2021年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：相似三角形及其應(yīng)用含答案-資料

中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：相似三角形及其應(yīng)用一、選擇題1.下列命題是真命題的是 ()A.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4∶9，那么這兩個(gè)三角形的周長比為2∶3B.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4∶9，那么這兩個(gè)三角形的周長比為4∶9C.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4∶9，那么這兩個(gè)三角形的面積比為2∶3D.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4∶9，那么這兩個(gè)三角形的面積比為4∶92.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC邊上，DE∥BC，M為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AM交DE于點(diǎn)N，則 ()A.= B.=C.= D.=3.如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△A1B1C1相似的是 ()4.(2019?雅安)若，且，則的值是A．4 B．2

C．20 D．145.（2020·重慶B卷）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA:OD=1:2，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1:2B．1:3 C．1:4 D．1:5 6.（2020·河南）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，邊BC在軸上，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2，6)和(7，0).將正方形OCDE沿軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.(，2)B.(2，2)C.(，2)D.(4，2)7.（2020·重慶A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2:1，則線段DF的長度為（） A． B． C． D．

8.如圖，弦CD垂直于⊙O的直徑AB，垂足為H，且CD＝2eq\r(2)，BD＝eq\r(3)，則AB的長為()A.2B.3C.4D.5二、填空題9.如圖，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，則AC長為.

10.在某一時(shí)刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時(shí)同地測得一棟樓的影長為90m，則這棟樓的高度為m.

11.（2020·南通）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，設(shè)△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則的值等于▲．12.（2020·吉林）如圖，．若，，則______．13.（2020·東營）如圖，P為平行四邊形ABCD邊BC邊上一點(diǎn)，E、F分別為PA、PD上的點(diǎn)，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別記為、、，若=2，則+=．14.(2020·綏化)在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是關(guān)于原點(diǎn)O的位似圖形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)，則其對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是______．15.（2020·杭州）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在邊上，把沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF．若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一條直線上，，則______，______．16.（2020·深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝EQ\F(1,2)，EQ\F(BO,OD)＝EQ\F(4,3)，則EQ\F(S△ABD,S△CBD)＝________．三、解答題17.（2020·通遼）如圖，⊙O的直徑AB交弦（不是直徑）CD于點(diǎn)P，且PC2＝PB?PA，求證：AB⊥CD．18.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=135°.(1)求證:△PAB∽△PBC;(2)求證:PA=2PC;(3)若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證:=h2·h3.

19.（2020·蘇州）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為.（1）求證：；（2）若，，求的長.20.已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線交AC于E點(diǎn)，交AB于F點(diǎn)，且△AEF為等邊三角形．(1)求證：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝eq\r(7)AF，求證CF⊥AB.

