2024-2025學年高二上學期期末數學考點《導數與函數的零點》含答案解析

高中PAGE1高中清單12導數與函數的零點（方程的根）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】函數的零點（1）函數零點的定義：對于函數，把使的實數叫做函數的零點．（2）三個等價關系方程有實數根函數的圖象與軸有交點的橫坐標函數有零點．【清單02】函數零點的判定如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結論稱為函數零點存在性定理．注意：單調性+存在零點=唯一零點【考點題型一】判斷函數零點（方程的根）的個數【例1】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數.(1)求的極值點；(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個數，并說明理由.【變式1-1】（23-24高二下·廣西桂林·期末）已知函數．(1)求的單調區(qū)間和極值；(2)判斷在1,2上是否有零點，并說明理由．【變式1-2】（23-24高二下·河南鄭州）已知函數.(1)求的極值；(2)判斷在上的零點個數，并說明理由.【考點題型二】證明函數零點（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數.(1)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；(2)當時，求證：在上有唯一零點.【變式2-1】（24-25高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數，．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)證明：函數存在唯一零點．【變式2-2】（24-25高三上·浙江金華）設，已知函數，．（1）當時，證明：當時，；（2）當時，證明：函數有唯一零點．【考點題型三】討論函數零點（方程的根）的個數【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函數.(1)求函數的圖象在點處的切線方程；(2)討論方程的實根的個數.【變式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數.(1)若在處取得極大值，求的值；(2)求的零點個數.【變式3-2】（23-24高三上·云南·階段練習）已知．(1)當時，求在上的單調性；(2)若，令，討論方程的解的個數．【考點題型四】利用極值（最值）研究函數的零點（方程的根）【例4】（24-25高三上·廣東梅州·期中）已知函數在處取得極大值.(1)求的值；(2)若有且只有個零點，求實數的取值范圍.【變式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·階段練習）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)如果過點可作曲線的三條切線，求實數b的取值范圍．【變式4-2】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知函數，當時，取得極值．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【考點題型五】數形結合法研究函數的零點（方程的根）【例5】（2024高三上·全國·專題練習）已知函數.若有兩個零點.求a的取值范圍.【變式5-1】（2024高三上·全國·專題練習）已知函數.若有兩個零點.求的取值范圍【變式5-2】（2024·貴州貴陽）已知函數.(1)當時.求在處的切線方程;(2)若方程存兩個不等的實數根，求的取值范圍.【變式5-3】（2024高二·河南南陽·專題練習）若函數，當時，函數有極值．(1)求函數的解析式；(2)若關于的方程有三個零點，求實數的取值范圍．【考點題型六】利用同構函數法研究函數的零點（方程的根）【例6】（24-25高三上·遼寧葫蘆島·階段練習）設，若不等式在時恒成立，則k的最大值為【變式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【變式6-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）若a>0且關于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是．【考點題型七】導數中新定義題【例7】（24-25高三上·山東菏澤·期中）若函數在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點函數”，其中、也稱為在上的奇點.(1)已知函數是區(qū)間上的雙奇點函數，求實數的取值范圍；(2)已知函數，；（i）當時，若為在區(qū)間上的“奇點”，證明：；（ii）求證：對任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點”.【變式7-1】（24-25高三上·上?！るA段練習）已知的子集和定義域同為的函數，．若對任意，，當時，總有，則稱是的一個“關聯(lián)函數”．