2025年新世紀(jì)版高三數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年新世紀(jì)版高三數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、命題“存在x∈R，使x2+ax-4a＜0，為假命題”是命題“-16＜a＜0”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件2、sin（-240°）的值為（）A.B.C.D.3、如圖，在圓心角為90°的扇形中以圓心．為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC與∠BOC都不大于60°的概率是（）A.B.C.D.4、設(shè)集合M={x|x2-11x+10=0}，N={y|y=lgx，x∈M}，則M∩N=（）A.{0，1}B.{0，1，10}C.{1}D.?5、命題p：“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，均有x2≤0”，則?p為（）A.存在x∈R，使得x2≥0B.對(duì)任意x∈R，均有x2≥0C.存在x∈R，使得x2＞0D.對(duì)任意x∈R，均有x2＞0評(píng)卷人得分二、填空題(共9題，共18分)6、在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB-bcosA=c，cosC=-，則tanB的值為____．7、在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2+4c2=8，sinB+2sinC=6bsinAsinC，則△ABC的面積取最大值時(shí)有a2=____．8、已知a＜0，向量=（2，a-3），=（a+2，a-1），若∥，則a=____．9、在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，則（cosA-cosC）2的值為____．10、已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)A（，4），則冪函數(shù)的解析式f（x）=____．11、（2014春?斗門區(qū)校級(jí)期末）正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)E為A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為B1B的中點(diǎn)，則AE與CF所成角的余弦值為____．12、在（x+）10的展開式中，x9項(xiàng)的系數(shù)為____．13、【題文】給出下列四個(gè)命題：

①“若則”的逆否命題是真命題；

②函數(shù)在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；

③若∨為真命題，則∧也為真命題；

④則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

其中真命題是____（填上所有真命題的代號(hào)）．14、【題文】設(shè)m、n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面；給出下列四個(gè)命題：

①若則②若則

③若則④若則

其中，正確命題的序號(hào)是______________________．評(píng)卷人得分三、判斷題(共6題，共12分)15、函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)．____（判斷對(duì)錯(cuò)）16、已知函數(shù)f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點(diǎn)p，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是（1，5）____．（判斷對(duì)錯(cuò)）17、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，則5∈A．____．18、空集沒有子集．____．19、任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集．____．20、若b=0，則函數(shù)f（x）=（2k+1）x+b在R上必為奇函數(shù)____．評(píng)卷人得分四、計(jì)算題(共4題，共16分)21、對(duì)于數(shù)列{an}，稱P（ak）=（其中k≥2，k∈N）為數(shù)列{an}的前k項(xiàng)“波動(dòng)均值”．若對(duì)任意的k≥2，k∈N，都有P（ak+1）＜P（ak），則稱數(shù)列{an}為“趨穩(wěn)數(shù)列”．

（1）若數(shù)列1；x，2為“趨穩(wěn)數(shù)列”，求x的取值范圍；

（2）已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1＞0，d＞0，其前n項(xiàng)和記為Sn，試計(jì)算：Cn2P（S2）+Cn3P（S3）++CnnP（Sn）（n≥2；n∈N）；

（3）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比q∈（0，1），求證：{bn}是“趨穩(wěn)數(shù)列”．22、在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=，將△ABC沿BD折起到△PBD的位置，若平面PBD⊥平面CBD，則三棱錐P-BCD的外接球體積為____．23、4個(gè)男生；3名女生站成一排．（均須先列式再用數(shù)字作答）

（1）某名男生不站在兩端；共有多少種不同的排法？

（2）3名女生有且只有2名女生排在一起；有多少種不同的排法？

（3）甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有2人，共有多少種不同的排法？24、（2006?浦東新區(qū)一模）某工程的工序流程圖如右圖所示（工時(shí)數(shù)單位：天），則工程總時(shí)數(shù)為____天．評(píng)卷人得分五、解答題(共3題，共6分)25、（1）請(qǐng)你分別使用綜合法和分析法證明不等式：2-＜-

（2）請(qǐng)你分別說明用綜合法和分析法證明的特點(diǎn)是什么．26、我校高一年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組共有9名學(xué)生；其中有3名男生和6名女生．在研究學(xué)習(xí)過程中，要進(jìn)行兩次匯報(bào)活動(dòng)（即開題匯報(bào)和結(jié)題匯報(bào)），每次匯報(bào)都從這9名學(xué)生中隨機(jī)選1人作為代表發(fā)言．設(shè)每人每次被選中與否均互不影響．

（Ⅰ）求兩次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言的概率；

（Ⅱ）求男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率．27、如圖；在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E．F分別是PC．PD的中點(diǎn)，PA=AB=1，BC=2．

