhuǎn)動，測量知AB＝10cm，BC＝6cm，當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動到∠ABC＝90°時，∠BCD＝37°時，求點A到CD的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】過點A作AE⊥CD，過點B作BG⊥AE，BF⊥CD，構(gòu)造矩形GEFB和直角△BCF、△AGB，在直角三角形中利用直角三角形的邊角間關(guān)系分別求出BF、AG，最后利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：過點A作AE⊥CD，交FC的延長線于點E．過點B作BG⊥AE，BF⊥CD，垂足分別為G、F．∵AE⊥CD，BG⊥AE，BF⊥CD，∴四邊形GEFB是矩形，GB∥ED．∴GE＝BF，∠GBC＝∠BCF＝37°．∴∠ABG＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣37°＝53°．在Rt△BCF中，∵sin∠BCD＝，∴GE＝BF＝sin∠BCD?BC≈0.6×6＝3.6（cm）．在Rt△BAG中，∠A＝90°﹣∠ABG＝90°﹣53°＝37°．∵cosA＝，∴AG＝cosA?AB≈0.8×10＝8（cm）．∴AE＝AG+GE＝8+3.6＝11.6（cm）．答：點A到CD的距離為11.6cm．【點評】本題主要考查了解直角三角形，構(gòu)造矩形和直角三角形，利用直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．24．（2023?安徽模擬）如圖，蘭蘭家沿著河岸圈出一片水域（即四邊形ABCD）從事水產(chǎn)養(yǎng)殖，蘭蘭測得這片水域部分數(shù)據(jù)如下：AB＝60米，BC＝10米，∠DAB＝53.1°，∠ABC＝90°，D在C的西北方向，請你幫助蘭蘭求出這片水域的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan53.1°≈）?【分析】延長AD，與BC的延長線交于點E，再用△ABE的面積減去△CDE的面積即可．【解答】解：如圖，延長AD，與BC的延長線交于點E，過點D作DG⊥BE于E，則BE＝AB?tan∠DAB＝60×tan53.1°≈60×＝80（米），∵∠DAB＝53.1°，∠ABC＝90°，∴∠E＝90°﹣∠DAB，∴tan∠E＝，設(shè)DG＝xm，則EG＝m，∵D在C的西北方向，∴CG＝DG＝xm，∴EC＝EG+CG＝＝80﹣10＝70，解得x＝30，即DG＝30m，∴這片水域的面積為：S△ABE﹣S△CDE＝AB?BE﹣CE?DG＝×60×80﹣×70×30＝135（m2）．【點評】本題考查了解直角三角形，正確作出輔助線，并求出DG的長是解答本題的關(guān)鍵．八．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共5小題）25．（2022秋?天長市月考）某人沿著坡度為1：2的山坡前進了100米，則此人所在的位置升高了（）A．100米 B．50米 C．50米 D．【分析】設(shè)此人所在的位置升高了x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出此人前進的水平距離，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】解：設(shè)此人所在的位置升高了x米，∵斜坡的坡度為1：2，∴此人前進的水平距離為2x米，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（100）2，解得：x＝100（負值舍去），∴此人所在的位置升高了100米，故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．26．（2020秋?馬鞍山期末）某水庫大壩高20米，背水坡的坡度為1：，則背水坡的坡長為40米．【分析】由坡度＝垂直距離÷水平距離，可得水平距離為20米，根據(jù)勾股定理可得背水面的坡長．【解答】解：如圖所示：∵大壩高DF為20米，背水壩的坡度為1：，∴水平距離CF＝20×＝20（米），根據(jù)勾股定理可得背水坡的坡長CD＝＝40（米），故答案為：40米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題以及勾股定理；熟練掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．27．（2023?宿州模擬）如圖是某段河道的坡面橫截面示意圖，從點A到點B，從點B到點C是兩段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，為改建成河道公園，改善居民生活環(huán)境，決定按照AB的坡度降低坡面BC的坡度，得到新的山坡AD，經(jīng)測量獲得如下數(shù)據(jù)：CM與水平面AN的距離為12m，坡面AB的長為10m，∠BAN＝15°，坡面BC與水平面的夾角為31°，降低BC坡度后，A、B、D三點在同一條直線上，即∠DAN＝15°．為確定施工點D的位置，試求坡面AD的長和CD的長度．（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin31°≈0.52，cos31°≈0.88，tan31°≈0.68，結(jié)果精確到0.1米）【分析】過點B作BE⊥AN于點E，過點D作DF⊥AN于點F，過點C作CG⊥AN于點G，過點B作BH⊥CG于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE＝HG，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，求得CH＝DF﹣BE，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖所示，過點B作BE⊥AN于點E，過點D作DF⊥AN于點F，過點C作CG⊥AN于點G，過點B作BH⊥CG于點H，，則四邊形CDFG和四邊形BEGH都是菱形，∴BE＝HG，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，∴CH＝DF﹣BE，根據(jù)題意知，DF＝12m，AB＝10m，在Rt△ABE中，∠BAE＝15°，，，∴BE＝AB?sin∠BAE＝AB?sin15°≈10×0.26＝2.6（m），AE＝AB?cos∠BAE＝AB?cos15°≈10×0.97＝9.7（m），在Rt△ADF中，∠DAF＝15°，，，∴，，∴CH＝DF﹣BE＝12﹣2.6＝9.4（m），在Rt△BCH中，∠CBH＝31°，，∴，∴CD＝GF＝AF﹣AE﹣EG＝AF﹣AE﹣BH≈44.4﹣9.7﹣13.8＝20.9（m），答：坡面AD的長約為46.2m，CD的長約為20.9m．