專題10 圓-5年（2020-2024）中考1年模擬數(shù)學(xué)分類匯編（河北專用）

PAGE1試卷第=page22頁，共=sectionpages102102頁專題10圓1．（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，某折扇張開的角度為時，扇面面積為、該折扇張開的角度為時，扇面面積為，若，則與關(guān)系的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正比例函數(shù)的應(yīng)用，扇形的面積，設(shè)該扇面所在圓的半徑為，根據(jù)扇形的面積公式表示出，進(jìn)一步得出，再代入即可得出結(jié)論．掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)該扇面所在圓的半徑為，，∴，∵該折扇張開的角度為時，扇面面積為，∴，∴，∴是的正比例函數(shù)，∵，∴它的圖像是過原點(diǎn)的一條射線．故選：C．2．（2023·河北·中考真題）如圖，點(diǎn)是的八等分點(diǎn)．若，四邊形的周長分別為a，b，則下列正確的是(

)

A． B． C． D．a(chǎn)，b大小無法比較【答案】A【分析】連接，依題意得，，的周長為，四邊形的周長為，故，根據(jù)的三邊關(guān)系即可得解．【詳解】連接，

∵點(diǎn)是的八等分點(diǎn)，即∴，∴又∵的周長為，四邊形的周長為，∴在中有∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識，利用作差比較法比較周長大小是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北·中考真題）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得的角度，進(jìn)而可得所對的圓心角，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：如圖，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．，∠P＝40°，，該圓半徑是9cm，cm，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵．4．（2021·河北·中考真題）如圖，等腰中，頂角，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：①以為圓心，為半徑畫圓；②在上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接；③作的垂直平分線與交于，；④作的垂直平分線與交于，．結(jié)論Ⅰ：順次連接，，，四點(diǎn)必能得到矩形；結(jié)論Ⅱ：上只有唯一的點(diǎn)，使得．對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對C．Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對Ⅱ不對【答案】D【分析】Ⅰ、根據(jù)“弦的垂直平分線經(jīng)過圓心”，可證四邊形MENF的形狀；Ⅱ、在確定點(diǎn)P的過程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．【詳解】解：Ⅰ、如圖所示．∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，EF是AP的垂直平分線，∴MN和EF都經(jīng)過圓心O，線段MN和EF是⊙O的直徑．∴OM=ON，OE=OF．∴四邊形MENF是平行四邊形．∵線段MN是⊙O的直徑，∴∠MEN=90°．∴平行四邊形MENF是矩形．∴結(jié)論Ⅰ正確；Ⅱ、如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN左側(cè)且AP=AB時，∵AP=AB，∴．∵M(jìn)N⊥AB，EF⊥AP，∴∴∴∴．∴．∵扇形OFM與扇形OAB的半徑、圓心角度數(shù)都分別相等，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)且BP=AB時，同理可證：．∴結(jié)論Ⅱ錯誤．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、矩形的判定、扇形面積等知識點(diǎn)，熟知圓的有關(guān)性質(zhì)、矩形的判定方法及扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2020·河北·中考真題）有一題目：“已知；點(diǎn)為的外心，，求．”嘉嘉的解答為：畫以及它的外接圓，連接，，如圖．由，得．而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個不同的值．”，下列判斷正確的是（

）A．淇淇說的對，且的另一個值是115°B．淇淇說的不對，就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對，應(yīng)得50°D．兩人都不對，應(yīng)有3個不同值【答案】A【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A還應(yīng)有另一個不同的值∠A′與∠A互補(bǔ)．故∠A′＝180°?65°＝115°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外接圓，正確分類討論是解題關(guān)鍵．6．（2021·河北·中考真題）如圖，的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點(diǎn)為（為1~12的整數(shù)），過點(diǎn)作的切線交延長線于點(diǎn)．（1）通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長；（2）連接，則和有什么特殊位置關(guān)系？請簡要說明理由；（3）求切線長的值．【答案】（1）劣弧更長；（2）和互相垂直，理由見解析；（3）．【分析】（1）分別求出劣弧和直徑的長，比較大小；（2）連接，，求出，即可得出垂直的位置關(guān)系；（3）根據(jù)圓的知識求出，又是的切線，利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）劣弧，直徑，因?yàn)?，故劣弧更長．（2）如下圖所示連接，，由圖可知是直徑，∴對應(yīng)的圓周角∴和互相垂直．（3）如上圖所示，∵是的切線∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)的基本知識．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角．在同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半．7．（2023·河北·中考真題）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以為直徑的半圓，，如圖1和圖2所示，為水面截線，為臺面截線，．計算：在圖1中，已知，作于點(diǎn)．（1）求的長．操作：將圖1中的水面沿向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當(dāng)時停止?jié)L動，如圖2．其中，半圓的中點(diǎn)為，與半圓的切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．

探究：在圖2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長交GH于點(diǎn)F，求線段與的長度，并比較大小．【答案】（1）；（2）；（3），，．【分析】（1）連接，利用垂徑定理計算即可；（2）由切線的性質(zhì)證明進(jìn)而得到，利用銳角三角函數(shù)求，再與（1）中相減即可；（3）由半圓的中點(diǎn)為得到，得到分別求出線段與的長度，再相減比較即可．【詳解】解：（1）連接，∵為圓心，于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴在中，．