(1)求的所有關聯(lián)函數；(2)若是其自身的一個關聯(lián)函數，求實數的取值范圍；(3)對定義在R上的函數，證明：“對任意x∈R成立”的充分必要條件是“存在函數，使得對任意正整數，都是的一個關聯(lián)函數”．【變式7-2】（24-25高三上·安徽·階段練習）定義：記函數的導函數為f′x，若f′x在區(qū)間上單調遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數；若f′x在區(qū)間上單調遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數.已知函數.(1)求證：為區(qū)間上的凹函數；(2)若為區(qū)間的凸函數，求實數的取值范圍；(3)求證：當時，.提升訓練一、單選題1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）函數的零點個數為（

）A．1 B．0 C．3 D．22．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．3．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）已知函數.若函數有三個零點，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）若關于的方程有3個不同的根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山東·開學考試）若函數的圖象與直線有3個不同的交點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·山東東營·期末）已知函數，若方程有三個實數解，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）若點，關于原點對稱，且均在函數的圖象上，則稱是函數的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是.8．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習）已知，若函數恰有三個零點，則的取值范圍為.三、解答題9．（24-25高三上·山東臨沂·期中）已知函數.(1)求的導函數的極值；(2)不等式對任意恒成立，求k的取值范圍；(3)對任意，直線與曲線有且僅有一個公共點，求b的取值范圍.10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數在點處的切線方程為(1)求函數的解析式；(2)若，且過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習）已知函數．(1)若曲線在處的切線過點，求實數的值；(2)若在內有兩個不同極值點，求實數的取值范圍．12．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）設f′x是函數的導函數，f″x是函數f′x的導函數，若方程f″x=0有實數解，則稱點x(1)求實數的值；(2)求的零點個數.13．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習）已知函數.(1)求函數的極值；(2)若方程有三個不同的實數解，求實數a的取值范圍.14．（22-23高二下·江西南昌·階段練習）已知.(1)求的圖象的以為切點的切線方程；(2)過點可對的圖象作出三條切線，求實數的取值范圍.15．（24-25高三上·江蘇·階段練習）已知定義：函數的導函數為，我們稱函數的導函數為函數的二階導函數，如果一個連續(xù)函數在區(qū)間I上的二階導函數，則稱為I上的凹函數;二階導函數，則稱為I上的凸函數.若是區(qū)間I上的凹函數，則對任意的，有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.若是區(qū)間I上的凸函數，則對任意的，有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.已知函數，.(1)試判斷在為凹函數還是凸函數?(2)設，，，，且，求的最大值;(3)已知，且當，都有恒成立，求實數a的所有可能取值.清單12導數與函數的零點（方程的根）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】函數的零點（1）函數零點的定義：對于函數，把使的實數叫做函數的零點．（2）三個等價關系方程有實數根函數的圖象與軸有交點的橫坐標函數有零點．【清單02】函數零點的判定如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結論稱為函數零點存在性定理．注意：單調性+存在零點=唯一零點【考點題型一】判斷函數零點（方程的根）的個數【例1】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數.(1)求的極值點；(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個數，并說明理由.【答案】(1)極大值點為1，無極小值點(2)1個，理由見解析【知識點】利用導數研究方程的根、求已知函數的極值點【分析】（1）求出f′x，利用f′（2）令，利用導數判斷出在區(qū)間上的單調性，結合極值、端點值可得答案.