（I）求證：EF∥平面PAB；

（II）求證：平面PAD⊥平面PDC；

（III）求二面角A-PD-B的余弦值．

評(píng)卷人得分六、作圖題(共4題，共24分)28、已知A={x|x2＜x}，B={x|x2＜logax}，且B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．29、研究下列函數(shù)的連續(xù)性；并畫出函數(shù)的圖形．

（1）f（x）=；

（2）f（x）=．30、已知f（x）=|x2-2x-3|；

（1）畫出f（x）的圖象；（作圖不需要過程）

（2）根據(jù)圖象指出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（不需要證明）31、如圖；這是一個(gè)正方體的表面展開圖，若把它再折回成正方體后，有下列命題：

①點(diǎn)H與點(diǎn)C重合；

②點(diǎn)D與點(diǎn)M與點(diǎn)R重合；

③點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合；

④點(diǎn)A與點(diǎn)S重合．

其中正確命題的序號(hào)是____．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、B【分析】【分析】求出命題的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解析】【解答】解：若“存在x∈R，使x2+ax-4a＜0為假命題；

即“任意x∈R，使x2+ax-4a≥0為真命題，即判別式△=a2+16a≤0；

解得-16≤a≤0；

∵-16≤a≤0是-16＜a＜0的必要不充分條件；

故選：B．2、D【分析】【分析】原式利用奇函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)，角度變形后，利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．【解析】【解答】解：sin（-240°）=-sin240°=-sin（180°+60°）=sin60°=；

故選：D．3、B【分析】【分析】本題利用幾何概型求解．只須求出滿足：使使得∠AOC與∠BOC都不大于60°，再將求得的角度值與整個(gè)扇形的角度求比值即得．【解析】【解答】解：選角度作為幾何概型的測(cè)度；

則使得∠AOC與∠BOC都不大于60°的概率是：P==；

故選B．4、C【分析】【分析】求出M中方程的解確定出M，求出N中y的值確定出N，找出兩集合的交集即可．【解析】【解答】解：由M中方程變形得：（x-1）（x-10）=0；

解得：x=1或x=10；即M={1，10}；

由N中y=lgx；x∈M，得到y(tǒng)=0，1，即N={0，1}；

則M∩N={1}；

故選：C．5、C【分析】【分析】命題“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，均有x2≥0”是全稱命題，其否定應(yīng)為特稱命題，注意量詞和不等號(hào)的變化．【解析】【解答】解：命題“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，均有x2≥0”是全稱命題；

否定時(shí)將量詞對(duì)任意的x∈R變?yōu)榇嬖趯?shí)數(shù)x；再將不等號(hào)≥變?yōu)椋技纯桑?/p>

∴命題p：“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，均有x2≥0”，則?p為：存在x∈R，使得x2＜0．

故選C．二、填空題(共9題，共18分)6、略

【分析】【分析】acosB-bcosA=c，利用正弦定理、和差公式可得：tanA=2tanB．由cosC=-，C∈（0，π），可得sinC=，tanC=-3．利用-3=tanC=-tan（A+B），代入解出即可得出．【解析】【解答】解：∵acosB-bcosA=c；

∴sinAcosB-sinBcosA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB；

∴tanA=2tanB．

∵cosC=-；C∈（0，π）；

∴sinC=；tanC=-3．

∴-3=tanC=-tan（A+B）=-=-；

化為：2tan2B+tanB-1=0；B為銳角；

解得tanB=．

故答案為：．7、略

【分析】【分析】設(shè)三角形面積為S，由正弦定理可得b+2c=6absinC=12S，解得S=，由b2+4c2=8≥4bc，解得：bc≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)等號(hào)成立，可得S≤，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)等號(hào)成立，解得b，c，利用三角形面積公式可求sinA的值，求得cosA，利用余弦定理即可求解．【解析】【解答】解：設(shè)三角形面積為S，∵sinB+2sinC=6bsinAsinC，且由正弦定理可得：；

∴b+2c=6absinC=12S，解得：S====；

∵b2+4c2=8≥4bc，解得：bc≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)等號(hào)成立；

∴S≤，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)等號(hào)成立；

∴當(dāng)b=2c時(shí)，b2+4c2=8，解得：b=2，c=1，S==bcsinA=sinA，解得：sinA=；

∴由三角形為銳角三角形，解得：cosA==；

∴此時(shí)，a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1×=．

故答案為：．8、略

【分析】【分析】直接由向量共線的坐標(biāo)表示列式求得a的值．【解析】【解答】解：∵=（2，a-3），=（a+2；a-1）；

由∥；得2（a-1）-（a+2）（a-3）=0；

解得：a=-1或a=4．

∵a＜0；

∴a=-1．

故答案為：-1．9、略

【分析】【分析】由題意可得a+c=2b，由正弦定理可得，進(jìn)而由三角函數(shù)公式可得．【解析】【解答】解：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a+c=2b；