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)以及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．28．（2023春?廬江縣月考）小亮和小強同時登青陽山，小亮從北坡山腳C處出發(fā)，以12米/分鐘的速度攀登，小強從南坡山腳B處出發(fā)．如圖，已知青陽山北坡的坡度i＝1：2，北坡長為120米，南坡的坡角是45°．問小強以什么速度攀登才能和小亮同時到達山頂A？（將山路AB，AC看成線段）【分析】過A作BC的垂線AD，在Rt△ACD中，可通過解直角三角形求出AD的長，進而在Rt△ABD中求出坡面AB的長得解．【解答】解：過點A作AD⊥BC于D．在Rt△ACD中，tanC＝i＝，設(shè)AD＝x，則CD＝2x，根據(jù)勾股定理得AD2+CD2＝AC2，即x，解得x＝120，∴AD＝120（米），在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴AB＝＝240（米），240÷（120）＝240÷10＝24（米/分），答：小強以24米/分鐘速度攀登才能和小亮同時到達山頂A．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形；在兩個直角三角形有公共邊時，先求出這條公共邊是解此類題的一般思路．29．（2023?蜀山區(qū)校級一模）如圖所示，一梯子AC斜靠著墻OD，梯子與地面夾角為45°，若梯子底端A向右水平移動1.5m至點B，此時梯子頂端向上移動1m至點D，此時∠DBO＝58°，求OB長度．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由題意可知△AOC是等腰直角三角形，所以O(shè)A＝OC，設(shè)OB＝x，則OA＝x+1.5，OD＝OC+CD＝x+2.5，在Rt△OBD中，利用tan58°＝即可解答．【解答】解：∵∠CAO＝45°，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OA＝OC，設(shè)OB＝x，∵AB＝1.5m，∴OA＝（x+1.5）m，∵CD＝1m，∴OD＝OC+CD＝（x+2.5）m，在Rt△OBD中，∵tan58°＝，∴≈1.6，解得x＝，即OB長度為m．【點評】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個銳角三角函數(shù)的定義并靈活運用．九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共4小題）30．（2023春?桐城市月考）如圖，在水平地面上有房屋BC與一棵樹DE，在地面觀測點A處屋頂C與樹梢的仰角分別是45°與60°，∠DAC＝60°，在屋頂C處測得∠DCA＝90°，BC＝5米，則DE的長是（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】先解Rt△ABC求出米，再解Rt△ACD求出米，最后解Rt△ADE求出DE的長即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，BC＝5米，∴米，在Rt△ACD中，∠DCA＝90°，∠DAC＝60°，∴米，在Rt△ADE中，∠DEA＝90°，∠DAE＝60°，∴米，故選：C．【點評】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．31．（2023?安徽）如圖，O，R是同一水平線上的兩點，無人機從O點豎直上升到A點時，測得A到R點的距離為40m，R點的俯角為24.2°，無人機繼續(xù)豎直上升到B點，測得R點的俯角為36.9°．求無人機從A點到B點的上升高度AB（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的邊角關(guān)系進行計算即可．【解答】解：如圖，由題意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°，∴OA＝sin∠ORA×AR＝sin24.2°×40≈16.4（m），OR＝cos24.2°×40≈36.4（m），在Rt△BOR中，OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m），∴AB＝OB﹣OA＝27.3﹣16.4＝10.9（m），答：無人機上升高度AB約為10.9m．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．32．（2023?蜀山區(qū)校級三模）某數(shù)學(xué)研究小組把測量一面墻上窗戶的高度作為一次課外課題活動，制定了測量方案，并完成了實地測量，測量示意圖、測得結(jié)果如下：站在與墻垂直的筆直小路上的點D利用測角儀（測角儀高度0.5米）測得窗戶頂端A的仰角為63°，站在點C利用測角儀測得窗戶底端B的仰角為48°，并用卷尺測得OD＝2米，CD＝0.5米，請你根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)計算窗戶高度AB．（結(jié)果精確到0.1米．（參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1.20，tan63°≈1.96，sin48°≈0.74，sin63°≈0.89）?