2024-2025學年上海市靜安區(qū)華東模范中學高一（上）期末數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市靜安區(qū)華東模范中學高一（上）期末數學試卷一、單選題：本題共3小題，每小題4分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知p是q的充分非必要條件，q的充要條件是r，則r是p的(

)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2.已知函數y=f(x)可表示為(

)x0<x<22≤x<44≤x<66≤x≤8y1234則下列結論正確的是(

)A.f(f(4))=3 B.f(x)的值域是{1,2,3,4}

C.f(x)的值域是[1,4] D.f(x)在區(qū)間[4,8]上單調遞增3.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且方程f(x)=x無實根．現有四個命題

①若a>0，則不等式f[f(x)]>x對一切x∈R成立；

②若a<0，則必存在實數x0使不等式f[f(x0)]>x0成立；

③方程f[f(x)]=x一定沒有實數根；

④若a+b+c=0，則不等式A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本題共10小題，每小題4分，共40分。4.若集合A={x|x>1}，B={0,1,2,3}，則A∩B=______．5.對任意的a∈R，冪函數y=xa的圖像一定不經過第______象限．6.函數f(x)=x+1?x+3x≤1x>1，則f(f(2))=7.已知(13)m=5,9n=2，則log320=8.不等式x3+2x?3>0的解集為______．9.若關于x的不等式(a2?4)x210.若函數f(x)=(x?a)2,x≤0x+1x11.已知a>1，b>1，當b變化時，logab+logb(a212.若對任意x∈[1,2]，均有|x2?a|+|x+a|=|x213.設f(x)=|x+1x|+|1?1x|，若存在a∈R使得關于x的方程三、解答題：本題共5小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題8分)

考查關于x的方程x2?(3?t)x+2+t=0．

(1)若該方程的兩個實數根x1，x2滿足(x1+x2)x15.(本小題8分)

已知函數f(x)=x2+a．

(1)若函數y=f[f(x)]的圖象過原點，求f(x)的解析式；

(2)若F(x)=f(x)+2bx+1是偶函數，在定義域上F(x)≥ax16.(本小題8分)

已知a>0，函數f(x)=ax?bx2．

(1)當b>0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明a≤2b；

(2)當b>1時，證明：對任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要條件是b?1≤a≤2b；

(3)當0<b≤117.(本小題12分)

對于兩個實數a，b，規(guī)定a?b=|a?b|，

(1)證明：關于x的不等式x?2+x?3≥1解集為R；

(2)若關于x的不等式x?1?x?(2a)>1的解集非空，求實數a的取值范圍；

(3)設關于x的不等式x?a<?ax2+202的解集為A，試探究是否存在自然數a，使得不等式x2+x?2<0與x?18.(本小題12分)

對于函數f(x)，若其定義域內存在非零實數x滿足f(?x)=?f(x)，則稱f(x)為“局部奇函數”．

(1)已知函數f(x)=x?2x+1，判斷f(x)是否為“局部奇函數”．

(2)若冪函數g(x)=(n?1)x3?n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m在[?1,1]上是“局部奇函數”，求：m的取值范圍．

(3)若整數m使得參考答案1.B

2.B

3.C

4.{2,3}

5.四

6.2

7.4n?m

8.(1,+∞)

9.(?∞,?2)∪[65，10.[0,2]

11.2

12.[?1,1]