由正弦定理可得；

∵（cosA-cosC）2+（sinA+sinC）2=2-2cos（A+C）；

∴；

故答案為：．10、略

【分析】【分析】設(shè)出冪函數(shù)f（x）的解析式，由圖象過點(diǎn)A，求出f（x）的解析式．【解析】【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xa；

它的圖象過點(diǎn)A（；4）；

∴=4；

解得a=-2；

∴f（x）=x-2．

故答案為：x-2．11、略

【分析】【分析】通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可得出．【解析】【解答】解：如圖所示，

取正方體的棱長(zhǎng)為2．

A（2；0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F(xiàn)（2，2，1）．

∴=（0，1，2），=（2；0，1）．

∴===．

∴AE與CF所成角的余弦值為．

故答案為：．12、略

【分析】【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于9，求得r的值，即可求得展開式中的x9項(xiàng)的系數(shù)．【解析】【解答】解：（x+）10的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?x10-r?=?；

令10-=9，求得r=2，故x9項(xiàng)的系數(shù)為=45；

故答案為：45．13、略

【分析】【解析】

試題分析：①為真命題．因?yàn)樵}“若則”為真命題，根據(jù)原命題與它的逆否命題等價(jià)得它的逆否命題也是真命題；②為假命題．由零點(diǎn)存在定理得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)；③為假命題．因?yàn)楫?dāng)一真另一假時(shí)，為真命題，為假命題；④為真命題．要使函數(shù)的值域?yàn)楸仨毷梗C上①④正確．

考點(diǎn)：1．命題真假的判斷；2．復(fù)合命題3．零點(diǎn)存在定理；4．對(duì)數(shù)函數(shù)的值域．【解析】【答案】①④．14、略

【分析】【解析】由線面垂直的性質(zhì)易得命題①正確，∵∴又∴故命題②正確，平行于同一個(gè)平面的兩條直線既可以平行、相交，也可以異面，故命題③錯(cuò)誤，對(duì)于正方體中每一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面，滿足但是故命題④錯(cuò)誤【解析】【答案】①和②三、判斷題(共6題，共12分)15、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù)；

故答案為：×16、√【分析】【分析】已知函數(shù)f（x）=ax-1+4，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點(diǎn)．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1；5）；

故答案為：√17、×【分析】【分析】判斷5與集合A的關(guān)系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5?Z；所以5∈A錯(cuò)誤．

故答案為：×18、×【分析】【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根據(jù)題意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；則原命題錯(cuò)誤；

故答案為：×．19、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個(gè)子集，故任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集錯(cuò)誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個(gè)子集，故錯(cuò)誤．

故答案為：×．20、√【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可作出判斷．【解析】【解答】解：當(dāng)b=0時(shí)；f（x）=（2k+1）x；

定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)．

故答案為：√．四、計(jì)算題(共4題，共16分)21、略

【分析】【分析】（1）由題意；從而解絕對(duì)值不等式即可；

（2）由a1＞0，d＞0可化簡(jiǎn)為；從而得到=；從而解得．

（3），從而判斷大小以去絕對(duì)值號(hào)，化簡(jiǎn)可得，從而化為k（1+q+q2++qk-2）＞（k-1）（1+q+q2++qk-2+qk-1），從而證明．【解析】【解答】解：（1）由題意，；

即|1-x|＞|x-2|；

解得，．

（2）=；

∵a1＞0；d＞0；

∴an=a1+（n-1）d＞0；

∴；

∴=

=

=；

（3）證明：由已知，設(shè)；

因b1＞0且0＜q＜1，故對(duì)任意的k≥2，k∈N*，都有bk-1＞bk；

∴對(duì)

=

；

因0＜q＜1；

∴qi＞qk-1（i＜k-1）；

∴1＞qk-1，q＞qk-1，q2＞qk-1，，qk-2＞qk-1；

∴1+q+q2++qk-2＞（k-1）qk-1；

∴k（1+q+q2++qk-2）＞（k-1）（1+q+q2++qk-2+qk-1）

∴

∴；

即對(duì)任意的k≥2，k∈N*，都有P（bk）＞P（bk+1），故{bn}是“趨穩(wěn)數(shù)列”．22、略

【分析】【分析】根據(jù)已知，求出三棱錐P-BCD的外接球半徑，代入球的體積公式，可得答案．【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=；