（2）∵與半圓的切點(diǎn)為，∴∵∴于點(diǎn)，∵，，∴，∴操作后水面高度下降高度為：．（3）∵于點(diǎn)，∴，∵半圓的中點(diǎn)為，∴，∴，∴，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓的切線的性質(zhì)、求弧長和解直角三角形的知識，解答過程中根據(jù)相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．8．（2022·河北·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點(diǎn)H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．(1)求證：△PQM≌△CHD；(2)△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．①邊PQ從平移開始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；②如圖2，點(diǎn)K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．【答案】(1)見詳解(2)①；②；③【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再根據(jù)算出CD長度，即可證明；（2）①平移掃過部分是平行四邊形，旋轉(zhuǎn)掃過部分是扇形，分別算出兩塊面積相加即可；②運(yùn)動分兩個階段：平移階段：；旋轉(zhuǎn)階段：取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，H為圓心，延長DK與圓相交于點(diǎn)G，連接GH，GM，過點(diǎn)G作于T；設(shè)，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，發(fā)現(xiàn)，從而得到，度數(shù)，求出旋轉(zhuǎn)角，最后用旋轉(zhuǎn)角角度計算所用時間即可；③分兩種情況：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角＜30°時，DE在DH的左側(cè)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角≥30°時，DE在DH上或右側(cè)，證明，結(jié)合勾股定理，可得，即可得CF與d的關(guān)系．【詳解】（1）∵，∴則在四邊形中故四邊形為矩形，在中，∴，∵∴；（2）①過點(diǎn)Q作于S由（1）得：在中，∴平移掃過面積：旋轉(zhuǎn)掃過面積：故邊PQ掃過的面積：②運(yùn)動分兩個階段：平移和旋轉(zhuǎn)平移階段：旋轉(zhuǎn)階段：由線段長度得：取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，則H為圓心，延長DK與圓相交于點(diǎn)G，連接GH，GM，過點(diǎn)G作于T設(shè)，則在中：設(shè)，則，，，，∵DM為直徑∴在中：在中：在中：∴，PQ轉(zhuǎn)過的角度：s總時間：③設(shè)CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角＜30°時，DE在DH的左側(cè)，如圖：∵∠EDF=30°，∠C=30°，∴∠EDF=∠C，又∵∠DEF=∠CED，∴，∴，即，∴，∵在中，，∴，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角≥30°時，DE在DH上或右側(cè)，如圖：CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，同理：可得綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題，涉及到平移，旋轉(zhuǎn)，矩形，解直角三角形，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；注意第（2）問第②小題以PM為直徑作圓算出是難點(diǎn)，第（2）問第③小題用到相似三角形的判定和性質(zhì)．9．（2020·河北·中考真題）如圖，點(diǎn)為中點(diǎn)，分別延長到點(diǎn)，到點(diǎn)，使．以點(diǎn)為圓心，分別以，為半徑在上方作兩個半圓．點(diǎn)為小半圓上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接并延長交大半圓于點(diǎn)，連接，．（1）①求證：；②寫出∠1，∠2和三者間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若，當(dāng)最大時，直接指出與小半圓的位置關(guān)系，并求此時（答案保留）．【答案】（1）①見詳解；②∠2=∠C+∠1；（2）與小半圓相切，．【分析】（1）①直接由已知即可得出AO=PO，∠AOE=∠POC，OE=OC，即可證明；②由（1）得△AOE≌△POC，可得∠1=∠OPC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠2=∠C+∠OPC，即可得出答案；（2）當(dāng)最大時，可知此時與小半圓相切，可得CP⊥OP，然后根據(jù)，可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，可得出∠EOD，即可求出S扇EOD．【詳解】（1）①在△AOE和△POC中，∴△AOE≌△POC；②∠2=∠C+∠1，理由如下：由（1）得△AOE≌△POC，∴∠1=∠OPC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠2=∠C+∠OPC，∴∠2=∠C+∠1；（2）在P點(diǎn)的運(yùn)動過程中，只有CP與小圓相切時∠C有最大值，∴當(dāng)最大時，可知此時與小半圓相切，由此可得CP⊥OP，又∵，∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，∴∠EOD=180°-∠POC=120°，∴S扇EOD==．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角，切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，掌握知識點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．10．（2024·河北·中考真題）已知的半徑為3，弦，中，．在平面上，先將和按圖1位置擺放（點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，點(diǎn)A在上，點(diǎn)C在內(nèi)），隨后移動，使點(diǎn)B在弦上移動，點(diǎn)A始終在上隨之移動，設(shè)．(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時，求劣弧的長；(2)當(dāng)時，如圖2，求點(diǎn)B到的距離，并求此時x的值；(3)設(shè)點(diǎn)O到的距離為d．①當(dāng)點(diǎn)A在劣弧上，且過點(diǎn)A的切線與垂直時，求d的值；②直接寫出d的最小值．【答案】(1)(2)點(diǎn)B到的距離為；(3)①；②【分析】（1）如圖，連接，，先證明為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合弧長公式可得答案；（2）過作于，過作于，連接，證明四邊形是矩形，可得，，再結(jié)合勾股定理可得答案；（3）①如圖，由過點(diǎn)A的切線與垂直，可得過圓心，過作于，過作于，而，可得四邊形為矩形，可得，再進(jìn)一步利用勾股定理與銳角三角函數(shù)可得答案；②如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時，過作于，過作于，，此時最短，如圖，過作于，而，證明，求解，再結(jié)合等角的三角函數(shù)可得答案．【詳解】（1）解：如圖，連接，，∵的半徑為3，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴的長為；（2）解：過作于，過作于，連接，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴點(diǎn)B到的距離為；∵，，∴，∴，∴；（3）解：①如圖，∵過點(diǎn)A的切線與垂直，∴過圓心，過作于，過作于，而，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；②如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時，過作于，過作于，∴，∴，此時最短，如圖，過作于，而，∵為中點(diǎn)，則，∴由（2）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：（不符合題意的根舍去），∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，難度很大，考查了勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．11．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，在兩個同心圓中，分別是大圓和小圓的直徑，且與不在同一條直線上，則可直接判定以點(diǎn)A，C，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的條件是（

）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等C．一組對邊平行且相等 D．對角線互相平分【答案】D【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)和平行四邊形的判定，在兩個同心圓中，分別是大圓和小圓的直徑，且與不在同一條直線上，可得,故可判斷四邊形是平行四邊形【詳解】解：在兩個同心圓中，分別是大圓和小圓的直徑，且與不在同一條直線上，∴,∴四邊形是平行四邊形故選：D12．（2024·河北石家莊·二模）如圖，已知直線1外一點(diǎn)P，要過點(diǎn)P作直線1的平行線，現(xiàn)有甲、乙、丙三種尺規(guī)作圖方案，下面對三種方案評價正確的是（

）A．甲、乙方案正確，丙方案錯誤 B．甲、丙方案正確，乙方案錯誤C．乙、丙方案正確，甲方案錯誤 D．甲、乙、丙方案都正確【答案】D【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖作相等的角、圓周角定理、垂直平分線等知識點(diǎn)，熟練掌握常見的尺規(guī)作圖方法成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)尺規(guī)作圖作相等的角、圓周角定理、垂直平分線逐個方法判斷即可．【詳解】解：根據(jù)尺規(guī)作圖可知：即甲、乙方案正確；根據(jù)圓周角定理、垂直平分線的性質(zhì)可得即丙方案正確．故選D．13．（2024·河北石家莊·三模）如圖，銳角中，，要作的高線，下列說法正確的是（

）甲的作法：乙的作法：丙的作法A．只有甲對 B．只有乙和丙對 C．只有甲和丙對 D．甲，乙，丙都對【答案】D【分析】本題考查了尺規(guī)作圖以及圓周角定理，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，平角概念，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂直平分線得出，結(jié)合等邊對等角即可判斷甲；根據(jù)圓周角定理得出，結(jié)合平角概念進(jìn)行列式計算，即可判斷乙；作一個角等于已知角，結(jié)合，即可判斷丙；即可作答．【詳解】解：∵甲的作法是做的垂直平分線∴∵∴則甲對；∵乙的作法：作的垂直平分線，且以為直徑作圓∴∴則乙對；丙的作法是作∴則丙對；故選：D．14．（202·河北邢臺·二模）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，再將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，若與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)是（

