2019-2020學(xué)年山東省淄博市桓臺(tái)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE山東省淄博市桓臺(tái)第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（共12小題；每小題5分，共60分.）(一)單項(xiàng)選擇題：1.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的實(shí)部為3 B.復(fù)數(shù)的模為5C.復(fù)數(shù)部虛部為 D.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡式子，然后根據(jù)實(shí)部、虛部、模以及共軛復(fù)數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，模為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以D正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則以及相關(guān)概念，重在對概念的理解以及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.2.某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如表所示:最喜愛喜愛一般不喜歡4800720064001600電視臺(tái)為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選出100人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時(shí)，每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為（）A.24，36，32，8 B.48，72，64，16C.20，40，30，10 D.25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】計(jì)算每類人應(yīng)抽選出的人數(shù)之比，然后根據(jù)所占的比例分別與100相乘，即可得結(jié)果.【詳解】每類人中各應(yīng)抽選出的人數(shù)之比為,所以人數(shù)分別為選A.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，關(guān)鍵在于每一類所占比例的求取以及對分層抽樣概念的理解，屬基礎(chǔ)題.3.下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)；②明天下雨；③某人買彩票中獎(jiǎng)；④從集合{1,2,3}中任取兩個(gè)元素,它們的和大于2；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃時(shí)會(huì)沸騰．其中是隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)有A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】試題分析：連續(xù)兩次拋擲同一個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，∴①是隨機(jī)事件．明天下雨這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，∴②是隨機(jī)事件某人買彩票中獎(jiǎng)這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，∴③是隨機(jī)事件從集合{1，2，3}中任取兩個(gè)元素，它們的和必大于2，∴④是必然事件在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃時(shí)才會(huì)沸騰，∴⑤是不可能事件考點(diǎn)：隨機(jī)事件4.如圖，在直角梯形中，，為邊上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四邊形法則、三角形法則、向量共線定理可得.【詳解】由圖可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行四邊形法則、三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5.已知cos(x―)=―，則cosx+cos(x―)的值是A.― B.± C.―1 D.±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故選C6.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長分別為，則該三棱錐的外接球的表面積（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得外接球的直徑等于,所以表面積為,選D.點(diǎn)睛:(1)補(bǔ)形法的應(yīng)用思路：“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的重要方法，在解題時(shí)，把幾何體通過“補(bǔ)形”補(bǔ)成一個(gè)完整的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積等問題，常見的補(bǔ)形法有對稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形，對于還原補(bǔ)形，主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”．(2)補(bǔ)形法的應(yīng)用條件：當(dāng)某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分，且求解的問題直接求解較難入手時(shí)，常用該法．7.調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80后多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】在中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占，故正確；在中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位中所占比例為，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)還包括80后，80前，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%，是肯定的，故正確；在中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多，故錯(cuò)誤．在中,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的90后人數(shù)所占比例，故正確；故選．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查餅狀圖、條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8.已知是函數(shù)的最大值，若存在實(shí)數(shù)使得對任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換可得，依題意可知的最小值為，從而可得結(jié)論.【詳解】，，周期，又存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)總有成立，，的最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查公式三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及輔助角公式的應(yīng)用，屬于難題.利用該公式可以求出:①的周期;②單調(diào)區(qū)間（利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可通過解不等式求得）；③值域：；④對稱軸及對稱中心（由可得對稱軸方程，由可得對稱中心橫坐標(biāo).9.下列說法中，正確的是（）A.頻率反映隨機(jī)事件的頻繁程度，概率反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小；B.頻率是不能脫離次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；C.做次隨機(jī)試驗(yàn)，事件發(fā)生次，則事件發(fā)生的頻率就是事件的概率；D.頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)頻率、概率的概念，可得結(jié)果.【詳解】頻率是在一次試驗(yàn)中某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總數(shù)的比值，隨某事件出現(xiàn)的次數(shù)而變化概率指的是某一事件發(fā)生的可能程度，是個(gè)確定的理論值故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率、概率的概念，屬基礎(chǔ)題.10.設(shè)為三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下面結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系，對選項(xiàng)逐一分析，由此確定結(jié)論正確的選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)中，可能異面；B選項(xiàng)中，也可能平行或相交；D選項(xiàng)中，只有相交才可推出.C選項(xiàng)可以理解為兩個(gè)相互垂直的平面，它們的法向量相互垂直.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線、線面和面面位置關(guān)系命題真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.11.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點(diǎn)E，則下列判斷正確的是（）A.E為的中點(diǎn)B.平面C.與所成的角為D.