13.(414.解：(1)由題意，得Δ=(3?t)2?4(2+t)≥0x1+x2=3?tx1x2=2+t，

所以t≤5?26或t≥5+26，

因為(x1+x2)x1x2=?6，所以(3?t)?(2+t)=?6，

解得t=?3或4(舍去)，所以t=?3．

(2)由x2?(3?t)x+2+t=0，x∈[0,2]，

得?t=x2?3x+2x+1=(x+1)2?5(x+1)+6x+1=x+1+6x+1?5，

所以5?t=x+1+6x+1，15.解：(1)由題設f[f(0)]=0，而f(0)=a，則f(a)=a2+a=0，可得a=?1或a=0，

當a=?1時，f(x)=x2?1；當a=0時，f(x)=x2；

(2)因為F(x)=f(x)+2bx+1是偶函數，

所以f(?x)+2?bx+1=f(x)+2bx+1，

則f(?x)?f(x)=2bx?1+2bx+1=4bxb2x2?1，

因為f(x)=x2+a，所以f(?x)?f(x)=x2+a?(x16.(1)證明：根據題設，對任意x∈R，都有f(x)≤1．

又f(x)=?b(x?a2b)2+a24b.∴f(a2b)=a24b≤1，

∵a>0，b>0，

∴a≤2b．

(2)證明：必要性：對任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1?f(x)≥?1．

據此可推出f(1)≥?1，即a?b≥?1，

∴a≥b?1．

對任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1?f(x)≤1，

因為b>1，可得0<1b<1，可推出f(1b)≤1，即a?1b?1≤1，

∴a≤2b，

∴b?1≤a≤2b．

充分性：因為b>1，a≥b?1，對任意x∈[0,1]，

可以推出ax?bx2≥b(x?x2)?x≥?x≥?1，即ax?bx2≥?1，

因為b>1，a≤2b對任意x∈[0,1]，

可以推出：2b?bx2≤?b(x?117.解：(1)證明：不等式x?2+x?3≥1化為|x?2|+|x?3|≥1，

當x>3時，(x?2)+(x?3)=2x?5≥1，解得x≥3，又x>3，所以x>3；

當2≤x≤3時，(x?2)+(3?x)=1，符合題意，則2≤x≤3；

當x<2時，?(x?2)?(x?3)=?2x+5≥1，解得x≤2，又x<2，所以x<2；

綜上所述：x∈R，即關于x的不等式x?2+x?3≥1解集為R．

(2)不等式x?1?x?(2a)>1即|x?1|?|x?2a|>1解集非空，

記f(x)=|x?1|?|x?2a|，則f(x)max>1，

|x?1|?|x?2a|≤|x?1?x+2a|=|2a?1|，當(x?1)(x?2a)≥0等號成立．

故|2a?1|>1，解得a<0或a>1，故實數a的取值范圍(?∞,0)∪(1,+∞)．

(3)由x2+x?2<0得(x+2)?(x?1)<0，解得?2<x<1；

不等式x?12<x+22即|x?12|<x+22，也即|2x?1|<x+2，

當x≥12時，2x?1<x+2，解得x<3，故12≤x<3；

當x<12時，1?2x<x+2，解得x>?13，故?13<x<12．

綜上所述：?13<x<3．

故(?2,3)?A．

不等式x?a<?ax2+202即|x?a|<?ax2+202，也即ax2+2|x?a|?20<0，

當a=0時，2|x|<20，解得?10<x<10，滿足條件；

當a≠0時，設g(x)=ax2+2|x?a|?20，

因為a>0，a∈N，所以g(?2)≤0，g(3)≤0，

所以4a+2|a+2|?20≤09a+2|3?a|?20≤0，解得a=1或a=2．

當a=1，g(x)=x2+2|x?1|?20，

當18.解：(1)因為f(x)=x?2x+1，

則f(?x)=?x?2?x+1=x+2x?1，

則f(?x)+f(x)=x+2x?1+x?2x+1=2x2+4(x+1)(x?1)，

因為2x2+4≥4恒成立，故不存在x使得(?x)+f(x)=0，即不存在x使得f(?x)=?f(x)，

所以f(x)不是“局部奇函數”．

(2)因為g(x)=(n?1)x3?n是冪函數，則n?1=1，所以n=2，

故g(x)=(n?1)x3?n=x，

所以f(x)=2g(x)+m=2x+m，

則f(?x)=2?x+m，

所以f(?x)+f(x)=2x+2?x+2m=0，

因為x