2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點(diǎn)《空間距離+空間角》含答案解析

高中高中專題05空間距離+空間角（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練30題）一、單選題1．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）

A． B． C． D．2．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．3．在長方體中，，，，則異面直線與的距離是（

）A． B． C． D．4．如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面AEF的距離為（

）A． B．2C． D．5．如圖，正方體的棱長為，其中分別是棱的中點(diǎn)，則到平面的距離是（

）

A． B． C． D．6．如圖，在直三棱柱中，，，，且，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．7．二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（

）

A．30° B．60° C．120° D．150°8．三棱錐中，，，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．9．在正方體中，是BD的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．10．在正方體中，若點(diǎn)P（異于點(diǎn)B）是棱上一點(diǎn)，則滿足與所成的角為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．3 C．4 D．611．在正方體中，為的中點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．12．、、是從點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成的夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱(不包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積的取值范圍為.

14．在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，為等邊三角形，，則四棱錐的外接球球心到平面的距離是.15．在正方體中，點(diǎn)P、Q分別在、上，且，，則異面直線與所成角的余弦值為16．在直三棱柱中，，，點(diǎn)P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為三、解答題17．如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)若四面體的體積為，求；(3)若，求直線AD與平面所成角的正弦值的最大值.18．如圖，已知圓錐的底面圓周上有三點(diǎn)，為底面圓的直徑，且為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值．19．如圖，四棱錐的底面是邊長為2菱形，，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證；平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的余弦值.20．如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，．

(1)證明：平面；(2)若圓錐的側(cè)面積為，求二面角的正弦值．21．如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.22．如圖，在四棱錐中，，

，，平面平面．(1)求證：平面；(2)點(diǎn)Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.23．如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，二面角的大小為．(1)證明：平面平面．(2)求四棱錐的體積．(3)若點(diǎn)在線段上，且平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．24．如圖，在三棱錐中，已知為銳角三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．25．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．26．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ABCD.(2)若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.27．如圖，在斜三棱柱中，為邊長為3的正三角形，側(cè)面為正方形，在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)O．

(1)求證：；(2)若，求直線和平面的距離．28．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，證明：平面DCE；(2)若平面DCE與平面BDF所成銳二面角的余弦值為，求點(diǎn)F到平面DCE的距離．29．如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動(dòng)點(diǎn)，為圓柱的一條母線，點(diǎn)在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.(1)求證：；(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線距離的最大值.30．如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值；(3)求A點(diǎn)到直線的距離.專題05空間距離+空間角（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練30題）一、單選題1．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得點(diǎn)F到平面的距離，又可證得平面，即可得出直線到平面的距離.【詳解】在直三棱柱中，，如圖所示，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，E、F分別為的中點(diǎn)，則，，，，，所以，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)?，所以點(diǎn)F到平面的距離為.因?yàn)樵谥比庵校謩e為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，則點(diǎn)F到平面的距離即為直線到平面的距離.故選：B.2．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】通過向量的運(yùn)算求出向量在直線方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】已知點(diǎn)和點(diǎn)，則.向量在上的投影長度.先求.再求.所以.根據(jù)勾股定理，點(diǎn)到直線的距離.先求.則.故選：C.3．在長方體中，，，，則異面直線與的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線的距離、異面直線距離的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解直線與的公垂線的方向向量，利用異面直線距離的向量公式求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，，，設(shè)直線與的公垂線的方向向量為，則，取，則，，，又，異面直線與的距離是.故選：A.4．如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面AEF的距離為（

）A． B．2C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求平面的法向量、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，求平面AEF的法向量，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面AEF的法向量為，則，令，則，可得，所以點(diǎn)到平面AEF的距離.故選：A.5．如圖，正方體的棱長為，其中分別是棱的中點(diǎn)，則到平面的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎襟w的棱長為，所以，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，到平面的距離是，所以，，令，解得，故為平面的一個(gè)法向量，由點(diǎn)到平面的距離公式得，故D正確.故選：D6．如圖，在直三棱柱中，，，，且，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)表示、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)A坐標(biāo)以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則可取，則點(diǎn)到平面的距離為．故選：B.7．二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（

