2024-2025學(xué)年上海延安中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（2025.01）（含答案）

延安中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期末2025.1一、填空題（本大題滿分39分）本大題共有13題，每題3分．1．若過點(diǎn)、的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．2．已知直線與直線垂直，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為________．3．已知圓，直線被圓截得的弦長為________．4．直線與的夾角為________．5．已知點(diǎn)、，為線段上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．6．已知一正方體的表面積為24，若球與此正方體的各個(gè)面均相切，則該球的體積是_______.7．已知，若點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為________.8．已知兩條平行直線，間的距離為，則________．9．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是________．10．已知直線被兩條直線和截得的線段的中點(diǎn)為，則直線的一般式方程為________．11．在三棱錐中，平面，是邊長為2的正三角形，點(diǎn)滿足，則________．12．在空間四邊形中，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則使三點(diǎn)共線的的值是________．13．如圖，經(jīng)過邊長為1的正方體的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個(gè)正三角形，將這個(gè)截面上方部分去掉，得到一個(gè)七面體，則這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是________．二、選擇題（本大題滿分12分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，選對得3分，否則一律得零分．14．如圖，在長方體中，為棱的中點(diǎn)．若，，，則等于（）.A． B．C． D．15．設(shè)，，向量，，，且，，則（）.A． B． C．2 D．816．已知點(diǎn)，，，則外接圓的方程是（）.A． B．C． D．17．在等腰直角中，，點(diǎn)是邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)邊反射后又回到點(diǎn)，若光線經(jīng)過的重心，則的周長等于（）.A． B． C． D．三、解答題（本大題滿分49分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．18．如圖為長方體與半球拼接的組合體，已知長方體的長、寬、高分別為10，8，15（單位：cm），球的直徑為5cm，（1）求該組合體的體積；（4分）（2）求該組合體的表面積．（4分）19．如圖所示，平行六面體中，,，，．（1）用向量，，表示向量，并求；（4分）（2）求．（4分）20．在中，，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（4分）（2）求直線的方程．（4分）21．三棱臺(tái)中，若平面，，，，，分別是，中點(diǎn)．（1）求證：平面；（4分）（2）求二面角的正弦值；（5分）（3）求點(diǎn)到平面的距離．（4分）22．已知圓和圓．（1）若圓與圓相交，求的取值范圍；（4分）（2）若直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；（4分）（3）若，設(shè)為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．（4分）

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.13.12．在空間四邊形中，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則使三點(diǎn)共線的的值是________．【答案】【解析】∵為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線，故答案為：．13．如圖，經(jīng)過邊長為1的正方體的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個(gè)正三角形，將這個(gè)截面上方部分去掉，得到一個(gè)七面體，則這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是________．【答案】【解析】如圖，七面體為正方體截去三棱棱的圖形，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的球最大時(shí)，

該球與三個(gè)正方形面和等邊三角形面相切，且球心在體對角線上，

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)球心，故

設(shè)平面的法向量為，則有，可取，

則球心到平面的距離為

因?yàn)榍蚺c三個(gè)正方形面和等邊三角形面相切，所以，解得，

所以這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是．故答案為：．二、選擇題14.A15.B16.17.A17．在等腰直角中，，點(diǎn)是邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)邊反射后又回到點(diǎn)，若光線經(jīng)過的重心，則的周長等于（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如圖所求的直角坐標(biāo)系，得，則直線方程為，

且的重心為，即，

設(shè)關(guān)于直線的對稱為，則，解得，則，易知關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，根據(jù)光線反射原理知四點(diǎn)共線，所以直線QR的方程為，，即又直線QR過，所以，解得或（舍去），

所以，所以．故選：A．三、解答題18.（1）（2）19.（1）（2）20.（1）（2）21．三棱臺(tái)中，若平面，，，，，分別是，中點(diǎn)．（1）求證：平面；（4分）（2）求二面角的正弦值；（5分）（3）求點(diǎn)到平面的距離．（4分）【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】（1）證明：在三棱臺(tái)中，平面，易證直線兩兩垂直，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，則．因?yàn)?，點(diǎn)直線，所以．又平面平面，所以平面．

（2）由（1）得．設(shè)平面的法向量，則令，則，得．設(shè)平面的法向量，則令，則，得．設(shè)二面角的大小為，則

所以二面角的正弦值．

（3）由（1）知，，由（2）知平面的一個(gè)法向量，

所以點(diǎn)到平面的距離．22．已知圓和圓．（1）若圓與圓相交，求的取值范圍；（4分）（2）若直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；（4分）（3）若，設(shè)為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．（4分）【答案】（1）