【分析】分別在Rt△AFE和Rt△BNE中求出AE和BE，再利用線段的差即可求出AB．【解答】解：補上解題需要的相關(guān)字母如圖，由題意，知△AFE和△BNE都是Rt△，EF＝OD＝2米，EN＝OC＝OD+CD＝2+0.5＝2.5（米），OE＝FD＝NC＝0.5米，∠AFE＝63°，∠BNE＝48°，在Rt△AFE中，∵tan∠AFE＝，∴AE＝EF?tan∠AFE＝2?tan63°≈2×1.96＝3.92（米），在Rt△BNE中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN?tan∠BNE＝2.5?tan48°≈2×1.20＝2.40（米），∴AB＝AE﹣BE＝3.92﹣2.40＝1.52≈1.5（米），答：窗戶高度AB約為1.5米．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，在所給的直角三角形中利用三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．33．（2023?蜀山區(qū)三模）如圖，某地需要經(jīng)過一座山的兩側(cè)D，E修建一條穿山隧道，工程人員先選取直線DE上的三點A，B，C，設(shè)在隧道DE正上方的山頂F處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為30°，C處的俯角為45°，經(jīng)測量AB＝1.4千米，BD＝0.2千米，CE＝0.5千米，求隧道DE的長．（結(jié)果精確到0.1，，）【分析】過點F作FG⊥BC、垂足為G，先利用特殊三角形的性質(zhì)和邊角關(guān)系求出FG，BG，CG，再利用線段的和差即可求出DE．【解答】解：由題意，得∠A＝15°，∠FDB＝30°，∠C＝45°，過點F作FG⊥BC、垂足為G，∵∠A＝15°，∠FDB＝30°，∴∠AFB＝15°，∴∠AFB＝∠A，∴AB＝BF＝1.4千米，在Rt△BFG中，∵∠FBD＝30°，∴千米，千米，在Rt△CFG中，∵∠FCG＝45°，∴FG＝GC＝0.7千米，∴（千米），∴（千米），答：隧道DE的長為1.2千米．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解題涉及等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．一十．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共4小題）34．（2023?蕪湖一模）為鞏固農(nóng)村脫貧成果，利興村委會計劃利用一塊如圖所示的空地ABCD，培育綠植銷售，空地南北邊界AB∥CD，西邊界BC⊥AB，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)，點A在C的北偏東方向，在點D的北偏東48°方向，BC＝780米，求空地南北邊界AB和CD的長（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)約：tan48°＝1.1，tan58°＝1.6）．?【分析】由題意可知：∠BCA＝58°，∠ADE＝48°，過D作于DE⊥AB于E，易得四邊形BCDE為矩形，從而可知DE＝BC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出AB與AE的長度即可求出答案．【解答】解：由題意可知：∠BCA＝58°，∠ADE＝48°，過D作于DE⊥AB于點E，∵AB∥CD，BC⊥AB，∴四邊形BCDE為矩形，∴DE＝BC＝780米，在Rt△ABC中，，∵BC＝780米，tan58°≈1.6，∴AB≈780×1.6＝1248（米），在Rt△ADE中，，∵DE＝BC＝780米，tan48°≈1.1，∴AE≈780×1.1＝858（米），∴CD≈1248﹣858＝390（米），答：AB的長和CD的長分別約為1248米和390米．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義求出AE與CD的長度，本題屬于基礎(chǔ)題型．35．（2023?安徽模擬）如圖，在小島A處測得北偏西48°的方位上有一小島B，并測得其北偏東42°方位上有一輪船，同時在小島B處測得輪船S在其北偏東87°方位上，已知小島A到小島B所在的東西方向的距離AD是20海里，求小島B到輪船S之間的距離BS．（精確到1海里）（參考答案：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【分析】根據(jù)題意可得：BD⊥AD，AC∥BD，從而可得∠ABD＝∠BAC＝48°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，再利用平角定義求出∠ABS＝45°，利用角的和差關(guān)系求出∠BAS＝90°，最后在Rt△ABS中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：BD⊥AD，AC∥BD，∴∠ABD＝∠BAC＝48°，在Rt△ABD中，AD＝20海里，∴AB＝≈≈27.0（海里），∵∠EBS＝87°，∴∠ABS＝180°﹣∠ABD﹣∠EBS＝45°，∵∠CAS＝42°，∴∠BAS＝∠BAC+∠CAS＝90°，在Rt△ABS中，BS＝＝≈38（海里），∴小島B到輪船S之間的距離BS約為38海里．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．36．（2023?安徽二模）兩巡邏艇上午9時同時從碼頭A出發(fā)，甲巡邏艇沿正北方向航行，每小時20海里，乙巡邏艇沿北偏東30°方向航行，兩小時后，乙巡邏艇發(fā)現(xiàn)航行方向上C處有救援任務(wù)，向甲巡邏艇呼救，甲巡邏艇發(fā)現(xiàn)救援點C在其北偏東67°方向上，立刻以每小時40海里的速度前往救援，求甲巡邏艇從B處到達救援點C需要多少時間？