）A．的外心 B．的內(nèi)心C．的重心 D．的中心【答案】B【分析】本題考查了翻折變換以及角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知點(diǎn)為角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)到三邊的距離相等．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)作，，，

由題意得：，，為角平分線的交點(diǎn)，，點(diǎn)到三邊的距離相等．點(diǎn)是的內(nèi)心．故選：B．15．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，直線，相交于點(diǎn)，則在直線，上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)有（

）A．0個 B．2個 C．4個 D．無數(shù)個【答案】C【分析】本題考查了圓的定義．以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，該圓與兩直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．【詳解】如圖，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，該圓與兩直線有個交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)有個，故選C．16．（2024·河北石家莊·一模）如圖，的直徑的延長線與弦的延長線交于點(diǎn)，若，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等等，連接，先證明，則，即可利用三角形外角的性質(zhì)得到，由，可得，再由三角形外角的性質(zhì)可得，即，由此即可打得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：A．

17．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)C在以為直徑的半圓O上，，點(diǎn)D在上，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，結(jié)合為半圓O的直徑，得到，結(jié)合，得到，利用圓周角定理，得到，結(jié)合解答即可．本題考查了圓周角定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，∵為半圓O的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選B．18．（2024·安徽安慶·三模）如圖，半徑為的經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是軸左側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，作直徑，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出，根據(jù)圓周角定理得到，等量代換即可．【詳解】解：如圖所示：作直徑，在中，，，又（圓周角定理），故選A.19．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，是四邊形的外接圓，點(diǎn)是的內(nèi)心，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)切圓的定義與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)、同角的補(bǔ)角相等、三角形內(nèi)角和定理等知識，由點(diǎn)是的內(nèi)心，得，，則，而，所以，求得，則，由，，得，于是得到問題的答案．【詳解】解：點(diǎn)是的內(nèi)心，，平分，平分，，，，，，，，，，，故選：C．20．（2024·河北滄州·一模）如圖，在凸四邊形中，，，，，下列同學(xué)關(guān)于對角線的長的說法中，正確的是（

）甲：長度可以為3；乙：長度可以為4；丙：長度可以為5．A．只有甲正確 B．只有乙正確C．甲、乙兩人均正確 D．乙、丙兩人均正確【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，連接，易得點(diǎn)在以為直徑的半圓上，連接，得到，推出為直角三角形，進(jìn)而求出的長，勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的取值范圍，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的半圓上，連接，則：，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又，∴，∵，∴，又∵，∴的長可以是4；故選B．21．（2024·河北石家莊·二模）如圖，弓形中，所在圓的圓心為點(diǎn)O，作關(guān)于直線對稱的，經(jīng)過點(diǎn)O，，點(diǎn)P為上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了垂徑定理，解直角三角形，求弧長，弧與圓心角之間的關(guān)系，過O作于D，交于C，由垂徑定理得到，，由對稱性得到，解直角三角形得到，則．求出，再證明，則由弧長公式可得的長．【詳解】解：如圖，過O作于D，交于C，，，關(guān)于對稱的經(jīng)過原本所在圓的圓心O，，在中，，，，．，，∴，連接，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，，，的長．故選C．22．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在中，直徑，點(diǎn)D為上方圓上的一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連接，得出下列結(jié)論：Ⅰ：陰影部分的面積隨著點(diǎn)P的位置的改變而改變，其最小值為．Ⅱ：陰影部分的周長隨著點(diǎn)P的位置的改變而改變，其最小值為．下列判斷正確的是（