）

A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、面面角的向量求法【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合模長公式可得，即可向量根據(jù)夾角公式求解.【詳解】由可得,故，進(jìn)而可得,由于，由于，故，由于夾角的大小即為二面角的大小，故二面角大小為120°，故選：C8．三棱錐中，，，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】根據(jù)幾何體棱長建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量求法計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：因?yàn)椋钥傻?，又，所以即，即，故，滿足，所以；所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得；可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C9．在正方體中，是BD的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、異面直線夾角的向量求法【分析】由空間向量求解異面直線夾角即可.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，則，所以，，設(shè)直線和夾角為，所以.故選：A.10．在正方體中，若點(diǎn)P（異于點(diǎn)B）是棱上一點(diǎn)，則滿足與所成的角為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法建立點(diǎn)坐標(biāo)間的等式，再分類討論得解.【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)，，，于是，整理得，顯然點(diǎn)不能在坐標(biāo)軸上，否則，當(dāng)時(shí)，，而，無解，即點(diǎn)不能在棱上；當(dāng)時(shí)，，若，則；若，則無解；若，則，于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上；當(dāng)時(shí)，，若，則無解；若，則，于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上，所以可以在棱上，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線線角的求法建立等式，分類討論求解.11．在正方體中，為的中點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面角的向量求法【分析】設(shè)正方體的棱長為1，利用向量法求平面與平面夾角的余弦值.【詳解】兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，則，A1,0,0，，則，又因?yàn)?，，，平面，故平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．故選：D．12．、、是從點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成的夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】將、、三條射線截取出來放在正方體中進(jìn)行分析，建系，利用空間向量法求解.【詳解】如圖所示，把、、放在正方體中，使得這三條線成為正方體的三條面對(duì)角線，則、、的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，則、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量，則令，則，，所以，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以．故選：B．二、填空題13．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱(不包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積的取值范圍為.

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離，從而求解.【詳解】由題知以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，，，，，設(shè)，，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)?，所以，由題知，所以為等邊三角形，其面積，所以三棱錐的體積，故答案為：.14．在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，為等邊三角形，，則四棱錐的外接球球心到平面的距離是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】根據(jù)題意分析可得外接球球心必在上，結(jié)合球的相關(guān)性質(zhì)求，再建系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】取的中點(diǎn)，連接∵為等邊三角形，則平面平面，平面平面∴平面取的中點(diǎn)，由于四邊形為等腰梯形，且，則可以得到，即為等腰梯形的外接圓的圓心過作的平行線，則外接球球心必在上，設(shè)，在梯形中，，則∵，即，解出，建系如圖，則設(shè)平面的法向量，則令，則，則∵，則到平面的距離故答案為：.【點(diǎn)睛】對(duì)于具有外接球的錐體：其外接球的球心位于過底面多邊形的外心且與底面垂直的垂線上.再結(jié)合球的截面性質(zhì)列方程求其半徑.15．在正方體中，點(diǎn)P、Q分別在、上，且，，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】45/【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體中棱長為3，以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則.即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16．在直三棱柱中，，，點(diǎn)P滿足，其中，則直線AP與平面所成角的最大值為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、已知線面角求其他量【分析】分別取中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角的正弦值，然后結(jié)合函數(shù)知識(shí)得最大值.【詳解】分別取中點(diǎn)，則，即平面，連接,因?yàn)?所以,以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知,,,,,則,因?yàn)椋?，，易知平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線AP與平面所成角為，，則，所以時(shí)，，即的最大值是．故答案為：．三、解答題17．如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)若四面體的體積為，求；(3)若，求直線AD與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直、線面角的向量求法【分析】（1）證明，可證線面垂直；（2）由已知四面體體積求得體積，再由體積公式可得；（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．【詳解】（1）.的中點(diǎn)為，則..，則，故，即.因?yàn)?，，平面，平面，所以平?（2）因?yàn)?，所?而，所以，解得：.（3）過作軸垂直平面，以方向分別為則，，設(shè)平面法向量為由得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，所以所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．18．如圖，已知圓錐的底面圓周上有三點(diǎn)，為底面圓的直徑，且為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、線面垂直證明線線垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用圓錐性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，由面面垂直判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系求出兩平面的法向量，再由空間向量夾角的計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)圓錐性質(zhì)可得平面，平面，可得，又為的中點(diǎn)，利用圓的性質(zhì)可得，因?yàn)槠矫?，可得平面，又平面，所以平面平?（2）取的中點(diǎn)為，連接，又為底面圓的直徑，且為的中點(diǎn)，可知，且為等邊三角形，因此可得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：由可知；所以因此，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x則，令，可得;即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x則，解得，令，可得;即；易知，所以二面角的正弦值為.19．如圖，四棱錐的底面是邊長為2菱形，，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證；平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、證明線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)構(gòu)造線線平行，再利用線面平行的判定證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定先證明平面，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，.點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.（2）連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得取.由得取.設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.20．如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，．

(1)證明：平面；(2)若圓錐的側(cè)面積為，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、面面角的向量求法【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明、，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)圓錐的側(cè)面積求得及，求出平面、平面的一個(gè)法向量，利用向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）平面，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，與同向的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，故，，，，，，，．，．故，，，，平面，平面；（2）圓錐的側(cè)面積，，,由（1）可知，為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，故，令得，則，所以二面角的正弦值為．21．如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、線面角的向量求法【分析】(1)取的中點(diǎn)，先根據(jù)題意證明四邊形是平行四邊形，再證明平面即可.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，有，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?