（參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】過B作HH⊥AC于H，由題意得，AB＝20×2＝40（海里），∠A＝30°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過B作HH⊥AC于H，由題意得，AB＝20×2＝40（海里），∠A＝30°，∴（海里），∵∠CBD＝∠A+∠C＝67°，∴∠C＝37°，∴BC＝＝（海里），∴甲巡邏艇從B處到達救援點C需要＝（小時）．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．37．（2023?蜀山區(qū)二模）我國北斗導(dǎo)航裝備極大的方便了航海時輪船的定位．如圖，一貨輪由A地出發(fā)，去往B地，當(dāng)貨輪在A地時，導(dǎo)航顯示貨輪北偏東45°（即∠CAD＝45°）方向上有海島C，貨輪由A地沿正東方向航行海里到達B地，此時導(dǎo)航顯示海島C在貨輪的北偏東15°（即∠CBE＝15°）方向上，求B地與海島C之間的距離BC．【分析】過點B作BF⊥AC于點F，在Rt△ABF中，求出AF＝BF＝40，進而在Rt△CBF中求出CF即可解答．【解答】解：過點B作BF⊥AC于點F，∵∠CAD＝45°，∴∠ABF＝∠FBE＝45°，∴AF＝BF，∵∠CBE＝15°，∴∠CBF＝60°，在Rt△ABF中，AB＝40海里，∴BF＝sin45°?AB＝×＝40（海里），在Rt△CBF中，CB＝＝80（海里），答：B地與海島C之間的距離BC約為80海里．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形．【過關(guān)檢測】一、單選題1．把三角形三邊的長度都擴大為原來的2倍，則銳角A的正弦函數(shù)值A(chǔ)．?dāng)U大為原來的2倍 B．縮小為原來的C．不變 D．不能確定【答案】C【分析】用邊長等比例的變化，邊長的比值不變解答．【詳解】∵△ABC三邊的長度都擴大為原來的2倍所得的三角形與原三角形相似，∴銳角A的大小沒改變，邊長等比例的變化，邊長的比不變，∴銳角A的正弦函數(shù)值也不變.故選C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα=，代入AB值即可求解．【詳解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南三門峽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理，可得與的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．【詳解】∵，∴，∴，，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先利用勾股定理得出與的關(guān)系，再利用正弦函數(shù)的定義．4．汽車在沿坡比為的斜坡上前進150米，則汽車上升的高度為（

）A．75米 B．米 C．米 D．150米【答案】A【分析】首先根據(jù)題意作圖，然后根據(jù)汽車在沿坡比為的斜坡上前進，即可求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)在直角三角形中，30°所對的斜邊等于直角邊的2倍即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意作圖，∵汽車在沿坡比為的斜坡上前進，∴AE∶AB=，∴，∴∠B=30°，在直角三角形ABE中，（米），故選A．【點睛】本題主要考查了坡角坡度問題，涉及的知識點有含30°角的直角三角形的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是能正確畫出輔助圖．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示，公路AC、BC互相垂直，點M為公路AB的中點，為測量湖泊兩側(cè)C、M兩點間的距離，若測得AB的長為6km，則M、C兩點間的距離為（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【答案】D【詳解】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M為AB的中點，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C兩點間的距離為3km，故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．在中，,，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先畫出圖形，過A點作AD⊥BC交BC于點D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD，再根據(jù)勾股定理求出AD，最后根據(jù)∠B的正切值是，代入計算即可．【詳解】解：如圖：過A點作AD⊥BC交BC于點D，∵AB=AC=5，BC=8，∴BD=CD=4，∴，∴；故選：D．【點睛】此題考查了解直角三角形，用到的知識點勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形．7．已知∠A為銳角，且sinA＝，那么∠A等于（

）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【詳解】解：∵sinA＝，∴A=45°．故選C．8．已知一堤壩的坡度，堤壩的高度為米，則堤壩的斜坡長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】先求出夾角，再根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出.【詳解】坡度=夾角為堤壩的斜坡長=堤壩的高度==故選C.【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.9．（2023秋·九年級單元測試）在某校的科技節(jié)活動中，九年級開展了測量教學(xué)樓高度的實踐活動．“陽光小組”決定利用無人機A測量教學(xué)樓的高度．如圖，已知無人機A與教學(xué)樓的水平距離為m米，在無人機上測得教學(xué)樓底部B的俯角為，測得教學(xué)樓頂部C的仰角為．