三棱錐與四棱錐的體積之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理，結(jié)合線線角，椎體體積公式的計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】連接交于點(diǎn)連接，如圖因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以為的中點(diǎn)又//平面，平面，且平面平面所以//，所以為的中點(diǎn)，故A正確由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正確與所成的角即與所成的角，即故C錯(cuò)，又，所以，故D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練線線、線面、面面之間的位置關(guān)系，審清題意，考驗(yàn)分析能力，屬基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是以為最小正周期的周期函數(shù)B.的值域是C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】采用數(shù)形結(jié)合，并逐一驗(yàn)證可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)在的圖象，如圖所示根據(jù)圖像可知，函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)，A錯(cuò)函數(shù)的值域是，B對在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，C錯(cuò)函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，分別是，D對故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于能畫出函數(shù)圖形，形是數(shù)的載體，通俗易懂，形象直觀，屬中檔題.二、填空題（共4小題；共20分.）13.如圖所示，用三類不同的元件接成系統(tǒng)，若元件、、正常工作的概率分別為、、，那么系統(tǒng)正常工作的概率為________________.【答案】【解析】【分析】由元件正常工作，元件、至少有一個(gè)正常工作，可得出系統(tǒng)正常工作，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【詳解】由元件正常工作，元件、至少有一個(gè)正常工作，可得出系統(tǒng)正常工作，所以，系統(tǒng)正常工作的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知樣本的平均數(shù)與方差分別是1和4，若，且樣本的平均數(shù)與方差也分別是1和4，則________________.【答案】【解析】【分析】由樣本的平均數(shù)和方差分別是1和4，的平均數(shù)和方差也是1和4,得到a,b的關(guān)系式，由此能求出.【詳解】因?yàn)闃颖镜钠骄鶖?shù)與方差分別是1和4，的平均數(shù)與方差也分別是1和4，所以，解得或，，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式求值，考查平均數(shù)、方差的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別是.若，，則__，面積的最大值為___.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】由正弦定理，結(jié)合，，可求出；由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，所?所以，當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.16.已知四邊形為矩形,,為的中點(diǎn),將沿折起,得到四棱錐,設(shè)的中點(diǎn)為,在翻折過程中,得到如下有三個(gè)命題:①平面，且的長度為定值；②三棱錐的最大體積為；③在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得.其中正確命題的序號(hào)為__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得出，可判斷出命題①的正誤；由為的中點(diǎn)，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，并由平面平面，得出三棱錐體積的最大值，可判斷出命題②的正誤；取的中點(diǎn)，連接，由，結(jié)合得出平面，推出得出矛盾，可判斷出命題③的正誤.【詳解】如下圖所示：對于命題①，取的中點(diǎn)，連接、，則，，，由勾股定理得，易知，且，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，四邊形為平行四邊形，，，平面，平面，平面，命題①正確；對于命題②，由為的中點(diǎn)，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積取最大值，取的中點(diǎn)，則，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面積為，所以，三棱錐的體積的最大值為，則三棱錐的體積的最大值為，命題②正確；對于命題③，，為的中點(diǎn)，所以，，若，且，平面，由于平面，，事實(shí)上，易得，，，由勾股定理可得，這與矛盾，命題③錯(cuò)誤故答案為①②.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行、錐體體積的計(jì)算以及異面直線垂直的判定，判斷這些命題時(shí)根據(jù)相關(guān)的判定定理以及性質(zhì)定理，在計(jì)算三棱錐體積時(shí)，需要找到合適的底面與高來計(jì)算，考查空間想象能力，考查邏輯推理能力，屬于難題.三、解答題（共6小題，17題10分，其余各題12分，共70分.）17.己知向量是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中（Ⅰ）若，且，求向量的坐標(biāo)；（Ⅱ）若是單位向量，且，求與的夾角.【答案】(Ⅰ)，或;(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)向量的坐標(biāo)為,運(yùn)用向量模的公式和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程即可得到向量的坐標(biāo)；（Ⅱ）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為，可求得，由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求夾角.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，由，且可得所以或故，或（Ⅱ）因?yàn)?，且，所以，即，所以，故?18.已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到的，當(dāng)[,]時(shí)，求的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最小正周期為.（Ⅱ）時(shí)，取最大值；時(shí)，取最小值.【解析】(I)先通過三角恒等變換公式把f(x)轉(zhuǎn)化成,再求周期.(2)按照左加右減，上加下減的原則先確定,再求特定區(qū)間上的最值即可.（Ⅰ）,所以函數(shù)的最小正周期為.（Ⅱ）依題意,[]因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，取最大值；當(dāng)，即時(shí)，取最小值.19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，將邊化角，利用兩角和的正弦公式，簡單計(jì)算即可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）條件，使用面積公式，可得，然后使用余弦定理可得，進(jìn)一步可得結(jié)果.【詳解】(1)由已知及正弦定理得,，即，故.可得，所以.（2）由已知.又，所以.由已知及余弦定理得，故，從而.所以的周長為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟記公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.20.某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖，并據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分；（2）用分層抽樣的方法，在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2個(gè)，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）首先可以計(jì)算出除了之外的其他分?jǐn)?shù)段的頻率，然后計(jì)算出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，再用頻率除以組距即可，然后用每一分?jǐn)?shù)段的中間數(shù)乘以每一分?jǐn)?shù)段的概率再相加即可得出平均分；（2）首先算出在以及兩個(gè)分?jǐn)?shù)段中抽取的人數(shù)，然后列出從中任取2個(gè)的所有可能的事件，并找出滿足題目要求的事件，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，（直方圖略），平均分為：，（2）由題意，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：人，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：人，因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诜謹(jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，抽樣比，所以需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取人，并分別記為；在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取人并分別記為；設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)”為事件A，則基本事件有：共15種．事件A包含的基本事件有：（共種，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖以及概率，在計(jì)算頻率分布直方圖類的題目時(shí)要注意圖表中所提供的信息，注意縱坐標(biāo)是“頻率除以組距”，考查計(jì)算能力與推理能力，是中檔題．21.如圖，在三棱錐中，平面平面，，．設(shè)，分別為，中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得過三點(diǎn)，，的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證