）．A．只有Ⅰ正確 B．只有Ⅱ正確 C．Ⅰ、Ⅱ都正確 D．Ⅰ、Ⅱ都不正確【答案】B【分析】此題考查了扇形面積和弧長、垂徑定理、圓周角定理等知識，連接，證明，得到陰影部分的面積為，即可判斷Ⅰ；證明當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，最小值為的長度，即為8，得到陰影部分的周長的最小值為，即可判斷Ⅱ．【詳解】解：連接，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴是等腰三角形，∵于點(diǎn)E，∴，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為∴陰影部分的面積隨著點(diǎn)P的位置的改變而不改變，其值為．故Ⅰ錯誤；∵垂直平分，∴點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于對稱，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，最小值為的長度，即為8，∴陰影部分的周長的最小值為，∴陰影部分的周長隨著點(diǎn)P的位置的改變而改變，其最小值為．故Ⅱ正確；故選：B23．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）下面是“經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖1，P為圓外一點(diǎn)．求作：經(jīng)過P點(diǎn)的切線．作法：如圖2．（1）連接；（2）以為直徑作圓，與交于C、D兩點(diǎn)；（3）作直線、，則直線、就是所求作經(jīng)過P點(diǎn)的切線．下列可作為以上作圖依據(jù)的是．甲：直徑所對的圓周角為直角；乙：經(jīng)過半徑外端且并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；丙：同弧所對圓周角相等．【答案】甲乙【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)．連接，，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角以及切線的判定可知、是所求作經(jīng)過點(diǎn)的切線，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：如圖2，連接，，為直徑，，，為的半徑，、是所求作經(jīng)過點(diǎn)的切線．可作為以上作圖依據(jù)的是甲乙．故答案為：甲乙．24．（2024·河北唐山·三模）如圖，已知扇形的半徑等于2，，連接．進(jìn)行尺規(guī)作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧在扇形內(nèi)交于點(diǎn)，作射線，分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧在扇形內(nèi)交于點(diǎn)，作直線，分別交，于點(diǎn)，，連接．（1）等于；（2）．【答案】30/【分析】本題考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形，二次根式的混合運(yùn)算．作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，利用余弦二次函數(shù)的定義求得，利用圓周角定理求得，利用勾股定理求得和的長，利用二次根式的混合運(yùn)算求解即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，由作圖知是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，由作圖知是的平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，故答案為：30；．25．（2024·河北唐山·二模）木匠師傅用長，寬的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面（圓形桌面可以由一塊木板鋸成，也可以由拼接的木板鋸成），有如下三種方案：方案一：如圖1，直接鋸一個半徑最大的圓；方案二：如圖2，沿對角線將矩形鋸成兩個三角形；適當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓；方案三：如圖3，鋸一塊矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板鋸一個最大的圓．（1）方案二比方案一做出的圓形桌面的半徑大；（2）方案三中所鋸最大圓的半徑是．【答案】/【分析】（1）由題意知，直接鋸一個半徑最大的圓的半徑為，如圖2，作于，于，則四邊形是正方形，設(shè)正方形的半徑為，則，由，可得，即，可求，然后求解作答即可；（2）設(shè)圖3圓的半徑為，，則新拼圖形的水平長度為，豎直長度為，所截得的圓的直徑最大為或，當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即時，；然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，直接鋸一個半徑最大的圓的半徑為，如圖2，作于，于，則四邊形是正方形，∴，，∴，設(shè)正方形的半徑為，則，∵，∴，即，解得，，∴沿對角線將矩形鋸成兩個三角形；適當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓的半徑為，∵，∴方案二比方案一做出的圓形桌面的半徑大，故答案為：；（2）解：設(shè)圖3圓的半徑為，，∴新拼圖形的水平長度為，豎直長度為，∴所截得的圓的直徑最大為或，當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即時，；綜上所述，所截得的圓的直徑最大為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓，切線的性質(zhì)，正切，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識．熟練掌握圓，切線的性質(zhì)，正切，一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．26．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）石家莊水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光，據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為，最低點(diǎn)距離地面，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙．(1)小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時距離地面的高度為______；(2)在小明進(jìn)座艙后間隔3個座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時小明和小亮分別位于兩點(diǎn)）．①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（的長）；②求此時兩人所在座艙距離地面的高度差．【答案】(1)101(2)①兩人所在座艙在摩天輪上的距離為；②兩人所在座艙距離地面的高度差為．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、圓的概念、弧長公式，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由題意得出最高點(diǎn)是直徑加即可；（2）①求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可；②求出的長，利用直角三角形的邊角關(guān)系得出的長，進(jìn)而求出的長，即可得解．【詳解】（1）解：如圖，，由題意得：，，當(dāng)座椅轉(zhuǎn)到點(diǎn)時，距離地面最高，此時，∴小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時距離地面的高度為；（2）解：①∵摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個座艙，∴每相鄰兩個座椅之間所對的圓心角為，∴，∴的長為：，∴兩人所在座艙在摩天輪上的距離為；②作于，，由題意得：兩人所在座艙距離地面的高度差為的長，在中，，，∴，∴，∴兩人所在座艙距離地面的高度差為．27．（2024·河北石家莊·二模）如圖是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如圖，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)在上．請你繼續(xù)跟著小明的思路，完成下列問題嗎：(1)請求出所在的圓的半徑；(2)計算的長．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】(1)所在的圓的半徑為(2)的長為【分析】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、軸對稱的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）連接，交于點(diǎn)，設(shè)直線交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可得，解，根據(jù)，得出，進(jìn)而求得的長即可；（2）解，根據(jù)，得出，進(jìn)而求得、，根據(jù)該圖形為軸對稱圖形，圓凳的上、下底面圓的直徑都是，求出，根據(jù)、，得出答案即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，交于點(diǎn)，設(shè)直線交于點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵直線是對稱軸，∴，，，∴，∴，∴，，在中，，∴，∴，即所在的圓的半徑為；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵該圖形為軸對稱圖形，直線為對稱軸，圓凳的上、下底面圓的直徑都是，∴，∴，∴．28．（2024·河北邯鄲·三模）如圖是某款可折疊臺燈的平面示意圖，臺燈罩為一個弓形，弦，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，過P作，交所對的于點(diǎn)Q，，臺燈支架與底座垂直，，底座放在水平面上．【計算】（1）如圖1，當(dāng)時，求所在圓的半徑；【操作】將臺燈罩從圖1中的位置慢慢抬起直到所在的圓與相切，如圖2．【探究】（2）在圖2中畫出所在圓的圓心O的位置（不說理由），并求出點(diǎn)P上升的高度；（3）求點(diǎn)M經(jīng)過的路徑的長．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）所在圓的半徑為；（2）；（3）【分析】本題考查了圓中的垂徑定理、圓的切線性質(zhì)、三角函數(shù)、扇形的弧長，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用垂徑定理結(jié)合勾股定理列式計算即可；（2）找出圓心O的位置，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用三角函數(shù)即可求解；（3）在（2）中利用三角函數(shù)求出的度數(shù)，再求，利用弧長公式計算即可．【詳解】解：（1）設(shè)所在圓的圓心為點(diǎn)O，如圖，連接，，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴、、共線，設(shè)所在圓的半徑為，∴，在中，，∴，解得，∴所在圓的半徑為．（2）如圖，點(diǎn)O即為所在圓的圓心O的位置，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，即點(diǎn)P上升的高度為；（3）∵，，∴，∴點(diǎn)M經(jīng)過的路徑的長為．29．（2024·河北唐山·二模）一個工件槽的兩個底角，點(diǎn)A，B的初始高度相同，尺寸如圖1所示（單位：），將一個形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)，測得球落在槽內(nèi)的最大深度為（E為球的最低點(diǎn)）．

(1)求該鐵球的半徑；(2)如圖2，將這個工件槽的右邊升高（）后，求該平面圖中鐵球落在槽內(nèi)的弧的長度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)鐵球的半徑為(2)【分析】（1）連接，垂徑定理結(jié)合勾股定理，進(jìn)行求解即可；（2）連接過點(diǎn)作，勾股定理求出的長，進(jìn)而求出，得到，進(jìn)而求出，再利用弧長公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：連接，交于點(diǎn)，

