2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞學案含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞[目標]1.理解全稱量詞、存在量詞和全稱命題、特稱命題的概念.2.能精確地運用全稱量詞和存在量詞符號(即?，?)來表述相關的數(shù)學內容．[重點]對全稱量詞與存在量詞的理解；能夠用全稱量詞表示全稱命題，用存在量詞表示特稱命題．[難點]全稱命題與特稱命題的真假推斷．學問點一全稱量詞和全稱命題[填一填](1)全稱量詞：短語“全部的”、“隨意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)全稱命題：①定義：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．②一般形式：全稱命題“對M中隨意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)，讀作“對隨意x屬于M，有p(x)成立”．其中M為給定的集合，p(x)是一個關于x的命題．[答一答]1．常見的全稱量詞有哪些？提示：常見的全稱量詞除了“全部的”“隨意一個”，還有“一切”“每一個”“任給”等．2．全稱命題中的“x”，“M”與“p(x)”表達的含義分別是什么？提示：元素x可以表示實數(shù)、方程、函數(shù)、不等式，也可以表示幾何圖形，相應的集合M是這些元素的某一特定的范圍．p(x)表示集合M的全部元素滿意的性質．如“隨意一個自然數(shù)都不小于0”，可以表示為“?x∈N，x≥0”．3．如何推斷全稱命題的真假呢？提示：要判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，須要對集合M中每一個元素x，證明p(x)成立；假如在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題．學問點二存在量詞和特稱命題[填一填](1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．(2)特稱命題：①定義：含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．②一般形式：特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為?x0∈M，p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．[答一答]4．常見的存在量詞有哪些？提示：常見的存在量詞除了“存在一個”“至少有一個”，還有“有些”“有一個”“對某個”“有的”等．5．如何推斷特稱命題的真假呢？提示：要判定特稱命題“?x0∈M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成馬上可；假如在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個特稱命題是假命題．推斷一個語句是全稱命題還是特稱命題時，首先要判定語句是否是命題，然后再分析命題中所含量詞，含有全稱量詞的是全稱命題，含存在量詞的是特稱命題．有些全稱命題中雖然不含有全稱量詞，但我們可依據命題所涉及的意義去推斷，如“實數(shù)的肯定值是非負數(shù)”，省略了“隨意”，但它仍舊是全稱命題．類型一全稱命題與特稱命題的判定【例1】推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題？(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對隨意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素數(shù)的和仍是素數(shù)；(5)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線相互垂直．【分析】首先看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，若含有相關量詞，則依據量詞確定命題是全稱命題或者是特稱命題；若沒有，要結合命題的詳細意義進行推斷．【解】(1)可以改寫為全部的凸多邊形的外角和都等于360°，故為全稱命題．(2)含有存在量詞“有的”，故為特稱命題．(3)含有全稱量詞“隨意”，故為全稱命題．(4)含有存在量詞“有些”，故為特稱命題．(5)若一個四邊形是菱形，也就是全部的菱形，故為全稱命題．推斷一個語句是全稱命題還是特稱命題的步驟1首先推斷語句是否為命題，若不是命題，就當然不是全稱命題或特稱命題.2若是命題，再分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是特稱命題.3當命題中不含量詞時，要留意理解命題含義的實質.4一個全稱命題或特稱命題往往有多種不同的表述方法，有時可能會省略全稱量詞或存在量詞，應結合詳細問題多加體會.下列命題中，是全稱命題的是①②③，是特稱命題的是④(填序號)．①正方形的四條邊相等；②有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．類型二用量詞表示命題【例2】用全稱量詞或存在量詞表示下列語句．(1)有理數(shù)都能寫成分數(shù)形式；(2)整數(shù)中1最??；(3)方程x2＋2x＋8＝0有實數(shù)解；(4)有一個質數(shù)是偶數(shù)．【分析】eq\x(分析命題中所述對象的特征)→eq\x(適當添加全稱量詞或存在量詞)【解】(1)隨意一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)形式．(2)全部的整數(shù)中1最小．(3)存在實數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8＝0成立．