（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，所以，，由，，，四邊形是正方形，有，，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，在平面?nèi)作直線的垂線，則平面，有，，分別以，，所在直線為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，由，，知，由，知，從而有，，B1,0,0，C1,1,0有，，BC=0,1,0，設(shè)平面的法向量為，由，有，取，則，，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則.22．如圖，在四棱錐中，，

，，平面平面．(1)求證：平面；(2)點(diǎn)Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、面面垂直證線面垂直、已知線面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）若分別為中點(diǎn)，連接，易得、、、，再應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)得面，由線面垂直的性質(zhì)證、，最后綜合線面垂直的性質(zhì)及判斷定理證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適空間直角坐標(biāo)系，首先根據(jù)線面角的向量求法列方程求Q位置，再應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）若分別為中點(diǎn)，連接，由，，則為直角梯形，且為中位線，所以，且，由，則，又，可得，面面，面，面面，則面，面，故，則，由面，則，又，均在面內(nèi)，所以面，面，可得，所以，故，即，由，則，而均在面內(nèi)，所以平面.（2）由（1）可構(gòu)建如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，令且，則，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，由題意，整理得，故，則，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面與平面夾角的余弦值.23．如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，二面角的大小為．(1)證明：平面平面．(2)求四棱錐的體積．(3)若點(diǎn)在線段上，且平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明面面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法【分析】（1）先證明平面，再由面面垂直的判定定理得證；（2）證明平面，再由棱錐體積公式得解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，，利用求出，再由向量法求線面角的正弦即可.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接．在中，由，所以．由，所以，因?yàn)椋远娼堑钠矫娼菫?，則．因?yàn)?，平面，所以平面，由平面，所以，則，所以．又，所以．又因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，即四棱錐的高為，所以四棱錐的體積為．（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．記，則．連接．設(shè)，則，．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫?，則，解得，則．又，所以，．設(shè)平面的法向量為，則由得取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為．24．如圖，在三棱錐中，已知為銳角三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、線面垂直證明線線垂直、面面垂直證線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)證明平面，進(jìn)而得到.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，分別求平面、平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，根據(jù)二面角的余弦值求參數(shù)的值，進(jìn)而求三棱錐的體積.【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面．又平面，所以．又，，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）由（1）可知，可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，∵為銳角三角形，則，，，，故，因此，．∴是平面的一個(gè)法向量,設(shè)平面的法向量為，則，即，化簡得，取，則，，因此．由題意知，解得，因此三棱錐的體積為．25．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、線面角的向量求法【分析】（1）由已知條件，結(jié)合勾股定理，可以判定，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量，即可求得線面所成角的正弦值.【詳解】（1）不妨設(shè)正方形邊長為2，則，由，得，再由，，平面??，得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則取，記與平面所成角為，則．26．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ABCD.(2)若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.【答案】(1)證明見詳解(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)題意可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面AMF的法向量，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）因?yàn)?，，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.27．如圖，在斜三棱柱中，為邊長為3的正三角形，側(cè)面為正方形，在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)O．

(1)求證：；(2)若，求直線和平面的距離．【答案】(1)證明過程見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、求點(diǎn)面距離、線面垂直證明線線垂直、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）分析得知要證，只需證，取的中點(diǎn)分別為，故只需證明即可，而這又可以通過線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明；（2）將問題轉(zhuǎn)換為求點(diǎn)到平面的距離，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意分別求出即可，其中為平面的法向量，進(jìn)一步由公式即可得解.【詳解】（1）

一方面：因?yàn)樵诘酌鎯?nèi)的射影為點(diǎn)O，而平面，所以，故要證，只需證；另一方面：取的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)闉檫呴L為3的正三角形，所以也是邊長為3的正三角形，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，的中點(diǎn)分別為，所以，又因?yàn)?，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以；綜上所述，；（2）一方面：注意到平面，平面，所以平面，要求直線和平面的距離，只需求點(diǎn)到平面的距離即可；另一方面：若，則點(diǎn)為三角形的外心，從而三點(diǎn)共線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易知，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，從而兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意，，從而，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，所以點(diǎn)到平面的距離為；綜上所述，直線和平面的距離為.28．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，證明：平面DCE；(2)若平面DCE與平面BDF所成銳二面角的余弦值為，求點(diǎn)F到平面DCE的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、面面垂直證線面垂直、已知面面角求其他量、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形ABEG為平行四邊形，故O為AE中點(diǎn)，由中位線得到且，即四邊形BCHO為平行四邊形，故，得到平面DCE，即平面DCE；（2）由面面垂直得到線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用銳二面角的余弦值列出方程，求出，從而得到點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：如圖，連接AE交BG于點(diǎn)O，取DE中點(diǎn)為H，連接HO，HC，GE，在四邊形ABEG中，，，故四邊形ABEG為平行四邊形．故O為AE中點(diǎn)，所以在中，OH為中位線，則且，又且，故且，即四邊形BCHO為平行四邊形，所以，又∵平面DCE，平面DCE，∴平面DCE，即平面DCE．（2）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，平面平面，，平面ABCD，所以平面ABEF，如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，則，，，設(shè)平面DCE的法向量為，則，取，∵，，設(shè)平面BDF的法向量為，∴，?。善矫鍮DF與平面DCE所成銳二面角