重難點突破：專題05 勾股定理的逆定理（解析版）

專題05勾股定理的逆定理重點勾股定理的逆定理及其實際應(yīng)用難點勾股定理逆定理的證明易錯運用勾股定理的逆定理時，錯認(rèn)最長邊一、互逆命題與互逆定理1．判斷一個命題是真命題需要推理證明，判斷一個命題是假命題只需舉出一個反例即可；2．正確寫出一個命題的逆命題的關(guān)鍵是能夠正確區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論．【例1】下列定理中，沒有逆定理的是（

）．A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補B．線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等C．等腰三角形兩個底角相等D．同角的余角相等【答案】D【解析】解：A、逆命題是：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，是真命題，故本選項不符合題意；B、逆命題是：到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，是真命題，故本選項不符合題意；C、逆命題是：如果三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，是真命題，故本選項不符合題意；D、逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角，是假命題，故本選項符合題意．故選：D．【例2】下列命題的逆命題是假命題的是（）A．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行B．對于有理數(shù)a，如果3a＞0，那么a＞0C．有兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形D．在任何一個直角三角形中，都沒有鈍角【答案】D【解析】解：A、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是真命題，不符合題意；B、對于有理數(shù)a，如果3a＞0，那么a＞0的逆命題為：對于有理數(shù)a，如果a＞0，則3a＞0，是真命題，不符合題意；C、有兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形的逆命題為：直角三角形有兩個內(nèi)角互余的，是真命題，不符合題意；D、在任何一個直角三角形中，都沒有鈍角的逆命題為：沒有鈍角的三角形是直角三角形，是假命題，符合題意；故選D．二、勾股定理的逆定理勾股定理與其逆定理的區(qū)別：（1）勾股定理和勾股定理的逆定理的題設(shè)和結(jié)論相反；（2）勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，而其逆定理是直角三角形的判定．【例3】如果的三邊分別為，且滿足，則的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】解：，，，，又，，為直角三角形，，故選：A．【例4】如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設(shè)計的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，6，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4【答案】C【解析】解：當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時，圍成的直角三角形的面積是；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，4，6時，圍成的直角三角形的面積是；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，3，6時，圍成的三角形面積是；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時，圍成的直角三角形的面積是，∵，因為當(dāng)選取2，3，4；2，3，6；3，4，5；4，5，6；四種情況時，都不能構(gòu)成直角三角形，∴要使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是3，3，6．故選：C．三、勾股數(shù)一組數(shù)是勾股數(shù)必須同時滿足兩個條件：（1）這三個數(shù)都是正整數(shù)；（2）兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，這兩個條件缺一不可．【例5】下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8【答案】B【解析】解：A、12+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；B、32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；C、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；D、62+72≠82，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)．故選：B．【例6】下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是(

)A．1，2，3 B．8，15，17 C．7，24，25 D．9，12，15【答案】A【解析】A、12+22≠32，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故選項符合題意；B、82+152=172，能構(gòu)成勾股數(shù)，故選項不符合題意；C、72+242=252，能構(gòu)成勾股數(shù)，故選項不符合題意；D、92+122=152，能構(gòu)成勾股數(shù)，故選項不符合題意．故選：A．一、單選題1．下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．1，2， B．5，4，3 C．17，8，15 D．2，3，4【答案】D【解析】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合題意；B、32+42=52，故是直角三角形，不符合題意；C、82+152=172，故是直角三角形，不符合題意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合題意；故選：D．2．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中（每個小正方形邊長均為1），點A，B，C在格點上，連接AB，AC，BC，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】B【解析】解：由題意得：，，，∵，∴，∴∠BAC＝90°，∴為直角三角形．故選：B．3．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)2＋b2－c2＝0 B．a(chǎn)∶b∶c＝3∶4∶5C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C【答案】C【解析】解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合題意；B.可設(shè)，，，則，能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C.，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合題意；D.，，故是直角三角形，不符合題意．故選：C．4．在下列由線段a，b，c的長為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．a(chǎn)=6，b=8，c=10 B．a(chǎn)=4，b=5，c=6C．a(chǎn)=1，b=，c=2 D．a(chǎn)=8，b=15，c=17【答案】B【解析】解：A、，故能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B、42+52≠62，故不能構(gòu)成直角三角形，符合題意；C、，故能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、，故能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；故選：B5．在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，下面的三角形是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、三邊長分別為，由，故該三角形不是直角三角形；B、三邊長分別為，由，故該三角形不是直角三角形；C、三邊長分別為，由，故該三角形是直角三角形；D、三邊長分別為，由，故該三角形不是直角三角形；故選：C．6．如圖，在四邊形中，，，，，．則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接AC，∵，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2===8∵，AD2+AC2=8+1=9而CD2=32=9∴AD2+AC2=CD2∴∠CAD=90°，∠D+∠ACD=90°∵，∴∠BAC=∠ACB=45°∵∴∠ACD=90°-∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+（90°-）=135°-α故選D二、填空題7．已知△ABC中，AB=5，BC=8，BC邊上的中線AD=3，則AC=__________________．【答案】【解析】解：如圖，BC=8，BC邊上的中線AD=3，故答案為：58．如圖，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，BC=8cm，若將AC沿AE折疊，使得點C與AB上的點D重合，則△AEB的面積為_____cm2．【答案】15【解析】解：∵AC2+BC2=82+62=100cm2，AB2=100cm2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．由翻折不變性可知：EC=DE，AC=AD=6cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，設(shè)EC=DE=x，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，∴x2+42=(8-x)2，解得．∴DE=3，∴S△ABE=×AB×DE=×10=cm2．故答案為15．三、解答題9．如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格中的格點上，若小方格邊長為1，請你根據(jù)所學(xué)的知識解決下列問題．(1)△ABC的面積為；(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】(1)5(2)△ABC是直角三角形．理由見解析【解析】(1)解：S△ABC=4×4?×1×2?×2×4?×4×3=5，故答案為：5；(2)解：由勾股定理得：AB==，AC==，BC==5，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形．10．如圖，連接四邊形的對角線，已知，，，，．(1)求證：是直角三角形；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)證明見詳解（1）(2)【解析】(1)解：∴△ABC是直角三角形，由勾股定理得：AC2=AB2＋BC2；∴AC==2，AD2=8，CD2=4，AC2=4，AD2=AC2＋CD2,∴△ACD是直角三角形；(2)解：SABCD=S△ABC＋S△ACD，S△ABC==，S△ACD=，∴SABCD=，答：四邊形的面積是：．一、單選題1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（