21.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的長．

22.（2020·江蘇徐州）我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn).它們的比值為.（1）在圖①中，若AC=20cm，則AB的長為cm；（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG.試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E（AE>DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P.他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時(shí)，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由.圖①圖②圖③23.如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，OC⊥AB，D為eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連接DA、DB、DC，過點(diǎn)C作DC的垂線交DA于點(diǎn)E，DA交OC于點(diǎn)F.(1)求證：∠CED＝45°；(2)求證：AE＝BD；(3)求eq\f(AO,OF)的值．24.（2020·泰安）（12分）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，連接BD，AB﹦BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？___________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．圖（1圖（1）圖（2）備用圖答案一、選擇題1.【答案】B2.【答案】C[解析]根據(jù)DE∥BC，可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=.故選C.3.【答案】B[解析]根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長，同理利用勾股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)果，△A1B1C1各邊長分別為1，，選項(xiàng)A中陰影三角形三邊長分別為:，3，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng)B中陰影三角形三邊長分別為:，2，，三邊與已知三角形的各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似;選項(xiàng)C中陰影三角形三邊長分別為:1，，2，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng)D中陰影三角形三邊長分別為:2，，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似，故選B.4.【答案】A【解析】由a∶b=3∶4知，所以．所以由得到：，解得．所以．所以．故選A．5.【答案】C【解析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，∵△ABC與△DEF位似，且，∴，因此本題選C．6.【答案】B【解析】∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的邊長為2．將正方形OCDE沿軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，設(shè)正方形與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為G、F，∵EF⊥軸，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為2，∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2)．7.【答案】D【解析】∵A（1,2）,B（1,1），C（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2，∴DF=2AB=2．8.【答案】B【解析】由垂徑定理可得DH＝eq\r(2)，所以BH＝eq\r(BD2－DH2)＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，(eq\r(3))2＝1×BA，AB＝3.二、填空題9.【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).10.【答案】5411.【答案】【解析】由圖形易證△ABC與△DEF相似，且相似比為，所以周長比為．故答案為：．12.【答案】10【解析】∵，∴，又∵，，∴，∴，故答案為：10．13.【答案】18【解析】本題考查了相似三角形的判定、性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件推出相似三角形，并由相似比得到面積比．∵PA=3PE，PD=3PF，∠APD=∠EPF，∴△PEF∽△PAD，相似比為1︰3，∵△PEF的面積為=2，∴=9S=9×2=18，∴+==18．14.【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此將點(diǎn)A(2，4)的橫、縱坐標(biāo)乘以±2即得點(diǎn)A1的坐標(biāo)，∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)是(－4，－8)或(4，8)．15.【答案】2－1【解析】設(shè)BE＝x，則AB＝AE＋BE＝2＋x．∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2＋x，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC．由折疊得∠BEC＝∠DEC，EF＝BE＝x，∴∠DCE＝∠DEC．∴DE＝CD＝2＋x．∵點(diǎn)D，F(xiàn)，E在同一條直線上，∴DF＝DE－EF＝2＋x－x＝2．∵AB∥CD，∴△DCF∽△EAF，∴＝．∴＝，解得x1＝－1，x2＝－－1．經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝－1，x2＝－－1都是分式方程的根．∵x＞0，∴x＝－1，即BE＝－1．16.【答案】EQ\F(3,32)【解析】法1：過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，則△ADO∽△EBO，由∠DAC＝90°，得到BE⊥AD，EE∴EQ\F(AO,OE)＝EQ\F(OD,OB)＝EQ\F(3,4)，由tan∠ACB＝EQ\F(1,2)，可得CE＝2BE＝4AE，∴EQ\F(S△ABD,S△CBD)＝EQ\F(AO,OC)＝EQ\F(3,4＋(3＋4)×4)＝EQ\F(3,32)．法2：如圖，過點(diǎn)D作DM∥BC，交CA的延長線于點(diǎn)M，延長BA交DM于點(diǎn)N，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊成比例，EQ\F(AB,BC)＝EQ\F(AN,NM)＝tan∠ACB＝EQ\F(1,2)，EQ\F(BC,DM)＝EQ\F(OB,OD)＝EQ\F(4,3)；又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC＋∠NAD＝90°，∵∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系，EQ\F(AB,BC)＝EQ\F(DN,NA)＝EQ\F(1,2)，設(shè)AB＝a，DN＝b，則BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，得DM＝EQ\F(3,2)a，∴4b＋b＝EQ\F(3,2a)，即b＝EQ\F(3,10)a，進(jìn)而表示三角形的面積，得到EQ\F(S△ABD,S△CBD)＝EQ\F(EQ\F(1,2)ABDN,EQ\F(1,2)BCNB)＝EQ\F(ab,2a(a＋2b))＝EQ\F(EQ\F(3,10)a2,2aEQ\F(16,10)a)＝EQ\F(3,32)．三、解答題17.【答案】解：如圖，連結(jié)AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PC?PD＝PB?PA，∵PC2＝PB?PA，∴PC=PD，即AB平分CD，∵CD是弦（不是直徑），AB是直徑，∴AB⊥CD．18.【答案】證明:(1)在△ABP中，∠APB=135°，∴∠ABP+∠BAP=45°，又△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABP+∠CBP=45°，∴∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC.(2)由(1)知△PAB∽△PBC，∴===，∴=·=2，即PA=2PC.(3)方法一:如圖①，過點(diǎn)P作邊AB，BC，CA的垂線，垂足分別為Q，R，S，則PQ=h1，PR=h2，PS=h3，在Rt△CPR中，=tan∠PCR==，∴=，即h3=2h2.又由△PAB∽△PBC，且=，得:=，即h1=h2，∴=h2·h3.方法二:如圖②，過點(diǎn)P作邊AB，BC，CA的垂線，垂足分別為Q，R，S，連接SQ，SR，RQ，易知四邊形ASPQ，四邊形BRPQ都有外接圓，∴∠PSQ=∠PAQ，∠PQR=∠PBR，由(1)可知∠PAB=∠PBC，∴∠PSQ=∠PQR.又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°，∴△PSQ∽△PQR，∴=，即PQ2=SP·PR，∴=h2·h3.

