高三開學(xué)收心考試模擬卷(測試范圍：高考全部內(nèi)容)(解析版)

高三開學(xué)收心考試模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高中數(shù)學(xué)全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，所以,故選：A2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】設(shè)，，因為，所以，，所以，又，所以，解得，所以故選：C.3．已知向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又，知，即.故選：A4．在平面直角坐標系中，以下方程對應(yīng)的曲線，繞原點旋轉(zhuǎn)一定角度之后，可以成為函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A項，因為，所以，所以方程對應(yīng)的曲線為橢圓，所以當橢圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故A項不成立；對于B項，因為，所以，所以方程對應(yīng)的曲線為雙曲線，其漸進線為，所以當其繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定是函數(shù)圖象，故B項成立；對于C項，因為，所以方程對應(yīng)的曲線為圓，所以當圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故C項不成立；對于D項，因為，所以方程對應(yīng)的曲線為圓，所以當圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故D項不成立.故選：B.5．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文【答案】A【解析】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故選：A.6．已知，則（

）A．－1 B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，則，得，則，所以．故選：A．7．已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為和，則經(jīng)過函數(shù)的圖象的對稱中心的直線被圓截得的最短弦長為（

）A．10 B．5 C． D．【答案】D【解析】因為，所以，設(shè)，，因為函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由已知可得函數(shù)的最大值為，最小值為，所以，故，所以，因為是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，所以關(guān)于中心對稱，因為則點在圓的內(nèi)部，因為點到坐標原點的距離為，所以所求最短弦長為.故選：D.8．如圖，已知是雙曲線的左?右焦點，為雙曲線上兩點，滿足，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】延長與雙曲線交于點，因為，根據(jù)對稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.

2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．某市為響應(yīng)教育部《切實保證中小學(xué)每天一小時校園體育活動的規(guī)定》號召，提出“保證中小學(xué)生每天一小時校園體育活動”的倡議.在某次調(diào)研中，甲、乙兩個學(xué)校學(xué)生一周的運動時間統(tǒng)計如下表：學(xué)校人數(shù)平均運動時間方差甲校2000103乙校300082記這兩個學(xué)校學(xué)生一周運動的總平均時間為，方差為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依題意，總平均時間為，方差為.故選：BC10．如圖，為了測量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長度的是（

）A．a(chǎn)，b， B．，，C．a(chǎn)，， D．，，b【答案】ACD【解析】法一、根據(jù)三角形全等的條件可以確定A、C、D三項正確，它們都可以唯一確定三角形；法二、對于A項，由余弦定理可知，可求得，即A正確；對于B項，知三個內(nèi)角，此時三角形大小不唯一，故B錯誤；對于C項，由正弦定理可知，即C正確；對于D項，同上由正弦定理得，即D正確；故選：ACD.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.，，當時，，，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．為偶函數(shù)C． D．不等式的解集為【答案】BCD【解析】由可得，故可知的圖象關(guān)于對稱，故A錯誤，由得，由得，故為偶函數(shù)，故B正確，由可得，所以，又為偶函數(shù)，所以，即，故C正確，由為偶函數(shù)且可得，所以是周期函數(shù)，且周期為8，又當時，，可知在單調(diào)遞減故結(jié)合的性質(zhì)可畫出符合條件的的大致圖象：

由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當，時，，故D正確，故選：BCD12．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點，使得B．存在點，使得C．對于任意點，到的距離的取值范圍為D．對于任意點，都是鈍角三角形【答案】ABC【解析】由題知，在正方體中，是棱上的動點，建立以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向的空間直角坐標系.所以，，，設(shè)，其中，所以，，當時，即，所以，顯然方程組無解，所以不存在使得，即不存在點，使得，故A項正確；當時，解得，故B項正確；因為，其中，所以點Q到的距離為，故C項正確；因為，，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項錯誤.

故選：ABC第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中的各二項式系數(shù)之和為256，則的系數(shù)是【答案】112【解析】依題意得：解得則由，解得從而.故答案為：14．陀螺又稱陀羅，是中國民間最早的娛樂健身玩具之一，在山西夏縣新石器時代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半徑為1，圓錐與圓柱的高均為1，若該陀螺由一個球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的最小值為.【答案】/【解析】依題意當該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小，設(shè)此時球形材料的半徑為，如圖所示：

由題意得，解得，所以球形材料的體積最小值為.故答案為：15．已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【解析】因為，當時，，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，，其中，解得，所以，，解得，因為，且，則.當時，；當時，.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.16．已知是橢圓的左，右焦點，過點的直線與橢圓交于A，B兩點，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則的最大值為.【答案】/【解析】因為為的內(nèi)切圓圓心，則，顯然是銳角，當且僅當最大時，最大，且最大，又，即有最小，在橢圓中，，在中，，當且僅當時取等號，因此當，即為正三角形時，取得最大值，取最大值，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的周長.【解析】（1）由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負值舍去）.

（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長.18．（12分）如圖所示，在多面體中，底面為矩形，且底面∥.

(1)證明：∥平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）證明：取線段的中點，連接，因為四邊形是矩形，且，所以且因為且且，所以且，所以且所以四邊形是平行四邊形，則，因為平面平面，所以平面（2）因為底面平面，所以，因為所以以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，由，取，則，故平面的一個法向量，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則.19．（12分）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．(1)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【解析】（1）依題意，而，即，由于，∴解得，∴．∴，故，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴．∴．∴，故（）．∴．經(jīng)檢驗對于n=1也成立；（2）依題意設(shè)，由于，∴，故，經(jīng)檢驗對于n=1也成立，∴．由于，∴，∴，即．20．（12分）已知，曲線與直線相切于點．(1)求，的值；(2)證明：當時，恒成立．【解析】（1）．由題設(shè)得，故．（2）當時，等價于，下面證明：當時，．設(shè)，則．設(shè)，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．又，所以，使得,所以當或時，；當時，．故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以．故當時，恒成立．21．（12分）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個非負隨機變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信．【解析】（1）法一：對非負離散型隨機變量及正數(shù)使用馬爾科夫不等式，有．法二：設(shè)的分布列為其中，記，則對任意，.（2）設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為．假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實的，那么在此假設(shè)下，．由切比雪夫不等式，有．即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過60人的概率不超過0.04，此概率很小，據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信．22．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，過點的直線交該橢圓于，兩點.(1)求面積的最大值，