由題意，得：，∴，設(shè)鐵球的半徑為，則：，，由勾股定理，得：，即：，解得：；∴鐵球的半徑為；（2）連接過點(diǎn)作，則：，，

在中，由勾股定理，得：，∴，由（1）知：，∴，∴，∴，∴，∴弧的長度為．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求弧長等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．30．（2024·河北邯鄲·二模）如圖1，水車是一種利用水流動力進(jìn)行灌溉的裝置，由立式水輪、竹筒、支撐架和水槽等部件組成．水車的示意圖如圖2，水車（看成）的半徑是，水面（看成直線）與交于A，B兩點(diǎn)，水車的軸心O到的距離為，水車上均勻分布著若干個竹筒，且水車以每秒的速度逆時針轉(zhuǎn)動，如果把一個竹筒看作圓上一點(diǎn)P，從竹筒P剛露出水面開始計時，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，解決下列問題：(1)求的長以及扇形的面積；（結(jié)果保留）(2)當(dāng)時，求點(diǎn)P到直線的距離；(3)若接水槽所在的直線是的切線，且與射線交于點(diǎn)M，，當(dāng)竹筒P第一次恰好在所在直線上時，求t的值．【答案】(1)，扇形的面積為(2)(3)42秒【分析】（1）由勾股定理可求，然后利用垂徑定理可得的長；求出，然后利用扇形面積公式計算即可；（2）連接，過點(diǎn)P作，垂足為D，根據(jù)題意得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，從而求出的度數(shù)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答；（3）延長交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為最高點(diǎn)，可知當(dāng)點(diǎn)P在上，此時點(diǎn)P是切點(diǎn)，連接，則，然后分在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的度數(shù)，最后利用平角定義進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）∵在中，，，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴扇形的面積．（2）連接，過點(diǎn)P作，垂足為D，由題意得：，在中，，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴3秒后，點(diǎn)P到直線的距離是；（3）延長交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為最高點(diǎn)，∵點(diǎn)P在上，且與相切，∴當(dāng)點(diǎn)P在上，此時點(diǎn)P是切點(diǎn)，連接，則，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴秒，∴當(dāng)竹筒P第一次恰好在所在直線上時，t的值為42秒．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，以及扇形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．31．（2024·河北邯鄲·二模）雨過天晴，人們常看到天空中出現(xiàn)彩虹，它是由陽光照射到空中彌漫的水珠上時出現(xiàn)的現(xiàn)象．在說明這個現(xiàn)象時，需要分析光線射入水珠后的光路．已知：一細(xì)束光線射入水珠，水珠可視為一個半徑為的球，球心到入射光線的垂直距離為，折射光線．（參考數(shù)據(jù)：，）

(1)圓心到折線的距離；(2)求光線與折線所夾的劣弧的長．(3)若這條光線在第一次射出水珠的線路與水珠所在的相切，請直接寫出光線與所在直線所夾的銳角的度數(shù)．【答案】(1)圓心到折線的距離為(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，即可求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，依題意，，勾股定理求得，進(jìn)而得出，，根據(jù)圓周角定理得出，進(jìn)而根據(jù)弧長公式，即可求解．（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（2）可得，則，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵∴又∴，即圓心到折線的距離為（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

依題意，∴在中，，∵，∴，∴∴∴（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)