(4)存在一個質數(shù)是偶數(shù)．由于敘述的多樣性，有些語句不是典型的全稱命題或特稱命題，但卻表達了這兩種命題的意思，假如能恰當?shù)匾肴Q量詞或存在量詞，即可使題意清楚明白.用量詞符號表述全稱命題．(1)任一個實數(shù)乘以－1都等于它的相反數(shù)；(2)對隨意實數(shù)x，都有x3>x2.解：(1)?x∈R，x·(－1)＝－x.(2)?x∈R，x3>x2.類型三全稱命題與特稱命題的真假推斷【例3】推斷下列命題的真假．(1)不論實數(shù)a為何值，直線(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0恒過定點；(2)存在實數(shù)k，使原點到直線kx＋2y－1＝0的距離為1.【分析】先確定命題的形式，再檢驗或證明命題的真假．【解】(1)由(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0，得(2x－3y＋1)a＋3x＋4y－7＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x＋4y－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))故直線(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0恒過定點(1,1)，所以該命題為真命題．(2)由于原點到直線kx＋2y－1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(4＋k2))≤eq\f(1,2)<1，故不存在實數(shù)k使原點到直線kx＋2y－1＝0的距離為1，即該命題為假命題．1推斷全稱命題?x∈M，px是真命題，要對集合M中的每個元素x，證明px成立；推斷全稱命題為假命題只須要在集合M中找到一個元素x0，使得px0不成立，即找反例.2推斷特稱命題?x∈M，px是真命題，只需在集合M中找到x0，使得qx0成馬上可，即舉例加以說明；推斷特稱命題為假命題，須要證明集合M中使得qx成立的元素不存在.下列命題中的假命題是(C)A．?x∈R，lgx＝0 B．?x∈R，tanx＝1C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0解析：當x＝1時，lgx＝0，A正確；當x＝eq\f(π,4)時，tanx＝1，B正確；?x∈R,2x>0，D正確；只有C錯誤，當x≤0時，x3≤0.故選C.類型四素養(yǎng)提升依據全稱命題、特稱命題求參數(shù)的范圍【例4】若?x0∈R，使cos2x0＋2sinx0＋a＝0，則實數(shù)a的取值范圍是________．【精解詳析】依題意，若?x0∈R，使cos2x0＋2sinx0＋a＝0，則得a＝－cos2x0－2sinx0＝2sin2x0－2sinx0－1＝2(sinx0－eq\f(1,2))2－eq\f(3,2)，令t＝sinx0，則a＝2(t－eq\f(1,2))2－eq\f(3,2)，－1≤t≤1.由于函數(shù)a(t)在－1≤t≤eq\f(1,2)上單調遞減，在eq\f(1,2)<t≤1上單調遞增，所以當t＝eq\f(1,2)時，取最小值a＝－eq\f(3,2)；當t＝－1時，取最大值a＝3.所以－eq\f(3,2)≤a≤3.故當－eq\f(3,2)≤a≤3時滿意條件，所以a的取值范圍是[－eq\f(3,2)，3]．[答案][－eq\f(3,2)，3]【解后反思】(1)若含有參數(shù)的不等式f(x)≤m在區(qū)間D上能成立，則f(x)min≤m；若不等式f(x)≥m在區(qū)間D上能成立，則f(x)max≥m.(2)若含有參數(shù)的不等式f(x)≤m在區(qū)間D上恒成立，則f(x)max≤m；若含有參數(shù)的不等式f(x)≥m在區(qū)間D上恒成立，則f(x)min≥m.(3)特稱命題是真命題，可以轉化為能成立問題，全稱命題是真命題，可以轉化為恒成立問題解決．已知命題p：“?x0∈R，sinx0<m”，命題q：“?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．解：由于p∧q是真命題，則p，q都是真命題．因為“?x0∈R，sinx0<m”是真命題，所以m>－1.又因為“?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命題，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是(－1,2)．1．“a∥α，則a平行于α內任一條直線”是(B)A．真命題B．全稱命題C．特稱命題 D．不含量詞的命題解析：命題中含有“任一”全稱量詞，故為全稱命題．2．既是特稱命題，又是真命題的是(B)A．斜三角形的內角是銳角或鈍角B．至少有一個x∈R，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使eq\f(1,x)>2解析：如x＝0時，x2＝0，滿意x2≤0.3．下列命題是假命題的是(B)A．?x∈R,3x>0 B．?x∈N，x≥1C．?x∈Z，x<1 D．?x∈Q，eq\r(x)?Q解析：當x＝0時，0∈N，但0<1.故“?x∈N，x≥1”是假命題．4．下列命題：①偶數(shù)都可以被2整除；②角平分線上的任一點到這個角的兩邊的距離相等；③正四棱錐的側棱長相等；④有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其內角和大于180°.既是全稱命題又是真命題的是①②③，既是特稱命題又是真命題的是④⑤(填上全部滿意要求的序號)．解析：①是全稱命題，是真命題；②是全稱命題，是真命題；③是全稱命題，即：隨意正四棱錐的側棱長相等，是真命題；④含存在量詞“有的”，是特稱命題，是真命題；⑤是特稱命題，是真命題；⑥是特稱命題，是假命題，因為隨意三角形內角和為180°.5．用符號“?”或“?”表