2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE二十六拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=ax,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=ax,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.2.拋物線y=QUOTEx2的準(zhǔn)線方程是 ()A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2【解析】選A.因?yàn)閥=QUOTEx2,所以x2=4y,所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1.3.點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax2準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是 ()A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2 D.y=QUOTEx2或y=-QUOTEx2【解析】選D.分兩類a>0,a<0可得y=QUOTEx2,y=-QUOTEx2.4.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】選C.依據(jù)題意,拋物線的方程為y=2x2,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=QUOTEy,其中p=QUOTE,則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知拋物線的方程為x=QUOTEy2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程是.

【解析】x=QUOTEy2,焦點(diǎn)在x軸上,且QUOTE=9,所以拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-9.答案:x=-96.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上的一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,假如直線AF的斜率為-QUOTE,那么|PF|=.

【解析】如圖,∠AFE=60°,因?yàn)辄c(diǎn)F(2,0),所以點(diǎn)E(-2,0),則QUOTE=tan60°,即|AE|=4QUOTE,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4QUOTE),故|PF|=|PA|=6+2=8.答案:8三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為r,則由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等,則動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0,-3)為焦點(diǎn),y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線,其方程為x2=-12y.8.如圖所示,拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在y軸上,準(zhǔn)線l與圓x2+y2=1相切.(1)求拋物線C的方程.(2)若點(diǎn)A,B都在拋物線C上,且=2,求點(diǎn)A的坐標(biāo).【解析】(1)依題意,可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),其準(zhǔn)線l的方程為y=-QUOTE.因?yàn)闇?zhǔn)線l與圓x2+y2=1相切,所以圓心(0,0)到準(zhǔn)線l的距離d=0-QUOTE=1,解得p=2.故拋物線C的方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則QUOTE由題意得F(0,1),所以=(x2,y2-1),=(x1,y1),因?yàn)?2,所以(x2,y2-1)=2(x1,y1)=(2x1,2y1),即QUOTE代入②得4QUOTE=8y1+4,即QUOTE=2y1+1,又QUOTE=4y1,所以4y1=2y1+1,解得y1=QUOTE,x1=±QUOTE,即點(diǎn)A的坐標(biāo)為QUOTE或QUOTE.(15分鐘·30分)1.(5分)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則點(diǎn)P的軌跡方程為 ()A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y【解析】選C.由題意知點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,因此點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離與到直線y+2=0的距離相等,故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn),y=-2為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為x2=8y.2.(5分)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F,其準(zhǔn)線與雙曲線QUOTE-QUOTE=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p= ()A.3 B.4 C.6 D.8【解析】選C.如圖,在正三角形ABF中,DF=p,BD=QUOTEp,所以B點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE,又點(diǎn)B在雙曲線上,故QUOTE-QUOTE=1,解得p=6.3.(5分)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=4QUOTEx的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4QUOTE,則△POF的面積為 ()A.2 B.2QUOTE C.2QUOTE D.4【解題指南】由|PF|=4QUOTE及拋物線的定義求出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而求出面積.【解析】選C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-QUOTE,焦點(diǎn)F(QUOTE,0),由|PF|=4QUOTE及拋物線的定義知,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP=3QUOTE,從而yP=±2QUOTE,所以S△POF=QUOTE|OF|·|yP|=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=2QUOTE.4.(5分)以橢圓QUOTE+QUOTE=1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【解析】因?yàn)闄E圓的方程為QUOTE+QUOTE=1,所以右頂點(diǎn)為(4,0).設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則QUOTE=4,即p=8,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.答案:y2=16x5.(10分)已知拋物線C:x2=2py(p>0)上兩點(diǎn)A,B,且AB⊥y軸,OA⊥OB,△AOB的面積為16,求拋物線C的方程.【解析】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限且A(m,n),則B(-m,n),可得n2=2pm,AB⊥y軸,且OA⊥OB,即△AOB為等腰直角三角形,則OA的斜率為1,即m=n,△AOB的面積為16,可得QUOTE·2m·n=16,解得m=n=4,p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.1.已知拋物線y=QUOTEx2與雙曲線QUOTE-x2=1(a>0)有共同的焦點(diǎn)F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P在x軸上方且在雙曲線上,則·的最小值為.

【解析】拋物線y=QUOTEx2,即x2=8y的焦點(diǎn)為F(0,2).所以a2=22-12=3,故雙曲線的方程為QUOTE-x2=1.設(shè)P(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方,故由雙曲線的性質(zhì)可得y≥QUOTE.=(x,y),=(x,y-2),·=x2+y(y-2)=x2+y2-2y=QUOTE+y2-2y-1=QUOTEy2-2y-1=QUOTE-1=QUOTE-QUOTE.因?yàn)閥=QUOTE<QUOTE,故函數(shù)t=QUOTE-QUOTE在[QUOTE,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)y=QUOTE時(shí),取得最小值,最小值為QUOTE×(QUOTE)2-2×QUOTE-1=3-2QUOTE.所以·的最小值為3-2QUOTE.答案:3-2QUOTE2.已知拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M到定點(diǎn)AQUOTE和焦點(diǎn)F的距離之和的最小值等于5,求拋物線的方程.【解析】拋物線的準(zhǔn)線為l:x=-QUOTE.①當(dāng)點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部時(shí),42<2p·QUOTE,即p>QUOTE時(shí),過(guò)M作MA＇⊥l,垂足為A＇,則|MF|+|MA|=|MA＇|+|MA|.當(dāng)A,M,A＇共線時(shí),(|MF|+|MA|)min=5,即QUOTE+QUOTE=5,所以p=3,滿意p>QUOTE,所以拋物線方程為y2=6