【詳解】（1），當時，f′x>0；當時，f′∴fx在0,1單調遞增，1,+∴fx（2）方程在區(qū)間上只有1個解，理由如下：令，則，當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，又，在有一個零點，在無零點，所以方程在區(qū)間上只有1個解.【變式1-1】（23-24高二下·廣西桂林·期末）已知函數．(1)求的單調區(qū)間和極值；(2)判斷在1,2上是否有零點，并說明理由．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為，極小值為，無極大值；(2)函數在上有零點，理由見解析【知識點】用導數判斷或證明已知函數的單調性、求已知函數的極值、零點存在性定理的應用、利用導數研究函數的零點【分析】（1）先確定函數的的定義域，再求導確定單調區(qū)間和極值；（2）根據零點存在定理確定函數在上是否有零點.【詳解】（1）函數的定義域為0,+∞，，令，得，的增區(qū)間為1,+∞，令，得，的減區(qū)間為0,1的極小值為，無極大值.（2）在上有零點，因為，，所以，由零點存在定理可知，函數在上有零點.【變式1-2】（23-24高二下·河南鄭州）已知函數.(1)求的極值；(2)判斷在上的零點個數，并說明理由.【答案】(1)有極大值，無極小值(2)在上有兩個零點，理由見解析【知識點】求已知函數的極值、利用導數研究函數的零點【分析】（1）先研究函數導數正負，進而得函數單調性即可求解函數極值.（2）根據（1）得函數單調性，從而根據函數在上的單調性和最值以及端點值情況即可求解判斷.【詳解】（1）由題，則恒成立，所以f′x在上單調遞減，又，所以時，f′x>0；x∈0,+所以在上單調遞增，在0,+∞上單調遞減，所以有極大值，無極小值.（2）在上有兩個零點，理由如下：由（1）在上單調遞增，在0,+∞上單調遞減，所以函數有最大值，又，故在上有兩個零點.【考點題型二】證明函數零點（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數.(1)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；(2)當時，求證：在上有唯一零點.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】由函數在區(qū)間上的單調性求參數、利用導數研究函數的零點、利用導數研究不等式恒成立問題【分析】（1）根據題意轉化為在上恒成立，然后轉化為最值問題，求導即可得到結果；（2）對函數求導構造新函數，通過導數確定單調性，進而確定在上存在唯一的零點，分情況討論函數各區(qū)間零點個數，即可得解.【詳解】（1）因為在上單調遞增，所以在上恒成立，即.令，x>0，因為且，所以在上恒成立.所以在上單調遞增，所以，即.（2）考慮，則.因為，所以，所以在上單調遞增，所以，即，①，所以，所以，即②.令，則，所以在上單調遞增.由①得，又，且的圖象在上不間斷，所以在上存在唯一的零點，記為.當時，，單調遞減，又，所以在上恒成立，且；當時，，單調遞增，由②知，又，所以在上存在唯一的零點.綜上所述，函數在上有唯一零點.【點睛】思路點睛：涉及含參的函數零點問題，利用導數分類討論，研究函數的單調性，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.【變式2-1】（24-25高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數，．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)證明：函數存在唯一零點．【答案】(1)的增區(qū)間為；(2)詳見解析.【知識點】利用導數求函數的單調區(qū)間（不含參）、利用導數研究函數的零點、用導數判斷或證明已知函數的單調性、函數單調性、極值與最值的綜合應用【分析】（1）由題可得，然后利用導數研究函數的性質可得，進而即得；（2）由題可得時，函數在上單調遞增，結合零點存在定理可得函數存在唯一零點，時，利用導數研究函數的極值，結合函數的單調性進而即得.【詳解】（1）因為的定義域為，所以，設，則，由，可得，由，可得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以函數在上單調遞增，即函數的增區(qū)間為；（2）由題可知當時，函數在上單調遞增，又，令，則，所以存在，使，即當時，函數存在唯一零點；當時，，又在上單調遞減，在上單調遞增，所以存在，，使得，且在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，則時，函數有極大值，又，設，則，函數在上單調遞增，所以，故，又時，，所以時，函數在上存在唯一的零點；綜上，函數存在唯一零點．【點睛】利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；（3）利用導數研究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數研究.【變式2-2】（24-25高三上·浙江金華）設，已知函數，．（1）當時，證明：當時，；（2）當時，證明：函數有唯一零點．