）A． B．∠A+∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=3：2：1 D．【答案】D【解析】∵∴，∴能圍成直角三角形，A不符合題意；∵∠A：∠B：∠C=3：2：1，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=×180°=90°，，∴能圍成直角三角形，C不符合題意；∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，，∴能圍成直角三角形，B不符合題意；∵∴，∴不能圍成直角三角形，D符合題意；故選D．2．有五根小木棒，其長度分別為7，15，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形,其中正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，∴A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確．故選：D．3．已知的三邊分別為a、b、c，且，則的面積為（

）A．30 B．60 C．65 D．無法計算【答案】A【解析】∵的三邊分別為a、b、c，且∴∴∴∴△ABC是直角三角形，且邊c的對角∠C=90°，∴故選：A．4．下列條件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】解：①∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x，∴3x+4x+5x＝180，解得：x＝15°，∴∠C＝15°×5＝75°，∴△ABC不是直角三角形；③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∴，∴∠A＝（）°，∴△ABC為鈍角三角形；④∵AB：BC：AC＝3：4：5，設(shè)AB＝3k，則BC＝4k，AC＝5k，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；∴能確定△ABC是直角三角形的條件有①④共2個，故選：B．5．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD⊥BC于點D，則AD的長為（）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC，∴，∴AD＝2，故選：B．6．如圖，在三角形，，，是上中點，是射線上一點．是上一點，連接，，，點在上，連接，，，，則的長為（

）A． B．8 C． D．9【答案】D【解析】解：延長EA到K，是的AK=AG，連接CK，∵在三角形，，，∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，設(shè)∠BFE=x，則，∵H是BC上中點，F(xiàn)是射線AH上一點，∴AH⊥BC，∴AH是線段BC的垂直平分線，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），，，∴，∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵，∴，∴，故選D．二、填空題7．如圖，在四邊形ABCD中，，，，．則的度數(shù)為_______．【答案】150°【解析】解：連接BD，∵AB=AD=6，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=6，∠ADB=60°，∵BC=10，CD=8，則BD2+CD2=82+62=100，BC2=102=100，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°故答案為：150°8．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ABC可能是等腰三角形，②△BCD可能是等腰三角形，③△ACD可能是直角三角形，④線段AC，BD不可能互相垂直．其中正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①④【解析】解：①在△ABC中，由AB=1，BC=9得：8<AC<10，在△ADC中，由AD=6，CD=8得：2<AC<14，∴8<AC<10，當(dāng)AC=9時，AC=BC，△ABC是等腰三角形，故①正確；②在△ABD中，由AB=1，AD=6得：5<BD<7，在△BCD中，由BC=9，CD=8得：1<BD<17，∴5<BD<7，∴BD≠CD，BD≠BC，△BCD不可能為等腰三角形，故②錯誤；③∵8<AC<10，AD=6，CD=8，∴AC＞CD＞AD，∴∠DAC≠90°，∠ACD≠90°，當(dāng)∠ADC=90°時，由AD2+CD2=AC2得AC=10，但AC<10，∴∠ADC≠90°，∴△ACD不可能為直角三角形，故③錯誤；④如果線段AC、BD互相垂直，設(shè)交點為O，根據(jù)勾股定理，由OA2+OB2=AB2，OD2+OC2=CD2，得OA2+OB2+OC2+OB2=AB2+CD2=1+64=65，由OC2+OB2=BC2，OA2+OD2=AD2，得OA2+OD2+OC2+OB2=AD2+BC2=36+81=117，∵65≠117，∴線段AC、BD不可能互相垂直，故④正確，綜上，正確的是①④，故答案為：①④．三、解答題9．伊通河，是長春平原上的千年古流，是松花江的二級支流，它發(fā)源于吉林省伊通縣境內(nèi)哈達(dá)嶺山脈青頂山北麓，如圖，在伊通河筆直的河流一側(cè)有一旅游地，河邊有兩個景點、其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個景點H（、、三點在同一直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求原路線的長．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2)原來的路線的長為千米【解析】(1)是直角三角形，理由是：在中，∵，∴∴是直角三角形且；(2)設(shè)千米，則千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴解這個方程，得，答：原來的路線的長為千米．10．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC邊上一動點，且不與點A、點C重合