由（2）可得，則∴∴又∵是的切線∴∴即光線與所在直線所夾的銳角的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，求弧長，切線的性質(zhì)，解直角三角形；熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．32．（2024·河北滄州·二模）如圖1、圖2，半圓O的直徑，的長．作于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)D．(1)①求的大小；②求弦的長；(2)如圖2，過點(diǎn)C作半圓O的切線．請直接寫出點(diǎn)D到切線的距離．【答案】(1)①；②；(2)3．【分析】此題考查了弧長公式，圓周角定理，垂徑定理，銳角三角函數(shù)：（1）①根據(jù)弧長公式求出的度數(shù)，利用圓周角定理求出的大??；②利用吹凈定理及三角函數(shù)求出的長；（2）連接，求出，證得是等邊三角形，得到，．求出．作于點(diǎn)F，利用三角函數(shù)求出答案．【詳解】（1）解：①∵半圓O的直徑，∴半圓O的半徑等于6，又∵的長，∴，解得：，∴；②∵于點(diǎn)E，∴，，又∵，∴；（2）如圖2，連接，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，．∴．作于點(diǎn)F，∴．故答案為3．33．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）李阿姨正在練習(xí)扇子舞，如圖1，她握住扇子的端點(diǎn)Q，將扇子繞點(diǎn)Q在平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)一周．佳佳認(rèn)真觀察扇子的運(yùn)動，畫出示意圖（圖2），研究其中的數(shù)學(xué)問題．經(jīng)測量可得，，扇形從與重合的狀態(tài)開始繞點(diǎn)Q逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．(1)當(dāng)點(diǎn)落在弧上時，求的度數(shù)，并判斷點(diǎn)O是否在直線上；(2)當(dāng)所在直線與扇形第一次相切時，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑的長；(3)連接，當(dāng)扇形轉(zhuǎn)動一周時，求的取值范圍．【答案】(1)，在(2)(3)【分析】（1）連接，可證得為等邊三角形，得，再結(jié)合，即可求解；（2）由切線的性質(zhì)可知，，再根據(jù)弧長公式即可求解；（3）由題意可知當(dāng)扇形旋轉(zhuǎn)一周時，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)Q為圓心，的長為半徑的一個圓，向兩側(cè)延長，分別交大圓Q于點(diǎn)A，B，可知，的長分別為的最小值和最大值．連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，再解直角三角形求得的長度即可求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)O在直線上，理由如下：如圖1，連接，為等邊三角形，，，∴點(diǎn)O在直線上；（2）當(dāng)扇形的半徑所在直線與扇形第一次相切時，如圖2，則，；∴點(diǎn)經(jīng)過的路徑的長為；（3）根據(jù)題意可知旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)Q，為定值，∴當(dāng)扇形旋轉(zhuǎn)一周時，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)Q為圓心，的長為半徑的一個圓．如圖3，向兩側(cè)延長，分別交大圓Q于點(diǎn)A，B，∴，的長分別為的最小值和最大值．連接，如圖4，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，∴的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、特殊銳角三角函數(shù)值、圓的切線、弧長公式，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．34．（2024·河北石家莊·二模）如圖1，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上做往返運(yùn)動，由到的速度為，返回時速度為，動點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線運(yùn)動，在邊上的速度為，在邊上的速度為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動.當(dāng)運(yùn)動時間為時，以線段為直徑作.(1)時，點(diǎn)C與的位置關(guān)系是________；(2)點(diǎn)在上時，與的另一交點(diǎn)為.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時，求弧的長度（保留）；②如圖3，當(dāng)時，求的值；③直接寫出為何值時，與邊或相切.【答案】(1)點(diǎn)在上.(2)①②③3或【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長、勾股定理及圓周角定理推論的應(yīng)用，（1）求出，確定當(dāng)時，P在上，Q在上，從而得出結(jié)論；（2）①求出即可求出弧長；②證出從而列出方程并解方程即可解決；③分兩種情況：當(dāng)與相切時或當(dāng)與相切時，分別求出即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，點(diǎn)從C到A的時間為，點(diǎn)從B到C的時間為，當(dāng)時，P在上，Q在上，為直徑，，點(diǎn)在上；（2）①當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)P恰好運(yùn)動到點(diǎn)C，連接，為直徑，，，，，，的長度為；②當(dāng)時，，，設(shè)與交于點(diǎn)N，連接，為直徑，，，，，解得：；③如圖2所示，當(dāng)與相切時，此時，，如圖4所示，當(dāng)與相切時，此時，，，，，，在中，，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，又符合題意，綜上所述，為3或時，與邊或相切．35．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，O是的中點(diǎn)，D是線段上一點(diǎn)，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)，得到扇形．(1)如圖1，若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，①判斷：點(diǎn)C上（填“在”或“不在”）；②求A，E兩點(diǎn)間的距離．(2)如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)G，若于點(diǎn)O，求陰影部分的面積；(3)當(dāng)扇形所在圓與的邊相切時，求的長．【答案】(1)①在②10(2)(3)或【分析】（1）①根據(jù)，可判斷：點(diǎn)C在上．②根據(jù)，，，得到，結(jié)合O是的中點(diǎn)，得到，結(jié)合得到，從而判定是等邊三角形，即可計算；（2）根據(jù)，，，得得到，根據(jù)得到，從而得到，利用扇形面積公式計算解答即可；（3）分扇形所在圓與邊相切，求的長即可．【詳解】（1）∵O是的中點(diǎn)，，∴，∴點(diǎn)C在上．故答案為：在．②∵，，，∴，，∵O是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；（2）∵，，，∴，，∴，∵，，∴∴，∵，∴，∴，∴．（3）當(dāng)所在的圓與相切于點(diǎn)時，則，∵，，∴，∴，∵，∴的長為；當(dāng)所在的圓與相切于點(diǎn)時，則，∵，，∴，∴，∵，∴的長為；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，切線的性質(zhì)，弧長公式，扇形面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)，切線性質(zhì)，弧長及其扇形的面積是解題的關(guān)鍵．36．（2024·河北唐山·二模）如圖，在正方形中，，以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，交于點(diǎn)E，P是上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)Q，連接，．(1)連接，求證：；(2)當(dāng)與相切于正方形外部時，求線段被所截弦的長；(3)當(dāng)時，求劣弧的長度．【答案】(1)見解析(2)(3)劣弧的長度為【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，（1）直接證明即可證明結(jié)論；（2）設(shè)與交于點(diǎn)F，連接，證明，根據(jù)勾股定理求出即可；（3）作交延長線于點(diǎn)H，設(shè)，則，在中，，列方程并求出，進(jìn)而求出，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖：在正方形中，，，，，；（2）設(shè)與交于點(diǎn)F，連接，與相切于點(diǎn)P，在中，；（3）如下圖，作交延長線于點(diǎn)H，設(shè)，則，在中，，，在中，，，，解得：，劣弧的長度．37．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖1，平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動，以為圓心，為半徑的與對角線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)．(1)當(dāng)為中點(diǎn)時，求的長；(2)①如圖2，當(dāng)與邊相切于點(diǎn)時，的長為__________；②當(dāng)時，通過計算比較弦和的大小關(guān)系；(3)當(dāng)與平行四邊形的邊恰好有一個公共點(diǎn)時，直接寫出的值或取值范圍__________．【答案】(1)3(2)①，②弦長大于的長．(3)或．【分析】本題考查了切線的判定、直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，解直角三角形求出，在直角三角形中求出即可解答；（2）①當(dāng)與邊相切于點(diǎn)時，則，即，可得，繼而由列方程求出；②連接，，分別求出，，進(jìn)而求出，，再比較大小即可；（3）分當(dāng)與相切時，點(diǎn)在圓內(nèi)，兩種情況討論，畫出圖形求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，，，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵在平行四邊形中，，∴，∵是直徑，∴，∴，∴（2）解：①連接，當(dāng)與邊相切于點(diǎn)時，則，即，∵，∴，∴，∵，又∵，，∴，∴，②連接，，∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（3）①當(dāng)與相切時，設(shè)切點(diǎn)為，如圖，由上述結(jié)果可知，，，∴，，即當(dāng)，與相切，與平行四邊形的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)為1，②過點(diǎn)，如圖，與平行四邊形的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)為，∵在平行四邊形中，，∴，∴是直徑，此時，當(dāng)時，點(diǎn)在圓內(nèi)，與平行四邊形的邊的公共點(diǎn)的個數(shù)為1，綜上所述，的值的取值范圍是或．38．（2024·河北石家莊·二模）如圖①，垂直平分線段，，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，當(dāng)A，D，O三點(diǎn)共線時，連接交于點(diǎn)，此時，如圖②將扇形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到扇形．(1)求證：；(2)①當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；②連接，若，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)①相切，理由見解析；②或【分析】本題主要考查切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，弧長公式：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)證明可得答案；（2）①由得，即可得到答案；②分兩種情況，由弧長公式計算可得結(jié)果【詳解】（1）解：垂直平分線段，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，；（2）解：①相切．理由如下：當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時，與相切．由得，是的半徑，與相切：②垂直平分線段，，，；如解圖①，，，，的長為；如解圖②，，，，的長為．綜上所述，的長為或．39．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）是半圓O的直徑，，C為弧上的一個動點(diǎn)．(1)連接，，如圖1，求陰影部分面積和的最小值（結(jié)果保留π）；(2)如圖2，在半圓O的右側(cè)有一，點(diǎn)P在射線上，，，，當(dāng)與半圓O切于點(diǎn)Q時，求點(diǎn)H到射線的距離；(3)如圖3，在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，將半圓O沿折疊，弧與交于點(diǎn)D，連接．若，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查圓的綜合，勾股定理，三角形的相似，圓內(nèi)接四邊形的知識；解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．（1）設(shè)，，根據(jù)可求出，利用求出，然后利用不等式的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)作于，連接，利用勾股定理求出，證明，得出，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)在弧上的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，，，利用三角形內(nèi)角和定理求出，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，利用折疊的性質(zhì)求出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；【詳解】（1）解：設(shè)，，是半圓的直徑，，，，，即，，即，陰影部分面積和的最小值為；（2）過點(diǎn)作于，連接，是切線，，，，，，，∴，，，即，，故點(diǎn)H到射線AB的距離為；（3）如圖，設(shè)點(diǎn)在弧上的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，，，，，，，折疊，，；40．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖1和圖2，中，，，，點(diǎn)D在射線上，過點(diǎn)B的切于點(diǎn)D，交直線于另一點(diǎn)E，連接，設(shè)．

(1)如圖1，當(dāng)圓心O在邊上時，求的大小以及的長度；(2)如圖2，當(dāng)D在線段延長線上，且時，求x的值；(3)當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合時：①求圓心O到直線的距離h（用含x的式子表示）；②當(dāng)時，直接寫出x的值．【答案】(1)，(2)(3)①或；②【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理求得是等邊三角形，證得，求得，然后解直角三角形即可求得的長度；（2）作于點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)結(jié)合垂徑定理求得，再利用三角函數(shù)的定義即可求解；（3）①分當(dāng)D在線段延長線上和D在線段上時，兩種情況討論，同（2）求得，利用正切函數(shù)的定義即可求解；②由，得，推出，據(jù)此列式計算即可求解．【詳解】（1）解：連接，