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【知識點】利用導數證明不等式、利用導數研究函數的零點【解析】（1）當時，構造函數，利用導數證明出當時，，即可證得結論成立；（2）分析出當時，，利用導數分析函數在區(qū)間上的單調性，利用零點存在定理可證得結論成立.【詳解】，令，（1）證明：要證原不等式，只需證：當時，．則對任意的恒成立.所以，函數在0,+∞上單調遞增，因此，即原不等式成立；（2）（i）由（Ⅰ）可得當時，，故函數在0,+∞上沒有零點；（ii）當時，．令，．則遞增，且，，在上存在唯一零點，記為，當，，此時，函數單調遞減；當時，，此時，函數單調遞增.，，，，在上存在唯一零點，當時，．故當，；當時，．在上遞增，在上遞減，且．令，當時，則，函數在上遞增，，，取，且，則，則有，又，由零點存在定理可得，在上存在唯一的零點．綜上可證：函數在0,+∞上有唯一零點．【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.【考點題型三】討論函數零點（方程的根）的個數【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函數.(1)求函數的圖象在點處的切線方程；(2)討論方程的實根的個數.【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導數研究方程的根【分析】（1）求得，，可求切線方程；（2）求導得，進而可得在上單調遞減，在上單調遞增，又時，，時，，可作大致圖象，由圖象可得絕地求生論.【詳解】（1），，又，函數的圖象在點處的切線方程為，即.（2）函數的定義域為，且，時，f′x<0，時，f∴fx在上單調遞減，在上單調遞增，，時，，時，，時時.∴fx

當時，方程沒有實數根；當或時，方程有且只有1個實數根；當時，方程有2個實數根.【變式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數.(1)若在處取得極大值，求的值；(2)求的零點個數.【答案】(1)(2)1【知識點】利用導數研究函數的零點、根據極值點求參數【分析】（1）求出函數導數，利用極值點導數為0求出，再檢驗即可得解；（2）分三種情況討論，討論時，列出當變化時，的變化情況，再由零點存在性定理判斷零點個數即可.【詳解】（1）的定義域為.因為4是的極大值點，所以，即，解得或當時，當變化時，的變化情況如下表：34+00+極大值極小值此時，4是的極小值點，不符合題意；當時，當變化時，的變化情況如下表：46+00+極大值極小值此時4是的極大值點，符合題意.因此，此時.（2）①當時，當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時，，又，因此在上有且僅有一個零點，因此的零點個數是1.②當時，對任意，在上是增函數，又，由零點存在定理知，有1個零點，因此的零點個數是1.③當時，當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時，，又，因此在上有且僅有1個零點，因此的零點個數是1.綜上，當時，的零點個數是1.【變式3-2】（23-24高三上·云南·階段練習）已知．(1)當時，求在上的單調性；(2)若，令，討論方程的解的個數．【答案】(1)在上遞增(2)答案見解析【知識點】用導數判斷或證明已知函數的單調性、利用導數研究方程的根【分析】（1）求出的導數，并判斷在的正負，可得在上的單調性；（2）方程的解的個數問題轉化為函數的圖像與直線的交點個數問題，畫出函數的圖像，利用數形結合的手段即可解決.【詳解】（1）因為所以當時，，所以，則當時，，，可得，所以在上遞增．（2）因為，，所以，，令，解得，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增．當時，有極小值．令，解得．令，可得，當時，；當時，．所以，的圖像經過特殊點，，．當時，，從而；當時，，，從而．根據以上信息，我們畫出的大致圖像如圖所示．

方程的解的個數為函數的圖像與直線的交點個數．所以，關于方程的解的個數有如下結論：當時，解為0個；當或時，解為1個；當時，解為2個．【點睛】方法點睛：解決方程的解的個數問題，可轉化為兩個函數交點的個數問題，畫出兩函數的圖像，采取數形結合的手段解決.【考點題型四】利用極值（最值）研究函數的零點（方程的根）【例4】（24-25高三上·廣東梅州·期中）已知函數在處取得極大值.(1)求的值；(2)若有且只有個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據極值點求參數、利用導數研究函數的零點【分析】（1）由題意可得，可求出的值，然后就的值進行檢驗，即可得出實數的值；（2）分析函數的單調性與極值，根據函數的零點個數可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】（1）解：因為，則，因為函數在處取得極大值，則，解得或.當時，，由得或；由得.此時，函數在上遞減，在上遞增，則極小值為，不合題意；當時，，由得或；由得；所以，函數在上遞增，在上遞減，此時，函數極大值，合乎題意.綜上，.（2）解：由（1）可知，，，函數的增區(qū)間為、，減區(qū)間為。所以，函數極大值，極小值，又因為有且只有個零點，則，解得，因此，實數的取值范圍是.