2024學年綿陽中學高二數(shù)學（上）期末考試卷附答案解析

學年綿陽中學高二數(shù)學（上）期末考試卷2025.01一、單選題（本大題共8小題）1．高考結束后，為了分析該校高三年級1000名學生的高考成績，從中隨機抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（

）A．100名學生是個體B．樣本容量是100C．每名學生的成績是所抽取的一個樣本D．1000名學生是樣本2．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則直線必過定點（

）A． B． C． D．3．如圖所示，用一個與圓柱底面成的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，，則下列結論正確的是（

）

A．橢圓的長軸長等于2B．橢圓的離心率為C．橢圓的標準方程可以是D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4．集合，集合，從A，B中各任意取一個數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（

）A． B． C． D．5．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．直線到平面的距離為（

）．

A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．，函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．8．如圖，設、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知一組數(shù)據(jù)，則下列結論正確的有（

）A．若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1B．若，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為3C．若，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的最小值為D．若，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的最小值為210．以下說法正確的有（

）A．若且，則一定有四點共面B．設是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底C．若，則D．正方體，棱長為1，如圖所示建立坐標系，則點在平面上11．已知拋物線和的焦點分別為，動直線與交于兩點，與交于兩點，其中，且當過點時，，則下列說法中正確的是（

）A．的方程為B．已知點，則的最小值為C．D．若，則與的面積相等三、填空題（本大題共3小題）12．一個袋子中有紅?黃?藍?綠四個小球，有放回地從中任取一個小球，將“三次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件M，用隨機模擬的方法估計事件M發(fā)生的概率.利用電腦隨機產生整數(shù)0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表紅?黃?藍?綠四個小球，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取小球三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數(shù)：110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估計事件M發(fā)生的概率為.13．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上的一點，則的最大值為.14．已知雙曲線上有不共線的三點，且的中點分別為?，若的斜率之和為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知點，，動點滿足，記其軌跡為，與軸交于點，過（異于點）作直線的垂線．(1)求曲線的方程；(2)記到的距離為，到的距離為，證明：為定值．16．黃石二中舉行數(shù)學競賽校內選拔賽（滿分100分），為了了解本次競賽成績的情況，隨機抽取了100名參賽學生的成績，并分成了五組：第一組50,60，第二組60,70，第三組，第四組，第五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.(1)求出頻率分布直方圖中a，b的值，并估計此次競賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組所有參賽學生成績的方差；(3)甲、乙、丙3名同學同時做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為，假設他們三人是否解出該題互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.17．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點，四邊形為矩形．(1)求證：平面平面；(2)若，，，求平面和平面夾角的余弦值.18．如圖，橢圓的中心在原點，左、右焦點分別為，，點為橢圓上兩點（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個頂點圍成的四邊形周長為12.(1)求橢圓的標準方程；(2)求證：為定值.19．如圖，為坐標原點，拋物線的焦點是橢圓的右焦點，為橢圓的右頂點，橢圓的長軸，離心率．（1）求拋物線和橢圓的方程；（2）過點作直線交于兩點，射線，分別交于兩點，記和的面積分別為和，問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．參考答案1．【答案】B【詳解】根據(jù)有關的概念并且結合題意可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學生成績，而不是學生，根據(jù)選項可得選項A、D表達的對象都是學生，而不是成績，所以A、D都錯誤．C每名學生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應是每名學生的成績是一個個體．B：樣本的容量是100正確．故選:B．2．【答案】A【詳解】由雙曲線可知：，且焦點在x軸上，由題意和橢圓方程可得：，即，可得，所以直線必過定點.故選：A.3．【答案】C【詳解】設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面所成銳二面角得，解得，故A不正確；顯然，則，離心率，故B不正確；當以橢圓長軸所在直線為軸，短軸所在直線為軸建立平面直角坐標系時，橢圓的標準方程為，故C正確；橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，故D不正確.故選：C4．【答案】B【詳解】從A，B中各任意取一個數(shù)相加，有種情況，當直線，則，則，當時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，當時，從中取一個數(shù)相加為的有，2種情況，所以滿足條件的有4種情況，所以滿足條件的概率.故選：B5．【答案】D【分析】將直線到平面的距離轉化為點到平面的距離，建立直角坐標系，表示出相應點的坐標以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.【詳解】平面,平面,平面,∴直線到平面的距離等于點到平面的距離，如圖，以點為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標系.

則設平面的法向量為，則，令，則設點到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選D.6．【答案】A【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為2，故，所以拋物線的方程為，焦點坐標為，設直線的方程為，不妨設，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又，則，當且僅當時等號成立，故的最小值為.故選A.7．【答案】C【詳解】設點，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當且僅當重合時取得等號.故選：C8．【答案】A【詳解】如下圖，連接，設，則，

因為，，所以，，在△中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故選：A.9．【答案】ABC【詳解】對于A，數(shù)據(jù)中1出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為1，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)從小到大排序為1，1，1，2，3，3，4，4，又，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第六個數(shù)據(jù)，即3，故B正確；對于CD，由，可得，當且僅當時取等號，則平均數(shù)最小值為，故C正確，D錯誤.故選：ABC10．【答案】ACD【詳解】A項，若與不共線，則可以將與看作一組基底，由且，由共面向量基本定理可知與共面，即四點共面；若與共線，則存在，使，則，即三點共線，故也共面，故A正確；B項，由，即與共面，不能作為空間基底，故B錯誤；C項，因為，則，故C正確；D項，由圖可知，，設，，，，顯然，，故與共面，即E在平面上，故D正確；故選：ACD.11．【答案】BCD【詳解】當過點時，設，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A錯誤；過點向的準線引垂線，垂足分別為，點到的準線的距離，由拋物線定義可知，等號成立當且僅當點為與拋物線的交點，故正確；設，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：BCD12．【答案】【分析】求出事件M發(fā)生的情況即可求出概率.【詳解】事件A包含紅色小球和黃色小球，即包含數(shù)字0和1，隨機產生的18組數(shù)中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6組，故所求概率為.故答案為：.13．【答案】25【解析】因為點是橢圓上的一點，所以，所以，當且僅當，即時等號成立．14．【答案】【詳解】設，則，，，兩式相減，得，即，即，同理可求得，而的斜率之和為，所以故答案為：15．【答案】(1)且；(2)證明見解析；【詳解】（1）由題設，則，所以所求曲線方程為且.（2）由題設及圓的性質，顯然直線斜率必存在，如下圖，不妨設，且，則到的距離為，到的距離為，令且，則，故，所以，則，綜上，，為定值.16．【答案】(1)，(2)第二組、第四組的方差是(3)【詳解】（1）由題意可知：，解得可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)等于，（2）設第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，成績在第二組、第四組的平均數(shù)成績在第二組、第四組的方差，故估計成績在第二組、第四組的方差是.（3）設“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，由題意得，所以，所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，則，因為，所以，因為相互獨立，所以，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，平面，從而得到，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標系，通過求解法向量的夾角余弦值來求解平面和平面夾角的余弦值；【詳解】（1）∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，∴．∵四邊形為矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，．設平面的法向量為，則，即，令，得，所以．設平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意，得解得所以橢圓的標準方程為.（