∵是的切線，∴，∵是的直徑，∴，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：連接，，作于點(diǎn)，

∴，，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）解：①當(dāng)D在線段延長線上時，由（2）得，∴，∵，，，，，∴，∵圓心O到直線的距離h，∴，∴，∴；當(dāng)D在線段上時，

同理，∴，∵，，，，，∴，∵圓心O到直線的距離h，∴，∴，∴；綜上，圓心O到直線的距離或；②∵，∴，

由（2）得，∴，∴，∵，，，，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等角的余角相等，垂徑定理，勾股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．41．（2024·河北石家莊·三模）如圖，點(diǎn)B為線段上一點(diǎn)，，，過B作于B，且，以為鄰邊作矩形，將線段繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，優(yōu)弧交于N，交于M，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．(1)若扇形的面積為，則________；(2)連接，判斷與扇形所在圓的位置關(guān)系，并說明理由；(3)設(shè)P為直線上一點(diǎn)，沿所在直線折疊矩形，若折疊后所在的直線與扇形所在的相切，直接寫出的長．【答案】(1)(2)相離，見解析(3)的長為或或或【分析】（1）由題意知，，可求，進(jìn)而可求；（2）如圖1，連接，作于，則，由勾股定理得，，由，即，可求，由，可得與扇形所在圓相離；（3）①當(dāng)折疊后所在的直線與扇形所在的圓B相切時，切點(diǎn)為Q，如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在的左側(cè)時，連接，則，由，可得，則，，，進(jìn)而可求；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在右側(cè)時，同理可得：，，則，進(jìn)而可求．③當(dāng)與圓相切時，如圖3，由折疊知：，同理，，，，則，進(jìn)而可求；④當(dāng)在左側(cè)與圓相切時，如圖4，同理可得：，．【詳解】（1）解：由題意知，，解得，，∴，故答案為：；（2）解：相離，理由如下；如圖1，連接，作于，∵，∴，∵，，∴，由勾股定理得，，∴，即，解得，，∵，∴與扇形所在圓相離；（3）解：①當(dāng)折疊后所在的直線與扇形所在的圓B相切時，切點(diǎn)為Q，如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在的左側(cè)時，連接，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在右側(cè)時，同理可得：，∴，∴，∴，∴．③當(dāng)與圓相切時，如圖3，由折疊知：，同理，，又∵，∴，∴，∴；④當(dāng)在左側(cè)與圓相切時，如圖4，同理可得：，；綜上，的長為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積，勾股定理，矩形與折疊，直線與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，正弦，正切等知識．熟練掌握扇形面積，勾股定理，矩形與折疊，直線與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，正弦，正切是解題的關(guān)鍵．42．（2024·河北唐山·二模）已知所在圓的直徑為，圓心為為上一點(diǎn)，相交于為的切線，與的延長線交于．(1)求的度數(shù)．(2)如圖1，若點(diǎn)為的中點(diǎn)．①當(dāng)時，的長為_________；②求證：．(3)如圖2，若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)①；②證明見解析(3)；理由見解析【分析】（1）連接，如圖所示，由直徑所對的圓周角是直角，結(jié)合題中條件及圓的性質(zhì)得到是等邊三角形，即可得到答案；（2）①連接，如圖所示，由（1）中是等邊三角形，得到；再由點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可得，求出所對的圓周角，結(jié)合題意，根據(jù)弧長公式代值求解即可得到答案；②根據(jù)切線性質(zhì)及（1）中是等邊三角形，得到，再由等腰直角三角形性質(zhì)等量代換得到，最后由等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得到答案；（3）連接并延長，交于點(diǎn)，如圖所示，由切線性質(zhì)得到，再由垂徑定理得到，結(jié)合圓周角定理及對頂角，求出，從而由平行線的判定即可得證．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵為直徑，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴；（2）解：①連接，如圖所示：∵為直徑，，由（1）知是等邊三角形，即，為直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，的長為，故答案為：；②證明：∵為的切線，∴，∵，∴，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，∴，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：連接并延長，交于點(diǎn)，如圖所示：∵為的切線，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及直徑所對的圓周角是直角、等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、圓周角定理、弧長公式、切線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握相關(guān)幾何判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用，根據(jù)題意作出恰當(dāng)輔助線是解決問題的關(guān)鍵．43．（2024·河北廊坊·二模）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，淇淇以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．(1)操作判斷淇淇將兩個完全相同的矩形紙片和拼成“”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為．(2)深入探究淇淇在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，探究一：當(dāng)點(diǎn)恰好落在的延長線上時，設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點(diǎn)，如圖③．求線段長度的最大值和最小值．【答案】(1)等腰直角三角形；(2)探究一：；探究二：的最大值為，最小值為．【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推導(dǎo)出，即可判斷出是等腰直角三角形，（2）探究一：證明，可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面積；探究二：連接，由勾股定理得，進(jìn)而根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得解．【詳解】（1）解：兩個完全相同的矩形紙片和，，是等腰三角形，，．，，，∵，∴，∴，，，，是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）探究一：，，，，，，，，，，，在中，，，解得，，的面積；探究二：連接，