【變式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·階段練習）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)如果過點可作曲線的三條切線，求實數b的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導數研究函數的零點【分析】（1）先對求導，將代入推出斜率，即可推出結論；（2）先設切點，推出切線方程為，化簡整理得，記，則有三個不同的零點，即可推出結論．【詳解】（1），所以，則曲線在點處的切線方程為：．（2）設切點，則切線方程為，又切線過點，所以，即，由題意，上述關于方程有三個不同的實數解，設，則有三個不同的零點，而，令，得或，當時，，則在和上單調遞增，當，，則在上單調遞減，若有三個不同的零點，則，解得，所以實數b的取值范圍為．【變式4-2】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知函數，當時，取得極值．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據極值求參數、函數單調性、極值與最值的綜合應用、利用導數研究方程的根、根據極值點求參數【分析】（1）求出函數的導數，根據極值點和函數極值，列出方程組，即可求得答案；（2）由題意求出函數在區(qū)間上的值域，即得答案.【詳解】（1）依題意可得，又當時，取得極值，所以，即；解得，則，當或時，f′x>0；當時，f′即在上均單調遞增，在上單調遞減，故為的極小值點，極小值為，符合題意，所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當變化時，的變化情況如下表所示：0,22,3f單調遞增單調遞減單調遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為，若在區(qū)間上有解，則的范圍即為的值域，所以.【考點題型五】數形結合法研究函數的零點（方程的根）【例5】（2024高三上·全國·專題練習）已知函數.若有兩個零點.求a的取值范圍.【答案】【知識點】利用導數研究函數的零點、由導數求函數的最值（不含參）【分析】令.參變分離.然后構造函數.將問題轉化為函數的圖象與直線的交點問題.利用導數研究函數的單調性.然后作圖可知.【詳解】令.得.記.則.記.因為.所以hx在R上單調遞減.又.所以.當時.hx>0.即.單調遞增；當時.hx<0.即.單調遞減.所以當時，有最大值.而.又當時.恒成立.所以可得函數的草圖如圖所示.由圖可知.當時.函數的圖象與直線有兩個交點.所以有兩個零點時.a的取值范圍為0,1.【變式5-1】（2024高三上·全國·專題練習）已知函數.若有兩個零點.求的取值范圍【答案】【知識點】利用導數研究函數的零點、根據函數零點的個數求參數范圍【分析】將函數有兩個零點.轉化為與有兩個交點問題.利用導數研究并作出函數hx的圖象.即得的取值范圍.【詳解】令gx=0得設，則.當x∈0,1時.在0,1上遞減；當x∈1,+∞時.在1,+則.又因時，，，時作出函數的圖象.由圖可得.要使直線與函數hx的圖象有兩個交點.須使.即.故的取值范圍是0,1.【變式5-2】（2024·貴州貴陽）已知函數.(1)當時.求在處的切線方程;(2)若方程存兩個不等的實數根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】利用導數研究方程的根、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）根據導數的幾何意義求切線方程；（2）方程進行分離參數變形為，引入函數，利用導數確定函數的單調性與極值，結合函數圖象得出結論．【詳解】（1）當時，，則，所以，，所以在處的切線方程為：，即．（2）由得，，易知，顯然當時等式不成立，所以當時，令，則，當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，且，作出的大致圖象，如圖，由的圖象可知當時，方程有兩個不同的解，即方程有兩個不等的實數根，所以的取值范圍是．.【變式5-3】（2024高二·河南南陽·專題練習）若函數，當時，函數有極值．(1)求函數的解析式；(2)若關于的方程有三個零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】根據極值求參數、利用導數研究方程的根【分析】（1）對函數進行求導，利用，解方程即可得答案；（2）作出函數的圖象，直線與函數圖象需有3個交點，即可得答案.【詳解】（1），當時，函數有極值，所以，解得，得到解析式為，經檢驗，符合題意，所以所求函數解析式為.（2）由（1）可知令，得或當變化時，f′x、的變化情況如下表：f＋－＋↗↘↗因此，當時，有極大值，當時，有極小值，所以大致圖象如圖所示，又因為有三個零點，即有三個實數解，所以實數的取值范圍為.【考點題型六】利用同構函數法研究函數的零點（方程的根）【例6】（24-25高三上·遼寧葫蘆島·階段練習）設，若不等式在時恒成立，則k的最大值為【答案】【知識點】由導數求函數的最值（不含參）、利用導數研究不等式恒成立問題【分析】利用同構法整理不等式，構造函數并研究單調性，可化簡不等式，利用分離參數，再構造新函數，利用單調性，可得答案.【詳解】由于在時恒成立，則在時恒成立.令，，則，所以在0,+∞上單調遞增，當時，由，則；當時，由，則顯然成立；綜上所述：，可得，即.