黃金卷04（江蘇專用）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（解析版）

2024高考總復(fù)習(xí)勤思篤學(xué)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（江蘇專用）黃金卷03（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則正數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則只能是，故，解得，故選：B．2．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，?fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．60 C． D．120【答案】A【分析】先把看作整體寫出二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，再根據(jù)指定項(xiàng)確定的次數(shù)，再寫一次二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，最后根據(jù)指定項(xiàng)配湊出項(xiàng)的系數(shù).【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)才能出現(xiàn)，此時(shí)展開的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)出現(xiàn)的一次，所以展開式中的系數(shù)為．故選：A.4．已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于，顯然是增函數(shù)，，所以的唯一零點(diǎn)；對(duì)于，顯然也是增函數(shù)，，所以的唯一零點(diǎn)；對(duì)于，顯然也是增函數(shù)，，所以的唯一零點(diǎn)；；故選：A.5．已知若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知．故選：D．6.已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，則，故，設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.2024高考總復(fù)習(xí)勤思篤學(xué)故選：D.7．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，令，可得?duì)稱軸方程，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，,且，，即，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，所以，即，又，可得或，故選：C.8．如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為3和6，則該圓臺(tái)的體積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為，則其面積為，解得，所以扇環(huán)的兩個(gè)圓弧長(zhǎng)分別為和，設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，高為，所以，解得，，解得，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：圖中，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】對(duì)于A，由，所以，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以A正確，對(duì)于BC，由余弦定理得，，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，，所以，得，則，不合題意，所以舍去，當(dāng)時(shí)，由可得，所以B正確，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，所以D錯(cuò)誤，故選：AB10．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥【答案】BD【分析】根據(jù)已知得出，然后即可根據(jù)概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，由全概率公式可得，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)已知，即可計(jì)算，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可知，，，兩兩互斥，故D項(xiàng)正確.故選：BD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．若是增函數(shù)，則D．若和的零點(diǎn)總數(shù)大于2，則這些零點(diǎn)之和大于5【答案】ABD【分析】直接代入即可判斷A，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，由在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出的取值方程，即可判斷C，首先說明，得到在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，利用對(duì)數(shù)均值不等式得到，即可得到，再說明在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、且，最后利用基本不等式證明即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，則，，所以，故A正確；對(duì)于B：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C：在上恒成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，即為的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)根，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以和都只有個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則無零點(diǎn)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)、，又，所以，所以，故D正確.其中：不等式的證明如下：要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴，得證.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線相交于點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】記，設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.13．已知樣本數(shù)據(jù)都為正數(shù)，其方差，則樣本數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為.【答案】11【解析】根據(jù)題意，設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為，其方差，又，則有，解得，則樣本數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為；故答案為：11．14．已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點(diǎn)，過E的上頂點(diǎn)A作AF的垂線交E于點(diǎn)B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)C，如圖所示：由題意知：，直線AB的斜率為，即，所以，.由橢圓的性質(zhì)知：，，則，所以，，則，故直線AB的方程為.聯(lián)立，解得：或，所以，故，則，解得：.又，所以，即，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知2bsinA?3a（Ⅰ）求角B的大?。唬á颍┣骳osA+cosB+cosC的取值范圍．【解析】（Ⅰ）∵2bsinA=3a∴2sinBsinA=3sinA∵sinA≠0，∴sinB=3∵△ABC為銳角三角形，∴B=π（Ⅱ）∵△ABC為銳角三角形，B=π∴C=2π3∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（2π3?A）+cosπ3=cosA?12cosA+32sinA+12=1△ABC為銳角三角形，0＜A＜π2，0＜C解得π6＜A∴π3＜A∴32＜sin（A∴32+12＜sin（∴cosA+cosB+cosC的取值范圍為（3+12，16.（15分）如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；(2)在線段AB（含端點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）過作于，由于，則,由于,且四邊形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸，軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的法向量，則，即，取，得．設(shè)面的法向量，則，即，則取，得．試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．（2），,，面，面．設(shè),若平面，則,所以，所以17（15分）已知函數(shù)．(1)若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，證明：．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【答案】(1)2；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知求出a的值.（2）求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，確定有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，再由變形并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理論證即得.【詳解】（1）依題意，設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得，則，解得，又，，則，所以實(shí)數(shù)a的值為2.（2）依題意，的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，則有兩個(gè)不等的正根，且是的變號(hào)零點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，此時(shí)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則，即，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，且是變號(hào)零點(diǎn)，由，得，由，得，令，則，于是，解得，，因此要證，只需證，即，只證，令，，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以.18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在拋物線上，圓（1）若，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最小值；（2）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點(diǎn)），求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）1；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)，則，當(dāng)，Q為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，（2）題意可知，過P點(diǎn)直線與圓相切，則，即，①設(shè)直線為：，則與拋物線C的交點(diǎn)方程可化為：，令，則：，②題意有，①②方程同解，故有，即：，所以直線為：，即，由，解得，直線恒過．19.（17分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，(1)求的通項(xiàng)公式；(