∵保持矩形不動的條件下，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動，，，∵，∴的最大值為，最小值為，∵取的中點(diǎn)，∴的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，圓的認(rèn)識，三角形的三邊的關(guān)系的應(yīng)用，能夠確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．44．（2024·河北邯鄲·三模）如圖1，在鋼管的兩側(cè)分別放置三角形墊塊可以將鋼管架在水平面上方．鋼管的底面截面如圖中所示，與兩個墊塊分別相切于點(diǎn)K．C，墊塊．和點(diǎn)K的位置不變，點(diǎn)C的位置隨的度數(shù)的改變而變化，且始終保持圓心O到水平面的距離不變，設(shè)當(dāng)點(diǎn)A，B重合時，點(diǎn)B到達(dá)了最左端的位置，已知．的半徑為4．(1)若在K，C之間的劣弧長為求α的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)K，C到水平面的豎直高度一樣時，求點(diǎn)A，B之間的距離；(3)當(dāng)點(diǎn)A，B重合時，如圖2，求點(diǎn)C到的距離．【答案】(1)(2)(3)2【分析】本題考查了圓的綜合練習(xí)題，弧的長度公式，五邊形內(nèi)角和，解直角三角形，（1）連接，，由題意知，得到設(shè)劣弧所對的圓心角為長為解得然后在五邊形中，求出，再求出，最后求出；（2）連接，得到，再求出，過點(diǎn)K作于點(diǎn)G，在中，求出，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，求出，在中，求出最后根據(jù)對稱性，（3）當(dāng)點(diǎn)A，B重合時，在中，，求出，求出，利用，得到平分，再求出，再利用，求出，從而求出點(diǎn)C到的距離為2．【詳解】（1）解：連接，，由題意知．，設(shè)劣弧所對的圓心角為解得在五邊形中，，∴，；（2）當(dāng)點(diǎn)K，C到地面的豎直高度一樣時，連接，可知，，，過點(diǎn)K作于點(diǎn)G，在中，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，，在中，∴根據(jù)對稱性，（3）當(dāng)點(diǎn)A，B重合時，在中，，，∵，且，∴平分，∴，且，∴，∴點(diǎn)C到的距離為2．45．（2024·河北邢臺·三模）如圖1和圖2，的半徑為6，是直徑，弦于點(diǎn)M，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)F，交的切線于點(diǎn)G，連接，．(1)求證：；(2)如圖1，若，經(jīng)過圓心O，求的長；(3)如圖2，若點(diǎn)E是中點(diǎn)．①判斷與的大小，并說明理由；②當(dāng)，的長．【答案】(1)見解析(2)(3)①相等，見解析；②3【分析】（1）由是切線，可得，由，可證．（2）由題意知，，由題意可得，由勾股定理得，，則，，，根據(jù)的長為，求解作答即可；（3）①如圖5，連接，則，，，，由點(diǎn)E是中點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得；②如圖5，連接，由①可得，．則，設(shè)．則．，由勾股定理得，，即，計算求解，進(jìn)而可求．【詳解】（1）證明：∵是切線，∴，又∵，∴．（2）解：∵，，∴，由題意可得．由勾股定理得，．∴，∴．∴．∴的長為，∴的長為．（3）①解：，理由如下；如圖5，連接，∴，∵是直徑，∴．∵，∴．∴．∴．∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，∴．∴．②解：如圖5，連接，由①可知，．∴，∴．設(shè)．則．．由勾股定理得，，即，解得，（舍去），∴，∴的長為3．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定，弧長，勾股定理，同弧所對的圓周角相等知識．熟練掌握切線的性質(zhì)，平行線的判定，弧長，勾股定理，同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．46．（2024·河北邯鄲·三模）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)O，E在邊上，且，，以點(diǎn)O為圓心，為半徑在其左側(cè)作半圓O，分別交于點(diǎn)G，交的延長線于點(diǎn)F．(1)半圓O的半徑為，；(2)如圖2，將半圓O繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)（），點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)M為半圓上一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，求點(diǎn)M與線段之間的最短距離；②當(dāng)半圓交于P，R兩點(diǎn)時，若的長為，求此時半圓與正方形重疊部分的面積；③當(dāng)半圓與正方形的邊相切時，設(shè)切點(diǎn)為N（異于點(diǎn)E），直接寫出的值．【答案】(1)5，6(2)①1②③或【分析】（1）連接，如圖1，先由正方形的邊長與已知線段求得半徑，再由勾股定理求得，進(jìn)而得；（2）①如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，交半圓于點(diǎn)M，反向延長交AD于Q，由三角形的中位線求得，進(jìn)而由線段和差求得即可；②由弧長公式求得的度數(shù)，再根據(jù)等邊三角形的面積公式和扇形面積公式進(jìn)行計算便可；③分兩種情況：當(dāng)半圓與正方形的邊相切時；當(dāng)半圓與正方形的邊相切時，分別求出結(jié)果便可．【詳解】（1）解：連接，如圖1，∵正方形中，，∴，．∵，，∴，∴半圓的半徑為，，∴；故答案為：5，6；（2）①如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，交半圓于點(diǎn)M，反向延長交于點(diǎn)Q，則．根據(jù)三點(diǎn)共線及垂線段最短可得此時點(diǎn)M到的距離最短，∵，∴四邊形是矩形，∴，．∵，∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．又∵，∴．由圖1可得，，．∴，即半圓的半徑為5，∴．即點(diǎn)M到的最短距離為1；②由①可知半圓O的半徑為5，如圖，設(shè)的度數(shù)為，由題意得，的長為，∴，∴，∴．∵，∴∴是等邊三角形，∴，∴此時半圓與正方形重疊部分的面積為；當(dāng)半圓與正方形的邊相切時，如圖4，過點(diǎn)D作，與的延長線交于點(diǎn)H，作于點(diǎn)G，則，，，，，，，，；當(dāng)半圓與正方形的邊相切時，如圖5，此時N與重合，則，，，，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，解直角三角形等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于壓軸題，利用分類思想解決問題是本題的關(guān)鍵．47．（2024·河北石家莊·三模）已知四邊形是邊長為9的正方形，點(diǎn)在射線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)位于邊的中點(diǎn)時，以為圓心，以為半徑作半圓，連接，點(diǎn)是半圓弧上任意一點(diǎn)．①點(diǎn)之間的最短距離為__________；②連接，若與相似，求的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)位于邊的延長線上，且時，以為圓心，以5為半徑作半圓，交及其延長線于點(diǎn)．現(xiàn)將半圓繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度，得到半圓，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時，求；②當(dāng)半圓與正方形的邊相切時，求圓心到邊的距離．【答案】(1)①；②的長為或(2)①；②或或【分析】（1）①連接交半圓于，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到，即、、共線時，最小，最小值等于的長，根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出的長即可得解；②求出，再分兩種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①連接，作于，則為等腰直角三角形，由題意得：，，由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出、的長，再由正切的定義計算即可得出答案；②分三種情況：當(dāng)半圓與相切時；當(dāng)半圓與相切時；當(dāng)半圓與相切時；分別求解即可得出答案．【詳解】（1）解：①連接交半圓于，如圖，∵，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到，即、、共線時，最小，最小值等于的長，∵四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)位于邊的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，即點(diǎn)之間的最短距離為；②∵四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)位于邊的中點(diǎn)，∴，，，∴，當(dāng)時，如圖，∴，即，∴；當(dāng)時，如圖，∴，即，∴，綜上所述，的長為或；（2）解：①如圖，連接，作于，∵四邊形是邊長為的正方形，∴，，∴為等腰直角三角形，由題意得：，，∴，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)半圓與相切時，是切點(diǎn)為，連接，并延長交于，如圖，∵半圓與相切，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵半圓的半徑為，∴，∴，即此時圓心到的距離是；當(dāng)半圓與相切時，設(shè)切點(diǎn)為，連接，作于，如圖：∵半圓與相切，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，即此時圓心到的距離是；當(dāng)半圓與相切時，此時切點(diǎn)記為點(diǎn)，如圖：此時圓心到的距離是；綜上所述，當(dāng)半圓與正方形的邊相切時，圓心到邊的距離為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．48