令，，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以，所以，則的最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于利用冪指恒等代換進同構整理，由此構造函數即可.【變式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【答案】【知識點】由導數求函數的最值（不含參）、利用導數研究不等式恒成立問題【分析】構造函數，利用單調性得到，分離參數，求出，，的最大值即可【詳解】由條件得，構造函數，對其求導得，令得，于是當時，f′x<0，函數單調遞減；當時，f′x>0因為，，所以，，根據，得到，分離參數得對恒成立，只需構造函數，，對其求導得，令得，于是當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，所以，于是，因此k的取值范圍是故答案為：【變式6-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）若a>0且關于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是．【答案】【知識點】函數單調性、極值與最值的綜合應用、利用導數研究不等式恒成立問題【分析】首先構造函數，由a>0得在0,+∞單調遞增，將題目中不等式轉化為，由單調性得出，再構造，根據導數求解參數范圍即可．【詳解】由，所以，設，由a>0得在0,+∞單調遞增，所以，設，則，顯然單調遞增，令，得，①當，即時，在時，，則在單調遞減，在時，，則在單調遞增，所以，因為當時，，不合題意；②當，即時，則當時，，在0,+∞單調遞增，所以，令得，，則當時，，當時，，不合題意；綜上所述，，故答案為：．【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于構造，將轉化為，簡化運算進而求解．【考點題型七】導數中新定義題【例7】（24-25高三上·山東菏澤·期中）若函數在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點函數”，其中、也稱為在上的奇點.(1)已知函數是區(qū)間上的雙奇點函數，求實數的取值范圍；(2)已知函數，；（i）當時，若為在區(qū)間上的“奇點”，證明：；（ii）求證：對任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點”.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【知識點】根據二次函數零點的分布求參數的范圍、利用導數證明不等式、利用導數研究函數的零點、函數新定義【分析】（1）根據“奇點”的定義分析可知，方程在有兩解，令，根據二次函數的零點分布可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍；（2）（i）根據“奇點”的定義以及已知條件推導出，將要證的不等式變形為，即，令，可變形為，然后構造函數，利用導數分析該函數的單調性，即可證得結論成立；（ii）令，構造函數，根據單調性得出函數值的范圍結合零點存在定理即可證明.【詳解】（1）因為，則，由，所以有兩解，即在有兩解，令，所以，解得：.（2）（i）因為，，當時，，則，因為，，所以，，即，要證，即證，即，令，因為，所以，設，所以，所以在1,+∞上單調遞增，所以，所以，即證.（ii）令，即，因為，，所以，所以在區(qū)間是單調遞減的，因為，令，所以，所以，設，所以，當時，；當時，.即在0,1上單調遞減，1,+∞上單調遞增，所以，即，因為，，所以；同理，因為，，所以，即，所以，所以，因為，且在區(qū)間是單調遞減，所以在區(qū)間上存在唯一零點，即對任意的，在區(qū)間上的“奇點”是唯一的.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.【變式7-1】（24-25高三上·上?！るA段練習）已知的子集和定義域同為的函數，．若對任意，，當時，總有，則稱是的一個“關聯(lián)函數”．(1)求的所有關聯(lián)函數；(2)若是其自身的一個關聯(lián)函數，求實數的取值范圍；(3)對定義在R上的函數，證明：“對任意x∈R成立”的充分必要條件是“存在函數，使得對任意正整數，都是的一個關聯(lián)函數”．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【知識點】充要條件的證明、由導數求函數的最值（不含參）、函數新定義【分析】（1）要根據“S關聯(lián)函數”的定義找出滿足條件的函數；（2）需要利用導數分析函數單調性結合定義求出m的取值范圍；（3）要從充分性和必要性兩個方面進行證明.【詳解】（1）設是的關聯(lián)函數.對于任意，當時，.因為，所以，設，則，令，，那么.所以的關聯(lián)函數為.（2）因為是其自身的一個關聯(lián)函數.對任意，當時，.設，（），則.展開得.對求導，.因為在上單調遞增，所以在上恒成立.即在上恒成立，設，.令，得.在上遞減，在上遞增，.所以.（3）充分性：假設存在函數，使得對任意正整數，都是的一個關聯(lián)函數.當時，.對于任意，取，，當（足夠大時）.有，當時，，即.