19.【答案】解：證明：（1）∵四邊形是矩形，∴，.∴，∵，∴.∴，∴.解：（2）∵，∴.∵，是的中點(diǎn)，∴.∴在中，.又∵，∴，∴.20.【答案】(1)證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：設(shè)AF＝a，則AD＝eq\r(7)a，解圖如解圖，連接OC，則△AOC是等邊三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝eq\r(（\r(7)a）2－1)＝eq\r(7a2－1)，在Rt△DCE中，tan30°＝eq\f(CE,DC)＝eq\f(1－a,\r(7a2－1))＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝－2(舍去)或a＝eq\f(1,2)，(5分)∴AF＝eq\f(1,2)，在△CAF和△BAC中，eq\f(CA,AF)＝eq\f(BA,AC)＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA＝∠ACB＝90°，即CF⊥AB.(6分)21.【答案】解：(1)AB與⊙O相切．理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，又∵∠AEC＝∠CDF，∠CAE＝∠ADF，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵CD為⊙O的直徑，∴AB與⊙O相切．(3分)(2)如解圖，連接CF，解圖∵CD為⊙O的直徑，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DCF＝∠ADF，又∵∠CAE＝∠ADF，∴∠CAE＝∠DCF，又∵∠CPA＝∠FPC，∴△PCF∽△PAC，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(PF,PC)，(6分)又∵PF∶PC＝1∶2，AF＝5，故設(shè)PF＝a，則PC＝2a，∴eq\f(2a,a＋5)＝eq\f(a,2a)，解得a＝eq\f(5,3)，∴PC＝2a＝2×eq\f(5,3)＝eq\f(10,3).(8分)22.【答案】解：（1）.解：∵，AC=20，∴AB=.（2）延長CG交DA的延長線于點(diǎn)J，由折疊可知：∠BCG=∠ECG，∵AD∥BC，∴∠J=∠BCG=∠ECG，∴JE=CE.由折疊可知：E、F為AD、BC的中點(diǎn)，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：CE=,∴EJ=，∴AJ=JE-AE=-10，∵AJ∥BC，∴△AGJ∽△BGC，∴,∴G是AB的黃金分割點(diǎn).（3）PB=BC，理由如下：∵E為AD的黃金分割點(diǎn)，且AE>DE，∴AE=a.∵CF⊥BE，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90?,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA和△CFB中，∵，∴△BEA≌△CFB，∴BF=AE=a.∴,∵AE∥BP，∴△AEF∽△BPF,∴,∵AE=BF,∴PB=AB，∴PB=BC.23.【答案】(1)證明：∵∠CDA＝eq\f(1,2)∠COA＝eq\f(1,2)×90°＝45°，又∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，∴∠CED＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解圖，連接AC，∵D為eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°，而∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝22.5°，∴AE＝CE，∵∠ECD＝90°，∠CED＝45°，∴CE＝CD，又∵eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o