2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率課時作業(yè)62.1離散型隨機(jī)變量及其分布列含解析北師大版選修2-3

課時作業(yè)6離散型隨機(jī)變量及其分布列時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．一個袋子中有質(zhì)量相等的紅、黃、綠、白四種小球各若干個，一次倒出三個小球，下列變量是離散型隨機(jī)變量的是(D)A．小球滾出的最大距離B．倒出小球所需的時間C．倒出的三個小球的質(zhì)量之和D．倒出的三個小球的顏色種數(shù)解析：A，B不能一一列舉，不是離散型隨機(jī)變量，而C是常量，是個確定值，D可能取1,2,3，是離散型隨機(jī)變量．2．袋中裝有10個紅球，5個黑球，每次隨機(jī)抽取一個球，若取得黑球，則另換一個紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹梗舫槿〉拇螖?shù)為X，則表示“放回5個球”的事務(wù)為(C)A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：第一次取到黑球，則放回1個球，其次次取到黑球，則共放回2個球，…，共放回5個球，第六次取到了紅球，試驗(yàn)終止，故X＝6.3．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，則n＝(C)A．3 B．4C．10 D．不確定解析：∵X等可能取1,2,3，…，n，∴X的每個值的概率均為eq\f(1,n).由題意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.4．離散型隨機(jī)變量ξ全部可能值的集合為{－2,0,3,5}，且P(ξ＝－2)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,12)，則P(ξ＝0)的值為(C)A．0 B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：依據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)有P(ξ＝－2)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝1，所以eq\f(1,4)＋P(ξ＝0)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,12)＝1.解得P(ξ＝0)＝eq\f(1,6).5．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的勝利率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ去描述1次試驗(yàn)的勝利次數(shù)，P(ξ＝0)等于(C)A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：設(shè)ξ的分布列為ξ01Pp2p則“ξ＝0”表示試驗(yàn)失敗，“ξ＝1”表示試驗(yàn)勝利，設(shè)失敗率為p，則勝利率為2p.∴由p＋2p＝1得p＝eq\f(1,3).應(yīng)選C.6．隨機(jī)變量ξ的概率分布規(guī)律為P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P(eq\f(1,2)<ξ<eq\f(5,2))的值為(D)A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析：因?yàn)镻(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，所以a＝eq\f(5,4)，因?yàn)镻(eq\f(1,2)<ξ<eq\f(5,2))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).故選D.7．設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又設(shè)隨機(jī)變量Y＝2X－1，P(Y<6)的值為(A)A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2解析：Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝eq\f(3,10).8．若隨機(jī)變量η的分布列如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(η<x)＝0.8時，實(shí)數(shù)x的取值范圍是(C)A．x≤2 B．1≤x≤2C．1<x≤2 D．1<x<2解析：由題意知，P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，P(η<3)＝0.9，則當(dāng)P(η<x)＝0.8時，實(shí)數(shù)x的取值范圍是1<x≤2.二、填空題9．設(shè)隨機(jī)變量ξ的可能取值為5,6,7，…，16這12個值，且取每個值的概率均相同，則P(ξ>8)＝eq\f(2,3)，P(6<ξ≤14)＝eq\f(2,3).解析：因?yàn)镻(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＋…＋P(ξ＝16)＝1，且P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)，所以P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)＝eq\f(1,12)，則P(ξ>8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16)＝eq\f(1,12)×8＝eq\f(2,3).P(6<ξ≤14)＝p(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝14)＝eq\f(1,12)×8＝eq\f(2,3).10．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則m＝eq\f(1,4)，η＝ξ－3的分布列為η－2－101Peq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,6)解析：首先由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，得m＝eq\f(1,4).再由隨機(jī)變量ξ和η＝ξ－3表示的試驗(yàn)結(jié)果是相同的，可以求出η＝ξ－3對應(yīng)的概率，列出分布列．11．隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝1)＝eq\f(2,3)，公差d的取值范圍是(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))．解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，P(|ξ|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又a＝eq\f(1,3)－d，c＝eq\f(1,3)＋d，依據(jù)分布列的性質(zhì)，得0<eq\f(1,3)－d<eq\f(2,3)，0<eq\f(1,3)＋d<eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)<d<eq\f(1,3)，即公差d的取值范圍為(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))．三、解答題12．寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)一個袋中裝有大小相同的2個白球和5個黑球，從中任取3個，取到白球的個數(shù)ξ.(2)一個袋中裝有5個同樣大小的球，編號分別為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋中隨機(jī)取出3個球，被取出的最大號碼數(shù)ξ.(3)電臺在每個整點(diǎn)都報時，報時所需時間為0.5分鐘，某人隨機(jī)打開收音機(jī)對表，他所等待的時間ξ.解：(1)ξ可取0,1,2.ξ＝i表示取出的3個球中有i個白球、3－i個黑球，其中i＝0,1,2.(2)ξ可取3,4,5.ξ＝3表示取出的3個球的編號分別為1,2,3；ξ＝4表示取出的3個球的編號分別為1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5表示取出的3個球的編號分別為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(3)ξ的可能取值為區(qū)間[0,59.5]內(nèi)隨意一個值，每一個取值表示這個人所等待的時間．13．旅游公司為3個旅游團(tuán)供應(yīng)4條旅游線路，每個旅游團(tuán)任選其中一條線路．(1)求3個旅游團(tuán)選擇3個不同線路的概率；(2)求選擇甲線路的旅游團(tuán)數(shù)的分布列．解：(1)3個旅游團(tuán)選擇3條不同線路的概率為eq\f(A\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8).(2)設(shè)選擇甲線路的旅游團(tuán)數(shù)為ξ，則ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·32,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·3,43)＝eq\f(9,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),43)＝eq\f(1,64).所以ξ的分布列為ξ＝k0123P(ξ＝k)eq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)——實(shí)力提升類——14．一用戶在打電話時遺忘了號碼的最終三個數(shù)字，只記得最終三個數(shù)字兩兩不同，且都大于5，于是他隨機(jī)撥最終三個數(shù)字(兩兩不同)，設(shè)他撥到所要號碼的次數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的可能取值共有24種．解析：后三個數(shù)字兩兩不同且都大于5的電話號碼共有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)，故隨機(jī)變量ξ的可能取值共有24(種)．15．在1,2,3，…，9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù)．(1)求這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)的概率；(2)記ξ為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時ξ的值是2.求隨機(jī)變量ξ的分布列．解：(1)記“這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2，ξ＝1表示3個數(shù)中只有1組相鄰的數(shù)，則P(ξ＝1)＝eq\f(2