∴BD=；AC=3；

即△BCD，△BAD是邊長(zhǎng)為的等邊三角形；其外接圓半徑為1；

將△ABC沿BD折起到△PBD的位置；且平面PBD⊥平面CBD；

取BD中點(diǎn)E，連接PE，CE，則∠PEC=，PE=CE=；

則；

解得：R=；

故三棱錐P-BCD的外接球體積V==；

故答案為：23、略

【分析】【分析】（1）分2步進(jìn)行；首先分析這個(gè)男生，易得其有5個(gè)位置可選，其他人安排在剩余的6個(gè)位置，可得其排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案；

（2）分3步進(jìn)行，先排4個(gè)男生，再?gòu)?名女生中取出2名，同時(shí)考慮其順序，最后將兩組女生安排在4個(gè)男生的5個(gè)空位中，有A52種排法；根據(jù)排列；組合公式可得每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案；

（3）分3步進(jìn)行，先分析甲乙，考慮其順序，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中，選出2人，放在甲乙中間，最后將4人看成一個(gè)元素，與其他3人全排列，根據(jù)排列、組合公式可得每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意；某名男生不站在兩端，則其有5個(gè)位置可選；

其他人安排在剩余的6個(gè)位置，有A66種情況；

則共有5×A66=3600種；

（2）根據(jù)題意，先排4個(gè)男生，有A44種情況；排好后有5個(gè)空位；

從3名女生中取出2名，有C32種取法，考慮其順序，有2C32種情況；

將兩組女生安排在5個(gè)空位中，有A52種排法；

則共有A44×2C32×A52=2880種排法；

（3）先排甲乙；有2種情況；

從剩余的5人中，選出2人，放在甲乙中間，有2C52種情況；

將4人看成一個(gè)元素，與其他3人全排列，有A44種情況；

則共有2×2C52×A44=960種排法．24、14【分析】【分析】仔細(xì)觀察工序流程圖，尋找關(guān)鍵路線，由關(guān)鍵路線是B→CC→F→H，知需工時(shí)1+33+4+6=14天．【解析】【解答】解：由題設(shè)關(guān)鍵路線是B→C→F→H．

需工時(shí)1+33+4+6=14．

即工程總時(shí)數(shù)為14天．

故答案為：14．五、解答題(共3題，共6分)25、略

【分析】【分析】（1）①綜合法從2＞，＞入手，可得，繼而；整理即得結(jié)論成立；

②要證明；只需證明使之成立的充分條件即可，直至40＜42，顯然成立（充分條件找到）從而肯定結(jié)論成立．

（2）綜合法證明的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч保治龇ㄗC明的特點(diǎn)是“執(zhí)果索因”．【解析】【解答】證明：（1）①用綜合法證：

∵，，∴；

∴；又∵，，∴．

②用分析法證明如下：

要證明，只需證明，；

只需證明即；

只需證明；即40＜42，這顯然成立．

這就證明了．

（2）用綜合法證明的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?；即從命題的條件出發(fā)，利用定義；公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．

用分析法證明的特點(diǎn)是“執(zhí)果索因”．即從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等．26、略

【分析】【分析】（1）記“2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言”為事件A，我們要求A發(fā)生的概率，因每人每次被選中與否均互不影響．所以甲第一次被選中的概率是，第二次被選中的概率也是；根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得結(jié)果．

（2）記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，事件B包括以下兩個(gè)互斥事件：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次和男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．【解析】【解答】解：（Ⅰ）記“2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言”為事件A

由題意，得事件A的概率P（A）==；

即2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言的概率為．

（Ⅱ）由題意，每次匯報(bào)時(shí)，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為1-．

記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B；

由題意，事件B包括以下兩個(gè)互斥事件：1事件B1：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次；其概率為。

P（B1）==；

2事件B2：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次；其概率為。

P（B2）==；

∴男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為P（B）=P（B1）+P（B2）=．27、略

【分析】

以A為原點(diǎn)；AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系；

則A（0；0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1）

∴E=（1，），F(xiàn)（0，1，）；

∴=（-0，0），=（1，0，-1），=（0，2，-1），=（0；0，1）；

=（0，2，0），=（1，0，0），=（1；0，0）；

（Ⅰ）∵=（-0，0），=（1；0，0）；

∴∥

∴EF∥AB；

又AB?平面PAB；EF?平面PAB；

∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）∵?=（1；0，0）?（0，0，1）=0；

?=（0；2，0）?（1，0，0）=0；

∴⊥⊥即AP⊥DC，AD⊥DC．

又∵AP∩AD=A；AP?平面PAD，AD?平面PAD；

∴DC⊥平面PAD．∵DC?平面PDC；

∴平面PAD⊥平面PDC．

（Ⅲ）設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量則。

∴即解得平面APC的一個(gè)法向量．

而平面APD的一個(gè)