根據(jù)以上信息，可以表示教學(xué)樓（單位：米）的高度是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分別解，，求出的長即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，在中，，在中，，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確計算是解題的關(guān)鍵．10．西周時期，丞相周公旦設(shè)置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表.如圖是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的圭表，其中，立柱高為.已知冬至?xí)r某地的正午日光入射角約為，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即的長）約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形，可用含a的式子表示出BC的長，即可得出答案．【詳解】解：由題意可知，立柱根部與圭表的冬至線的距離（即的長）約為，．故選：D．【點睛】本題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用，熟記知識點是解此題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長度是__________．【答案】【分析】先根據(jù)坡比求出AB的長度，再利用勾股定理即可求出BC的長度．【詳解】故答案為：．【點睛】本題主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定義及勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．計算：tan60°sin60°﹣cos245°＝__．【答案】1．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡即可求解．【詳解】解：tan60°sin60°﹣cos245°＝﹣（）2＝﹣＝1，故答案為：1．【點睛】此題主要考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．13．（2023秋·九年級單元測試）在中，，，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，則，得出，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，設(shè)，則，∴，∴

故答案為：．【點睛】本題考查了一個銳角的正弦與正切值，解題關(guān)鍵是理解正弦與正切的定義．14．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在一筆直的海岸線上有相距的，兩個觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是_____．

【答案】【分析】過點作于點，然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答案．【詳解】解：過點作于點，

根據(jù)題意得：，，，，，在中，船到海岸線的距離是．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義．三、解答題15．（2023秋·九年級單元測試）計算【答案】+1【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．【詳解】解：原式．【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．16．（2023秋·九年級單元測試）如圖，是的高，，求的長．【答案】【分析】在直角三角形ACD中，根據(jù)邊角關(guān)系先求出AD，再在直角三角形ABD中，求出AB的長．【詳解】解：在Rt△ACD中，sinC＝，∵sinC＝，AC＝10，∴，∴AD＝6．在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，∴AB＝．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17．（2023秋·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）平放在地面上的三角形鐵板的一部分被沙堆掩埋，其示意圖如圖所示，量得∠A為，∠B為，邊的長為2m，BC邊上露出部分的長為m，求鐵板邊被掩埋部分的長.（結(jié)果精確到m，，）【答案】米【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)求得的長，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：由題意可知：三角形ABC是直角三角形，則在直角三角形中，，，．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，正確利用三角函數(shù)解得的長是解題關(guān)鍵．18．一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長．【答案】15﹣5【分析】過點B作BM⊥FD于點M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【詳解】解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC?tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC?sin30°＝10×＝5，CM＝BC?cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．關(guān)鍵是能通過解直角三角形求出線段CM，MD的長．19．如圖，?ABCD中，連接AC，