必要性：若，定義.對于任意正整數，對于任意，當時..因為，所以.故命題得證.【點睛】思路點睛：對新定義的題型要注意一下幾點：（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關鍵點（2）利用好定義所給的表達式以及相關的條件（3）含有參數是要注意分類討論的思想.【變式7-2】（24-25高三上·安徽·階段練習）定義：記函數的導函數為f′x，若f′x在區(qū)間上單調遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數；若f′x在區(qū)間上單調遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數.已知函數.(1)求證：為區(qū)間上的凹函數；(2)若為區(qū)間的凸函數，求實數的取值范圍；(3)求證：當時，.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識點】用導數判斷或證明已知函數的單調性、由函數在區(qū)間上的單調性求參數、利用導數證明不等式【分析】（1）求出函數的導函數，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數的定義證明；（2）求出函數的導函數，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數的定義求解；（3）由題意得到，分，，討論證明；【詳解】（1）由題意得，，記f′x的導函數為f則，所以f′x在區(qū)間0,+所以為區(qū)間0,+∞上的凹函數.（2）由題意得，，則，令，則，故.令，則，故在上單調遞增，故，則，故，故實數的取值范圍為.（3）由題意得，.當時，，符合題意，當時，因為，則，則即證，即證，設，則，所以在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，故.故當時，，即成立.當時，由（1）知在0,+∞上單調遞增，又，所以，使得，所以，因為，所以，所以.i）當時，，即證，設，則，所以Fx在上單調遞減，所以.ii）當時，，即，即證，設，則，令，則，故在上單調遞增，則，故在上單調遞增，則，則，則在上單調遞增，故當時，.綜上，當時，.【點睛】關鍵點點睛：本題第三問關鍵是由時，根據在0,+∞上單調遞增，利用零點存在定理，得到，使得，再分和而得證.提升訓練一、單選題1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）函數的零點個數為（

）A．1 B．0 C．3 D．2【答案】A【知識點】用導數判斷或證明已知函數的單調性、利用導數研究函數的零點【分析】利用導數判斷函數的單調性，結合，即可判斷出答案.【詳解】由，可得，即定義域為?1,1，所以，由于，故，即f′x≥0即在?1,1上為單調遞增函數，又，所以僅有一個零點．故選：A．2．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．【答案】D【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、用導數判斷或證明已知函數的單調性、函數單調性、極值與最值的綜合應用、利用導數研究函數的零點【分析】通過對進行分類討論，利用導數來判斷函數的單調性，再利用函數零點的存在性定理，判斷出函數在定義域上的零點，進而得出結果．【詳解】因為，所以當時，由，解得或，且有，，當，，在區(qū)間上單調遞增；當，，在區(qū)間上單調遞減；當，，在區(qū)間上單調遞增；又，則需，所以；當時，令，解得或，且有，，當，，在區(qū)間上單調遞減；當，，在區(qū)間上單調遞增；當，，在區(qū)間上單調遞減；又,所以僅有一個負數零點，所以滿足題意；綜上，的取值范圍是或．故選：D.3．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）已知函數.若函數有三個零點，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】利用導數研究函數的零點【分析】利用導數畫出的圖象，結合的零點個數求得的取值范圍.【詳解】當時，，所以在區(qū)間上，當且僅當x=0時，所以函數fx在上單調遞減，.當時，，令解得，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又，當時，，當時，，由此畫出、的大致圖象如下圖所示，函數有三個零點，等價于與圖象有三個交點，所以的取值范圍是.故選：C.

【點睛】易錯點睛：在通過圖象判斷函數零點個數時，容易由于圖象的不準確或導數符號變化的錯誤判斷，導致零點個數錯誤．在分析圖象時，要特別注意極值點的準確位置.4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）若關于的方程有3個不同的根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、用導數判斷或證明已知函數的單調性、利用導數研究方程的根【分析】問題轉化為有3個不同的根，令，，利用導數求出的單調性和極值，數形結合求解.【詳解】由方程有3個不同的根，即有3個不同的根，令，，則，令f′x>0，解得或，令f′x所以函數在和1,+∞上單調遞增，在上單調遞減，且，，作出圖象如下：所以，即.故選：B.5．（24-25高三上·山東·開學考試）若函數的圖象與直線有3個不同的交點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用導數研究方程的根、根據函數零點的個數求參數范圍【分析】根據題意求出函數的導數并且通過導數求出原函數的單調區(qū)間，進而得到函數的極值，從而求出的范圍．【詳解】由題意可得：．令，則或，令，則，所以函數的單調增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以當時函數有極大值，當x=1時函數有極小值，若函數的圖象與函數的圖象恰有三個不同的交點，所以實數的取值范圍是．故選：B．6．（23-24高二下·山東東營·期末）已知函數，若方程有三個實數解，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】利用導數研究方程的根、求已知函數的極值、根據函數零點的個數求參數范圍【分析】先利用導數刻畫的圖像，再根據直線與y=fx的圖像有3個不同的交點可得實數a的取值范圍.【詳解】，當或時，；當時，，故在，1,+∞上為增函數，在上為減函數，故的極大值為，的極小值為，當時，，當時，，故的圖像如圖所示：故，故選：A.二、填空題7．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）若點，關于原點對稱，且均在函數的圖象上，則稱是函數的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是.【答案】【知識點】用導數判斷或證明已知函數的單調性、利用導數研究方程的根【分析】將問題轉化為與在上有兩個交點，進而有有兩個不同的正根，利用導數研究右側函數的單調性及區(qū)間符號，即可得結果.【詳解】由題設，要使恰有兩個“匹配點對”，只需與在上有兩個交點，所以有兩個不同的正根，令且，則，所以時，即在上遞減；時，即在上遞增；又時，時，且最小值，所以，要使有兩個不同的正根，只需，所以.故答案為：8．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習）已知，若函數恰有三個零點，則的取值范圍為.【答案】【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、利用導數研究函數的零點【分析】首先設，則方程轉化為，轉化為分析函數和和的交點個數問題.【詳解】，設，則，，得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，當時，函數取得最大值1，如圖，畫出函數的圖象，由，即，則，恒過點，如圖，畫出函數的圖象，設過點的切線與相切于點，則，得，即切點0,1，所以切線方程為，如圖，則與有2個交點，，則，如圖可知，若函數恰有三個零點，則，，則，所以，綜上可知，.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查嵌套零點問題，解題的關鍵是需通過換元，轉化為內外層函數的零點個數問題.三、解答題9．（24-25高三上·山東臨沂·期中）已知函數.(1)求的導函數的極值；(2)不等式對任意恒成立，求k的取值范圍；(3)對任意，直線與曲線有且僅有一個公共點，求b的取值范圍.【答案】(1)當時,有極小值2，無極大值.(2)(3)【知識點】求已知函數的極值、利用導數研究不等式恒成立問題、利用導數研究函數的零點【分析】（1）借助導數研究函數單調性，得到極值；（2）參變分離后，轉化為函數的最值問題即可；（3）有唯一解，構造函數參變分離，有唯一解，構造函數，借助導數研究函數的單調性即可.【詳解】（1）因為函數，所以的定義域為令，則，注意到為增函數，且，所以當時,，單調遞減；當時,，單調遞增；所以當時,有極小值2，無極大值.（2）由題意可知對任意恒成立，即對任意恒成立，設，則設，則因為在區(qū)間上單調遞增，所以則在區(qū)間上單調遞增，所以則所以在區(qū)間上單調遞增，所以，所以.（3）由題意可知有唯一解，設注意到，當時,；當時,所以至少有一個解.因為有唯一解，所以有唯一解，設，因為，所以為單調函數，則恒成立，設，則恒成立,則所以在區(qū)間上單調遞增，注意到所以當時,單調遞減；當時,單調遞增；故只需即可，所以10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數在點處的切線方程為(1)求函數的解析式；(2)若，且過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2).【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、已知切線（斜率）求參數、函數單調性、極值與最值的綜合應用、利用導數研究函數的零點【分析】（1）由導數的幾何意義和切點在曲線上建立方程組，解出即可；（2）先將問題轉化為在切點處的切線方程有三個不同的實數根，再構造函數，求導分析單調性和極值即可；【詳解】（1）由題意得，故，（2）過點向曲線作切線，設切點為，則，，則切線方程為，將代入上式，整理得.過點可作曲線的三條切線，方程有三個不同實數根.記，，令，得或1，則，，的變化情況如下表：01+0-0+極大極小當，有極大值；，有極小值，由題意有，當且僅當即解得時函數有三個不同零點.此時過點可作曲線的三條不同切線.故的取值范圍是.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習）已知函數．(1)若曲線在處的切線過點，求實數的值；(2)若在內有兩個不同極值點，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、函數單調性、極值與最值的綜合應用、利用導數研究函數的零點、根據極值點求參數【分析】（1）求導，得出在x0,fx0處的切線方程，過可得，根據函數求導判斷單調性以及，即可得出；（2）對函數求導，由在內有兩個不同極值點x1、x2，轉化為有兩個不同的解，即函數的圖象與函數的圖象有兩個不同的交點，通過分析二次函數在給定區(qū)間的值域，即可得到結果.【詳解】（1）由題意得，，且定義域為．則在x0,fx0則，即．設，則．當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以，又，且在上單調遞減，所以.（2）由（1）知，.令，得有兩個不同的解．令，所以，即函